应用举例（一）-距离 课件

高度 角度距离 面积 例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同侧，在其所在的河岸边选定一点C，测出 AC的距离是55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、 B两点间的距离（精确到0.1m） 分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形 51o 75o 55m 51o 75o 55m 解：如图，因为在△ABC中，B=180o-(51o+75o)=54o 所以由 可得 答：A,B两点间的距离约为65.7米。 例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。 A B CD 分析：设CD=a，∠BCA=a，∠ACD=b，∠CDB=g， ∠ADB=d a bg d a A B CD a bg d a 1、分析：理解题意，画出示意图 2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这 些三角形，求得数学模型的解。 4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得 出实际问题的解。 实际问题→数学问题（三角形） →数学问题的解（解三角形）→实际问题的解 解斜三角形应用题的一般步骤是： 练习1：一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北 航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向， 若30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的 北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续 沿正北方向航行吗？ 解：∵在△ASB中，∠ABS=180o-65o=115o ∴∠ASB=180o-115o-20o=45o ∵ AB=0.5×32.2=16.1 n mile ∴由正弦定理可得 故船与灯塔的最小距离d=20.63×sin20o≈7.06 n mile 所以这艘船可以继续沿正北方向航行 答：这艘船可以继续沿正北方向航行. 练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与 车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 最大角度最大角度最大角度最大角度 解：依题意可知，在△ABC中 AB＝1.95m，AC＝1.40m， ∠CAB＝66°20′ ∴由余弦定理可得 答：顶杆BC约长1.89m。 C A B D 思考：如图，一艘船从C处以30 n mile/h的速度往北偏东15o 的A岛行驶，若船在C处测得B岛在北偏西30o的方向，行驶 20 min后在D处测得B岛在北偏西45o的方向，到达A岛后又 测得B岛在北偏西60o的方向，试求A岛与B岛的距离。 解：依题意可得， ∠BCD=45o ， ∠BDA=60o， ∴∠CBD=∠BDA-∠BCD=15o， 又∵∠BAD=180o -60o-15o =105o 思考：如图，一艘船从C处以30 n mile/h的速度往北偏东15o 的A岛行驶，若船在C处测得B岛在北偏西30o的方向，行驶 20 min后在D处测得B岛在北偏西45o的方向，到达A岛后又 测得B岛在北偏西60o的方向，试求A岛与B岛的距离。 实际问题 抽象概括 示意图 数学模型 推 理 演 算 数学模型的解实际问题的解 还原说明 解应用题的基本思路 例3、课本P19 A组 第1题 解：依题意可知，在△ABC中 BC=0.5×35=17.5 n mile/h 已知⊿ABC中，三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 ⊿ABC的面积为S,且2S=(a+b)²－c²,求tanC的值。 在⊿ABC中，如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC,试确定⊿ABC的形状。 练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与 车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． （1）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度 （2）例题中涉及一个怎样的三角 形？ 在△ABC中已知什么，要求什么？ C A B 例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。 分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。 解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a， 并且在C、D两点分别测得∠BCA=a，∠ACD=b， ∠CDB=g，∠BDA=d，在⊿ADC和⊿BDC中，应用 正弦定理得 计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理 计算出AB两点间的距离 例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。 分析：在河岸边选定两点C、D，测得CD=a， 并在C、D两点处分别测得 ∠BCA=a，∠ACD=b，∠CDB=g，∠BDA=d 练习1：一艘船以32.2 n mile/h的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？ C 解三角形问题的四种基本类型： （1）知两角及一边： （2）知两边及其中一边的对角： （3）知两边及其夹角： （4）知三边： 75o 55m 解：如图，因为在△ABC中，B=180o-(51o+75o)=54o 所以由 可得 答：A、B两点间的距离约为65.7米。 拓展：若在B的同侧还有一点D，现测得∠BAD=a， D 51o