人教版高中数学必修五同课异构课件：3.4 基本不等式.2 精讲优练课型 .ppt

第2课时 基本不等式的应用  【知识提】 基本不等式与最值 已知x>0，y>0，则 (1)若x+y=s(和为定值)，则当____时，积xy取得最___ 值___. x=y 大 (2)若xy=p(积为定值)，则当____时，和x+y取得最___ 值____. 记忆口诀：两正数的和定积_____，两正数的积定和 _____. x=y 小 最大 最小 【即时小测】 1.思考下列问题 (1)利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？ 提示：三个条件是：一正，二定，三相等. (2)凑配法求最值的基本技巧有哪些？ 提示：①配凑系数. ②配凑常数. ③配凑分子. ④配凑分母. 2.已知x+2y=1，则2x+4y的最小值为(  ) A.8 B.6 C.2 D.3 【解析】选C.因为2x>0，4y>0，所以2x+4y≥ 当且仅当2x=4y，即x=2y.又x+2y=1. 故x= ，y= 时，等号成立. 3.已知xy0，y>0，p是常数)时， 当且仅当x=y时，x+y取得最小值 . 那么，当和为定值时，可以求得积的最大值，当积为 定值时，可以求得和的最小值. 【题型探究】 型一 利用基本不等式求最值问题 【典例】1.(2015·洛阳高二检测)下列函数中，最小 值为4的函数是(  ) A.y=x+ B.y=sinx+ C.y=ex+4e-x D.y=log3x+logx81 2.(2015·邢台高二检测)如果log3m+log3n=4，那么m+n 的最小值是(  ) A.4 B.18 C.4 D.9 3.0【解题探究】1.典例1中要求函数的最值，应从哪些方 面考虑？ 提示：看是否满足一正、二定、三相等. 2.典例2中由log3m+log3n=4可得到什么结论？ 提示：由log3m+log3n=4，可得mn=34. 3.典例3中的函数y=x(3-2x)如何形才能利用基本不 等式？ 提示：y=x(3-2x)= ×2x(3-2x). 【解析】1.选C.选项A，C，D不能保证是正数之和，选 项B中sinx取不到2，只有C项满足两项均为正，当且仅 当x=ln2时等号成立，故选C. 2.选B.因为log3m+log3n=4，故mn=34且m>0，n>0. 又因为 ≥mn，所以m+n≥18. 当且仅当m=n=9时取等号. 3.因为00， 所以y=x(3-2x)= ×2x(3-2x)≤ 当且仅当x= 时等号成立， 所以函数y=x(3-2x)的最大值是 . 答案： 【方法技巧】 1.利用基本不等式求最值的策略 2.利用基本不等式求条件最值的常用方法 (1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件形 得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求 最值. (2)构造法： ①构造不等式：利用ab≤ 将式子转化为含ab或 a+b的一元二次不等式，将ab，(a+b)作为整体解出范 围； ②构造定值：结合已知条件对要求的代数式形，构 造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值. (3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法 利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个 函数，利用函数的单调性求最值. 【式训练】已知a>3，求 的最小值. 【解题指南】利用a>3的条件及结构式中一为分式，一 为整式的特点配凑. 【解析】因为a>3，所以a-3>0， 当且仅当a-3= ，即a=5时等号成立. 型二 利用基本不等式解决应用问题 【典例】1.蓝天超市一年购买某种货物400吨，每次都 购买x吨，运费为4万元/次，一年的存储费用为4x万 元，要使一年的运费与存储费用之和最小，则 x=________吨. 2.(2015·承德高二检测)如图所示，将一矩形花 ABCD扩建成一个更大的矩形花AMPN，要求B点在AM上， D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3m，AD=2m. (1)要使矩形AMPN的面积大于32m2，则AN的度应在什 么范围内？ (2)当AN的度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求 出最小值. 【解题探究】1.典例1中的运费为多少元？ 提示：由于每次购买x吨，则购买的次数为 次，每 次运费为4万元，则总运费为 ×4万元. 2.典例2中矩形AMPN的面积如何表示出来？ 提示：设AN的长为xm(x>2)，则由 得 所以 【解析】1.超市一年购买某种货物400吨，每次都购买 x吨，则需要购买 次，运费为4万元/次，一年的总 存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用之 和为（ ·4+4x）万元.因为 ·4+4x≥160，当 即x=20时，一年的总运费与总存储费用之和最小． 答案：20 2.设AN的长为x m(x>2)，则由 得 所以 (1)由S矩形AMPN>32，得 >32. 又x>2，解得28. 所以AN的长度的取值范围为(2， )∪(8，+∞)． (2)因为 当且仅当3(x-2)= ，即x=4时，等号成立．所以当 AN的长度是4 m时，矩形AMPN的面积最小，最小值为 24 m2. 【方法技巧】利用基本不等式解决问题的步骤 解问题时，首先审清题意，然后将问题转化 为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等) 解决问题.用基本不等式解决此问题时，应按如下步 骤进行： (1)先理解题意，量，量时一般把要求最大值 或最小值的量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把问题抽象为函数的 最大值或最小值问题. (3)在定域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 【式训练】(2014·湖北高考)某项研究表明：在考 虑行安全的情况下，某路段流量F(单位时内 过测量点的辆数，单位：辆/小时)与流速度v(假 辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均 l(单位：米)的值有关，其公式为F= (1)当l=6.05时，则最大流量为________辆/小时. (2)当l=5时，则最大流量比(1)中的最大流量增加 ________辆/小时. 【解析】(1)当l=6.05时，则 ≤1 900，当且仅当v= ，即v=11(米/秒)时取等号. (2)当l=5时，则 当且仅当v= ，即v=10(米/秒)时取等号，此时最大 车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/小时. 答案：(1)1 900 (2)100 【偿训练】(2015·吉林高二检测)围建一个360m2的 矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧(利用的旧 需维修)，其他三面围要新建，在旧对面的新上 要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧的维 修费用为45元/m，新的造价为180元/m.利用的旧 度为x(单位：m)，修建此矩形场地围的费用 为y(单位：元). (1)将y表示为x的函数. (2)试确定x，使修建此矩形场地围的费用最小， 并求出最小费用. 【解析】(1)如图，设矩形的另一边长为a m， 则y=45x+180(x－2)+180·2a， 由已知xa=360，得a= . 所以y=225x+ －360(x>0)． (2)因为x>0， 所以 所以y=225x+ -360≥10 800－360=10 440， 当且仅当225x= 时，等号成立． 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用 是10 440元． 型三 基本不等式的综合应用 【典例】1.(2015·徐州高二检测)当00，n>0，则 的最小值为__________. 3.(2015·青岛高二检测)x，y，z为正数，满足 x-2y+3z=0，求 的最小值. 【解题探究】1.典例1中由不等式x(2-x)≤a恒成立，转 为求x(2-x)的最大值还是最小值？ 提示：只要求x(2-x)的最大值即可. 2.典例2中定点A的坐标是什么？ 提示：函数y=loga(x+3)-1(a>0，a≠1)的图象恒过定点， 即当x+3=1，x=-2时，y=loga1-1=-1，即A(-2，-1). 3.典例3中由x-2y+3z=0可得到什么？ 提示：由x-2y+3z=0，得y= 【解析】1.因为00，a≠1)的图象 恒过定点A(－2，－1)．又因为点A在直线mx+ny+1=0上， 所以2m+n=1. 所以 当且 仅当 时等号成立，因为m>0，n>0，所以n=2m，即 当m= ，n= 时， 有最小值8. 答案：8 3.由x－2y+3z=0，得y= ，代入 ， 得 当且仅当x=3z时取等号．所以 的最小值为3. 【延伸探究】 1.(改变问法)典例3中条件不变，求 的最大值. 【解析】因为x，y，z为正实数， 由x-2y+3z=0得x+3z=2y， 所以 当且仅当x=3z时取等号. 故 的最大值为 . 2.(换条件，改问法)典例3中条件“x-2y+3z=0”改 为“x-xz+3z=0”其他条件不，求xz的最小值. 【解析】因为x，y，z为正实数， 由x-xz+3z=0得xz=x+3z≥ 故 xz≥12， 当且仅当x=3z时取等号， 所以xz的最小值为12. 【方法技巧】最值法解答恒成立问题 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种 理方法，其一般型有： (1)f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min. (2)f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max. 【偿训练】(2015·上饶高二检测)已知x>0，y>0， lg2x+lg8y=lg2，则 的最小值为(  ) A.2 B.2 C.4 D.2 【解析】选C.由lg 2x+lg 8y=lg 2得， 2x+3y=2，即x+3y=1， 所以 当且仅当 ，即x=3y时取等号. 规范解答 利用基本不等式求最值 【典例】(12分)(2015·益阳高二检测)已知3a2+2b2=5 ，试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值. 【审题指导】(1)要求y=(2a2+1)(b2+2)的最值，要利用 好已知条件3a2+2b2=5. (2)需将y=(2a2+1)(b2+2)中的乘积的形式转化为和的形 式，才能利用好已知条件3a2+2b2=5. 【规范解答】y=(2a2+1)(b2+2) = ×3(2a2+1)·4(b2+2)…………………2分 …8分 当且仅当 即 时， 等号成立，故所求的最大值为 . ……………………………………………12分 【题后悟道】 1.转化与化归意识 在解决问题时要注意转化与化归思想的应用，如本题中 的转化. 2.注意基本不等式的使用条件 “一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.在解答过 程中要注意体现，如本例中若漏掉等号的检验，则会 导致此题会而不全.