第二章第二章空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系
1、初中《几何》中我们认识了哪些平面几何图形?
三角形、四边形、多边形、圆形、椭圆等。
平面内基本图形:点、线
空间中基本图形:点、线、面
2、高中《几何》中我们认识了哪些立体几何图形?
棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等。
复习引入
1.特点:平面是无限延展,没有厚度的.
2.画法:水平或竖直的平面常用平行四边形表示.
3.记法:
①平面α、平面β、平面γ(标记在边上)
②平面ABCD、平面AC或平面BD
(但常用平面的一部分表示平面)
A B
CD
A
B
C
D
一、平面的表示方法
判断下列各题的说法正确与否,在正
确的说法的题号后打 ,否则打 .
1、一个平面长 4 米,宽 2 米; ( )
2、平面有边界; ( )
3、一个平面的面积是 25 cm 2; ( )
4、平面是无限延展、没有厚度的 ; ( )
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
巩固:
图形 文字语言(读法) 符号语言
A a
点在直线上
点在直线外
点在平面内
点在平面外
结论1:空间中点与线、点与面的位置关系
思考1:把一根木条固定在墙面上需要几根钉子?
A a
二、平面的基本性质
公理1:若一条直线的两点在一个平面内,
则这条直线上所有的点都在这个平面内,
即:这条直线在这个平面内。
作用:用于判定线在面内
即: A∈a且B∈ a AB a
A
B
直线a在平面a内 记作:a a
直线a在平面a外 记作:a a
结论2 :空间中线与面的位置关系
强调:
空间中点与线(面)只有∈和 关系
空间中线与面只有 与 的关系
条件结论 结论条件1
条件2}
推导符号“”的使用:
思考2:固定一扇门需要几样东西?
回答:确定一个平面需要什么条件?
公理2:过不在同一条直线上的三点,有且
只有一个平面。
A
B
C
A、B、C确定一个平面
A、B、C不共线
强调:推导符号跟着结论一起换行。
作用:用于确定一个平面.
推论1.一条直线和直线外一点确定一个平面。
推论2.两条相交直线确定一个平面。
推论3.两条平行直线确定一个平面。
公理2.不共线的三点确定一个平面.
确定一平面还有哪些方法?
a A C
B
应用1: 几位同学的一次野炊活动,带去一
张折叠方桌,不小心弄坏了桌脚,有一生提
议可将几根一样长的木棍,在等高处用绳
捆扎一下作桌脚(如图所示),问至少要
几根木棍,才可能使桌面稳定?
答:至少3根
应用2:过空间中一点可以做几个平面?
过空间中两点呢?三点呢?
结论:过空间中一点或两点可以做无数
个平面,过空间中不共线的三点只能做一个,
否则有无数个。
思考3:如图所示,两个平面、,若相交
于一点,则会发生什么现象?
P
l
公理3:若两个不重合平面有一个公共点,
则它们有且只有一条过该点的公共直线。
即: P∈a且P∈b aIb=l且P∈l
}{P∈a
P∈b
aIb=l
P∈l
作用:用于证明点在线上或多点共线.
例1
:用符号表示下列图形中点、直线、
平面之间的位置关系。
β
α
A
B
a a
α
βbP
P48练习1- 4
例2:求证两两相交于不同点的三条直线
必在同一个平面内(共面问题)
A
B
C
已知: AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C.
求证:直线AB、BC、AC共面.
证明∵AB∩AC=A
a
∴直线AB、BC、AC共面于a
∴AB和AC确定一平面a(公理2的推论2)
∵B∈AB a,C∈AC a
∴BC a(公理1)
例3:△ABC在平面a外, AB∩a =P, BC ∩a=Q,
AC∩a =R,求证:P、Q、R三点共线.(共线问题)
A
B
C a
又P∈a
证明:∵P∈AB 且 AB 平面ABC
Q PR
∴ P∈平面ABC
∴ P∈平面ABC∩a (公理3)
设平面ABC∩a = l
则 P∈ l
同理 Q∈l 且R∈l
故P、Q、R三点共线于直线l
l
若一条直线的两点在一个平面内,则
这条直线上所有的点都在这个平面内,
即:这条直线在这个平面内
小结:平面的基本性质
公理1:
作用:用于判定线在面内
即: A∈a且B∈ a AB a
A
B
A a
a
b
A B C
作用:用于确定一个平面.
b
a P
小结:公理2及其推论
aIb=
Pa和b确定一平面.
A∈ a
A和a确定一平面.
A,B,C确定一平面.
A,B,C不共线
a和b确定一平面.
a∥b
公理3:若两个不重合平面有一个公共点,
则它们有且只有一条过该点的公共直线。
即: P∈a且P∈b aIb=l且P∈l
}{P∈a
P∈b
aIb=l
P∈l
作用:用于证明点在线上或多点共线
图形 文字语言(读法) 符号语言
A a
点在直线上
点在直线外
点在平面内
点在平面外
结论1:空间中点与线、点与面的位置关系
A a
直线a在平面a内 记作:a a
直线a在平面a外 记作:a a
结论2 :空间中线与面的位置关系
强调:
空间中点与线(面)只有∈和 关系
空间中线与面只有 与 的关系
条件结论 结论条件1
条件2}
推导符号“”的使用:
布置作业
1、课后作业:
课本P56习题2.1 A组 1、2、5
思考:B组 3
2、预习作业:
课本48页-52页