高中数学人教B版必修2割圆术球的概念课件

割 圆 术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推 导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的 边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所 谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去， 就达到了“割之又割，以至于不可再割，则 与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的 “极限”思想。 球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球(即球体):球面所围成的几何体。 它包括球面和球面所包围的空间。 半径是R的球的体积： 推导方法： 分割 求近似和 化为准确和 复习回顾 球的概念 球心 球的半径 球的直径 二、球的概念  点集角度 • 旋转体角度 球面所围成的几何体叫球体简称球。 球面:半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面。 球体与球面的区别？ 在空间内到一个定点的距离为定长的点的集合 0 半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面。 球体与球面的区别 ？ 球面概念： 球面所围成的几何体叫球体简称球。 0 A C D 球心 半 径 直径 半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面 （旋转体角度） 球面概念： 在空间内到一个定点的距离为定长的点的集 合（点集的角度） 二、球的概念 球的截面 的形状 圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆 球的体积公式的推导 球的体积公式及应用 球的表面积公式及应用 球的表面积公式的推导 教学重点 教学难点 重点难点 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆 R  高等于底面半径的旋转体体积对比 球的体积  学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法． 球的体积  我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是   当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．   即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积． 球的体积 分割 求近似和 化为准确和 问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积. A O B2 C2 球的体积 A O O R O A 球的体积 球的体积 球的体积 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大, 越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. 1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块, 每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似 看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近 于甚至等于球的表面积. 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图 求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法, 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式． 球的表面积 球的表面积 第 一 步： 分 割 球面被分割成n个网格，表面积分别为： 则球的表面积： 则球的体积为： O O 球的表面积 第 二 步： 求 近 似 和 由第一步得： OO 球的表面积 第 三 步 ： 化 为 准 确 和 如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥 O 球的表面积 例1.钢球直径是5cm,求它的体积. (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 例题讲解 (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是 答:空心钢球的内径约为4.5cm. 由计算器算得: 例题讲解 (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体 侧棱长为5cm 例题讲解 例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。 A B CD D1 C1 B1A1 O 分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。 A B CD D1 C1 B1A1 O 例题讲解 O A B C 例３已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的 体积，表面积． 解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r， 例题讲解 O A B C 例３.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积， 表面积． 例题讲解 2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿cm3. 8 3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 个球的体积之比_________. 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍. 练习一 课堂练习 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______. 练习二 1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍. 2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍. 3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______. 课堂练习 7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是______. 5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为_____. 6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 则两球的直径之差为______. 练习二 课堂练习 了解球的体积、表面积推导的基本思路： 分割→求近似和→化为标准和的方法，是 一种重要的数学思想方法—极限思想，它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用； 熟练掌握球的体积、表面积公式： 课堂小结 课堂作业 习题9.11 P.74 5、6 、7、8 预习小结与复习P.75—P.77