第2课时
基本不等式的应用
1.掌握基本不等式及其变形的应用.
2.会用基本不等式解决简单的最值问题及实际问题.
1.基本不等式与最值
设x，y为正实数.
(1)若x+y=s(定值)，则当________时，xy有最大值____.
(2)若xy=p(定值)，则当_________时，x+y有最小值_____.
2.利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足
(1)x，y必须是_____.
(2)求积xy的最大值时，应看和x+y是否为_____；求和x+y的最
小值时，应看积xy是否为_____.
正数
定值
定值
1.已知x0，y>0，且 =1，求x+y的最小值.
【解题指南】1.只需x+ -1的最小值大于等于a即可.故转化
为求x+ -1的最小值.
2.要求x+y的最小值，根据基本不等式应构建两个数(式)的积
为定值，因而需要对条件进行变形，可利用“1”的代换，亦
可利用已知条件消元.
【自主解答】1.当x>-1时，不等式x+ -1≥a恒成立，因此
只需h(x)=x+ -1的最小值大于等于a成立即可；x+ -1
=(x+1)+ -2≥ -2=0，所以h(x)min=0，所以a≤0.
答案：0
2.方法一：(1的代换)因为 =1，
所以x+y=(x+y)·
因为x＞0，y＞0，所以
当且仅当 即y=3x ①时，取“=”.
又 =1，②
解①②可得x=4，y=12.
所以当x=4，y=12时，x+y的最小值是16.
方法二：(消元法)由 =1，得x=
因为x＞0，y＞0，所以y＞9.
所以
=(y-9)+ +10.
因为y＞9，所以y-9＞0，
所以(y-9)+
当且仅当y-9= 即y=12时，取“=”，此时x=4，
所以当x=4，y=12时，x+y的最小值是16.
【规律总结】运用基本不等式求参数或代数式取值范围的类型
及处理技巧
(1)若已知等式，则要用基本不等式进行缩放，得出不等式，
进而解出该不等式.
(2)若已知不等式，则要先将字母参数分离出来，转化为求函
数式的最值，而求函数式的最值时，可能用到基本不等式.
【变式训练】若a>b>c，且 恒成立，求m的取
值范围.
【解题指南】先将 变形，再利用基本不等式
求出m的取值范围.
【解析】由a>b>c，得a－b>0，b－c>0，a－c>0，因此原不等
式等价于m≤ 要使原不等式恒成立，只需
的最小值不小于m即可，因为
当且仅当 即2b=a+c时，
等号成立.所以m≤4.
类型三 利用基本不等式解实际应用题
1.某人要买房，调查数据显示：随着楼层的升高，上下楼耗费
的体力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造
成的不满意度为n；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为
安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当住第n层
楼时，环境不满意度为 ，则此人应选( )
A.1楼 B.2楼 C.3楼 D.4楼
2.某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规
划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米.已知该写字楼第一
层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建
筑费用比其下面一层每平方米增加100元.
(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f(x)的
表达式(总开发费用=总建筑费用+购地费用).
(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼
应建为多少层？
【解题指南】1.建立关于n的函数，讨论其最小值.
2.(1)根据每层建筑面积及每层每平方米的建筑费用的关系，
得出总建筑费用，从而得出y=f(x)的表达式.
(2)根据(1)中y=f(x)的表达式，把函数的解析式变换成两个数
(式子)的积为定值的形式，然后利用基本不等式求解.
【自主解答】1.选C.只需求不满意度n+ 的最小值.由均值不
等式得n+ ≥4 ，当且仅当n= ，即n=2 ≈3时，n+ 取
得最小值.
2.(1)由已知，写字楼最下层的总建筑费用为4000×2000=
8000000(元)=800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用
比其下面一层多100×2000=200000(元)=20(万元)，写字楼从
下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，以20为公差的等
差数列，所以函数表达式为f(x)=800x+ ×20+9000=10x2
+790x+9000(x∈N*).
(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为g(x)=
×10000= ≥50×(2
+79)=6950(元)，当且仅当x= ，即x=30时等号成立，故该
写字楼应建为30层.
【规律总结】应用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数.
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大或最
小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)写出正确答案.
【变式训练】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方
形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道
(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人
行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
(1)若设休闲区的长和宽的比 =x(x>1)，求公园ABCD所占
面积S关于x的函数S(x)的解析式.
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何
设计？
【解析】(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，
由a2x=4 000，得
则S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a +160
=4 000+(8x+20)· +160= +4 160(x>1).
(2)
=5 760，当且仅当 即x=2.5时，等号成立，此
时a=40，ax=100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1
应设计为长100米，宽40米.
【拓展类型】基本不等式的综合应用
1.已知等比数列a1，a2，a3的和为定值m(m>0)，且其公比q
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