高中数学人教A版必修2 第三章直线与方程3.2.1直线的点斜式方程 课件

第三章  § 3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程； 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程； 3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学     新知探究 点点落实 知识点一 直线的点斜式方程 思考1 如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线 l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？ 答案 答案 由斜率公式得k＝ ， 则x，y应满足y－y0＝k(x－x0). 思考2 经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点 斜式方程来表示？ 答案 答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示， 过点P0斜率不存在的直线为x＝x0. 答案   点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和 图示 方程形式 y－y0＝ 适用条件 斜率存在 斜率k k(x－x0) 知识点二 直线的斜截式方程 思考1 已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的 方程是什么？ 答案 答案 将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b. 思考2 方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可 以为负数和零？ 答案 y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零. 思考3 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. ①l1∥l2⇔________________， ②l1⊥l2⇔________________. k1＝k2且b1≠b2 k1k2＝－1 斜截式 已知条件 斜率k和直线y轴上的截距b 图示 方程式   适用条件 斜率存在 答案 y＝kx＋b 返回 题型探究     重点难点 个个击破 类型一 直线的点斜式方程 例1 (1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________. 解析 ∵直线与y轴平行， ∴该直线斜率不存在， ∴直线方程为x＝－3. (2)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得 直线l，则直线l的点斜式方程是_______________. 解析 由题意知，直线l与直线y＝2x＋1垂直， 则直线l的斜率为－ . 由点斜式方程可得l的方程为y－3＝－ (x－1). x＝－3 y－3＝－ (x－1) 解析答案 (3)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2： y＝ x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为______________. 解析 ∵直线l2的方程为y＝ x， 设其倾斜角为α， 则tan α＝ 得α＝30°， 那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°， 则l1的点斜式方程为 y＋2＝tan 60°(x＋1)，即y＋2＝ (x＋1). y＋2＝ (x＋1) 解析答案 跟踪训练1 写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(2,5)，斜率是4； 解析答案 解 y－5＝4(x－2)； (2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°； 解 ∵直线的斜率k＝tan 45°＝1， ∴直线方程为y－3＝x－2； (3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行. 解 y＝－1. 类型二 直线的斜截式方程 例2 (1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜 截式方程是_________________________. 解析答案 解析 ∵直线的倾斜角是60°， ∴其斜率k＝tan 60°＝ ， ∵直线与y轴的交点到原点的距离是3， ∴直线在y轴上的截距是3或－3， ∴所求直线方程是y＝ x＋3或y＝ x－3. y＝ x＋3或y＝ x－3 (2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平 行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程. 解 由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2， 又因为l∥l1. 由题意知l2在y轴上的截距为－2， 所以l在y轴上的截距b＝－2， 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2. 解析答案反思与感悟 反思与感悟 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b＝0时，y＝kx表示过 原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线. (2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是 一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数. 跟踪训练2 (1)已知直线l的斜率为 ，且和两坐标轴围成面积为3的三角 形，求l的斜截式方程； 解 设直线方程为y＝ x＋b， 则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b. 由已知可得 ·|b|·|－6b|＝3， 即6|b|2＝6， ∴b＝±1. 故所求直线方程为y＝ x＋1或y＝ x－1. 解析答案 (2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1垂直 且与l2在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程. 解 ∵l1⊥l， 直线l1：y＝－2x＋3， ∴l的斜率为 ， ∵l与l2在y轴上的截距互为相反数， 直线l2：y＝4x－2， ∴l在y轴上的截距为2， ∴直线l的方程为y＝ x＋2. 解析答案 类型三 平行与垂直的应用 例3 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ 解析答案 解 由题意可知， ∵l1∥l2， 解得a＝－1. 故当a＝－1时， 直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行. (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直 ？ 解析答案反思与感悟 解 由题意可知， ∵l1⊥l2， ∴4(2a－1)＝－1， 解得a＝ . 故当a＝ 时， 直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直. 反思与感悟 设直线l1和l2的斜率k1，k2都存在，其方程分别为l1：y＝k1x＋b1，l2 ：y＝k2x＋b2，那么：(1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；(2)k1＝k2，且b1 ＝b2⇔两条直线重合；(3)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 跟踪训练3 已知在△ABC中，A(0,0)，B(3,1)，C(1,3). (1)求AB边上的高所在直线的方程； 解 直线AB的斜率k1＝ ＝ ， AB边上的高所在直线斜率为－3且过点C， 所以AB边上的高所在直线的方程为y－3＝－3(x－1). 解析答案 (2)求BC边上的高所在直线的方程； 解 直线BC的斜率k2＝ ＝－1， BC边上的高所在直线的斜率为1且过点A， 所以BC边上的高所在直线的方程为y＝x. 返回 (3)求过A与BC平行的直线方程. 解 由(2)知，过点A与BC平行的直线的斜率为－1， 其方程为y＝－x. 解析答案 1 2 3达标检测      4 解析答案 1.方程y＝k(x－2)表示(  ) A.通过点(－2,0)的所有直线 B.通过点(2,0)的所有直线 C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 解析 易验证直线通过点(2,0)， 又直线斜率存在， 故直线不垂直于x轴. C 1 2 3 4 解析答案 2.倾斜角是30°，且过(2,1)点的直线方程是________________. 解析 ∵斜率为tan 30°＝ ， ∴直线的方程为y－1＝ (x－2). y－1＝ (x－2) 1 2 3 4 3.(1)已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________； 解析 由题意可知a(a＋2)＝－1， 解得a＝－1. (2)若直线l1∶y＝ 与直线l2∶y＝3x－1互相平行，则a＝________. 解析 由题意可知 解得a＝－ . －1 解析答案 1 2 3 4 解析答案 4.(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程； 解 ∵与直线y＝2x＋7平行， ∴该直线斜率为2， 由点斜式方程可得y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1 ∴所求直线的方程为y＝2x－1. 1 2 3 4 解析答案 (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程. 解 ∵所求直线与直线y＝3x－5垂直， ∴该直线的斜率为－ ，由点斜式方程得： y＋2＝－ (x＋2)， 即y＝－ x－ . 故所求的直线方程为y＝－ x－ . 规律与方法 1.求直线的点斜式方程的方法步骤 2.直线的斜截式方程的求解策略 (1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别 注意截距和距离的区别. (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的 斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一 目了然.因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式 方程，利用k，b的几何意义进行判断. 3.判断两条直线位置关系的方法 直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2. (1)若k1≠k2，则两直线相交. (2)若k1＝k2，则两直线平行或重合， 当b1≠b2时，两直线平行； 当b1＝b2时，两直线重合. (3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直. (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑. 返回