人教版高中数学必修五同课异构课件：3.4 基本不等式.1 探究导学课型

3.4 基本不等式： 第1课时 基本不等式 1.理解基本不等式及其证明过程. 2.能用基本不等式证明不等式及比较大小. 重要不等式与基本不等式 (1)重要不等式：a2+b2___2ab，条件：a，b∈R；“=”成立的 条件是：____. (2)基本不等式：_________，条件：a>0，b>0，“=”成立的 条件是____. (3)有关概念：____叫做正数a，b的算术平均数，____叫做正 数a，b的几何平均数. ≥ a=b a=b 1.a，b，c是互不相等的正数，且a2+c2=2bc，则下列关系中可 能成立的是(  ) A.a>b>c      B.b>c>a C.b>a>c D.a>c>b 【解析】选C.因为a，c均为正数，且a≠c， 所以a2+c2>2ac， 又因为a2+c2=2bc，所以2bc>2ac， 所以b>a，可排除A，D.取a=1，b=2， 则有c2-4c+1=0，解得c=2± ， 当c=2- 时，有b>a>c. 2.不等式a+1≥2 (a>0)中等号成立的条件是  . 【解析】a+1≥2 可变形为 等号成立的条件为a=1. 答案：a=1 3.若P=x2+1，Q=2x，则P与Q的大小关系是  . 【解析】根据重要不等式知P=x2+1≥2x，故P≥Q. 答案：P≥Q 基本不等式 探究1：观察如图所示图形，其中AB是☉O的直径，点C是AB上 的一点，CD⊥AB，AC=a，BC=b，据此思考下列问题： (1)用a，b如何表示CD？ 提示：由条件知Rt△ACD∽Rt△DCB，所以CD2=CA·CB，所以 CD= . (2)AB与DE的大小关系怎？ 提示：AB≥DE. (3) 成立吗？ 提示：成立.因为AB≥DE，即a+b≥2 ，所以 (4)C点在何位置时，上述不等式等号成立？ 提示：当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立. 探究2：根据基本不等式及其成立的条件， 回答下列问题： (1)若a，b同号，则 的关系如何？ 提示：当a，b>0时， 当a，b0， (2)当a，b异号时，不等式 成立吗？ 提示：一定不成立，因为当a，b异号时，ab0时，x+ ≥2；当x0时， 当ab0，b>0，则下列不等式中，不成 立的是( ) 2.若a＞b＞1，P= Q= (lg a+lg b)，R= 试比较P，Q，R的大小关系. 【解题指南】1.对每一选项利用基本不等式逐一判断. 2.在a>b>1的条件下，可得lga>lgb>0，进而可利用基本不等式 比较P与Q的大小；再根据基本不等式及对数函数的单调性得出 Q与R的大小. 【自主解答】1.选D.对于A： 不等式成立. 对于B：因为 相乘得 成立. 对于C：因为 又 成立. 对于D：因为 2.因为a＞b＞1，所以lg a＞lg b＞0，所以Q= (lg a+lg b)＞ =P； Q= 所以P＜Q＜R. 【规律总结】利用基本不等式比较数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积 )，同时要注意结合函数的性质(单调性). (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. 【变式训练】已知a，b，c都是非负实数，试比较 与 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab，所以2(a2+b2)≥(a+b)2， 型二 利用基本不等式证明不等式  1.(2014·天津高二检测)a，b是正数，以下不等式： ① ②a>|a-b|-b；③a2+b2>4ab-3b2；④ab+ >2. 其中恒成立的是(  ) A.①③   B.①④   C.②③   D.②④ 2.a，b，c都是正数，试证明不等式： 【解题指南】1.根据基本不等式及其变形形式证明. 2.原不等式左边可化为 再利用基本不 等式证明. 【自主解答】1.选D.由题知，a>0，b>0.①中 可化 为a+b> 缺少两者相等的情况，故①错误.②中，因为a+b >|a-b|成立，所以a>|a-b|-b，故②正确.③中a2+b2>4ab-3b2， 可化为a2+4b2>4ab，由基本不等式知，缺少两者相等的情况， 故③错误.④中， 故④正确. 2.因为a>0，b>0，c>0，所以 所以 ≥6，当且仅当 即a=b=c时，等号成立.所以 ≥6. 【延伸探究】在题2条件不的情况下，证明ab(a+b)+bc(b+c) +ca(c+a)≥6abc. 【证明】因为a，b，c都是正数，所以ab(a+b)+bc(b+c)+ ca(c+a)=a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2=(a2b+bc2)+(b2c+ca2)+ (c2a+ab2)≥ =6abc，所以原不等 式成立，当且仅当a=b=c时，等号成立. 【规律总结】利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 (1)基本不等式成立的前提条件. (2)通过加减项的方法拼凑成可以使用基本不等式的形式. (3)注意“1”的代换. (4)灵活换基本不等式的形式并注意其形形式的运用. 提醒：(1)多次使用基本不等式时，注意等号能否成立. (2)利用不等式性质累加时，注意等号成立的条件. 【拓展延伸】基本不等式的推广 ai∈R+(i=1，2，…，n)，这n个数： (1)算术平均数An= (2)几何平均数Gn= (3)调和平均数Hn= (4)平方平均数Qn= 则以上平均值的关系是：Hn≤Gn≤An≤Qn. 【变式训练】已知a，b，c为正数，且a+b+c=1， 求证： 【解题指南】 其他同样放缩. 【证明】因为a，b，c为正实数，且a+b+c=1， 所以 同理， 上述三个不等式两边均为正， 相乘得 当且仅当a=b=c= 时，取等号.