人教版高中数学必修五同课异构课件：3.4 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用 情境互动课型

第2课时 基本不等式的应用 张先生打算建造一个面积为6 000平方米的矩形饲 养场，进行猪养殖，现在需要进行周边院墙的建 设，经过计算，他的 儿子说建成正方形的 院墙最省，而他认为 建成长300米、宽200 米的矩形的院墙最 省，你认为谁说的 对？要解决这个问题， 可用基本不等式来解决，这一节我们就学习基本不等 式的有关应用. 1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题 .（重点） 2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式.（重点） 3.会求给定条件的最值问题. 分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 即求（x+y）的最小值. 例1 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜 园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短.最短的篱笆是多少？ 探究点1 基本不等式在求最值中的应用 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用 篱笆最短，最短篱笆是40 m. 结论1 两个正数积为定值，则和有最小值. 当xy的值是常数 时，当且仅当x=y时， x+y有最小值 【提升总结】 分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xy m2. 即求xy的最大值. 例1 (2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面 积最大.最大面积是多少？ 解析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则 2(x + y)= 36, x+ y=18， 矩形菜园的面积为xy m2 . 当且仅当x=y=9时，等号成立. 因此，这个矩形的长、宽都为9 m时， 菜园的面积最大，最大面积是81 m2 . 结论2 两个正数和为定值，则积有最大值. 当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时， xy有最大值 【提升总结】 注意：①各项皆为正数； ②和为定值或积为定值； ③注意等号成立的条件. 一“正”， 二“定”， 三“等”. 最值定理 结论1 两个正数积为定值，则和有最小值. 结论2 两个正数和为定值，则积有最大值. 【变式练习】 例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容 积为4 800 m3,深为3 m.如果池底每平方米的造价 为150元, 池壁每平方米的造价为120元,怎样设计 水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 分析：水池呈长方体形，高为 3 m,底面的长与宽没有确定. 如果底面的长与宽确定了，水 池总造价也就确定了.因此应 当考察底面的长与宽取什么值 时水池总造价最低. 由容积为4 800 m3 ，可得3xy=4 800,因此xy= 1 600.由基本不等式与不等式的性质，可得 解：设底面的长为x m，宽为y m,水池总造价 为z元，根据题意，有 所以，将水池的底面设计成边长为40 m 的正方形时总造价最低，最低总造价是 297 600元. 【变式练习】 C 1.化正型 探究点2 基本不等式在求最大、最小值中的应用 特别提醒： 如果所求因式都是负数，通常采 用添负号变为正数的处理方法. 关注因式是 负数 解: 因为 x 0. 当且仅当 时, 即 x = - 1时取等号, 所以 当 x = - 1时, 的值最大, 最大值为 - 2. x 0,y>0,且2x+y=1,求 的最小值. 3.整体代换型 这个解法 正确吗？ 不正确. 过程中两次运用了基本不等式中取“=”过渡， 而这两次取“=”的条件是不同的，故结果错误. 分析：本题给定约束条件 ，来求 注意到 故可以采用对目标函数 乘“1”构造使用基本不等式的条件. 的最小值, 正确解答: 当且仅当 即 时取“=”号. 即此时 对于给定条件求最值的问题，常可采用乘 “1”变换的方法，创造使用基本不等式的条件. 【提升总结】 【变式练习】 范围是（ ）D 1.（2013·福建高考）若 A． B． C． D． C 4 把握基本不等式成立的三个条件： 1.不具备“正值”条件时，需将其转化为正值. 2.不具备“定值”条件时，需构造定值条件. （构造：互为相反数、互为倒数） 3.不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利 用函数单调性求值域. 预备十二分的力量，才能希望有十分的成功。 ——张太雷