2010年高考数学热点：攻略应用性问题

2010年高考数学热点：攻略应用性问题  一、考情分析 数学应用性问题是指能用数学知识来解决的社会生活中有实际背景的实际问题。这类题目的立意、实际背景、创设的情景、设问的角度和方式新颖灵活，对考生的能力和数学素质要求较高，处于考查能力和素质的要求，数学应用题成为近几年高考的热点之一。 近几年全国各地的高考题中，应用性问题的题型有以下几个特点： （1）数学高考应用题以概率及其分布列为主流，多以药物检验、设计、课程考核、数学竞赛、生产经营等为背景，围绕五个基本概率模型命制，并呈现与函数、方程、不等式相结合的趋势。 （2）三角应用题异军突起，成为应用性题目的一个新的命题热点，主要考查航行、测量、等实际生活问题，主要体现数学在实际生活中的应用，考查知识点主要是正余弦定理、平面几何与三角函数等知识，难度较低，一般出现在前三个题。 （3）函数问题老生常谈，在解决实际问题中的优化问题息息相关，解题过程一般体现导数的应用。 （4）线性规划在处理最优化问题中的应用。 应用题目的命制突出解决实际问题能力的考察，体现“贴近生活、背景公平、控制难度”的命题原则，小题鲜活，大题不难。 二、高考预测 随着新课标的实施和高考改革的不断深入，对应用型题目的考察越来越重视，预计在今后的考察中，不但会加大题量，而且还会从广度和一定的深度上全方位考察，考察学生综合运用数学知识解决实际问题的能力。 三、攻破策略 1攻略之一——学会数学建模分析的步骤 应用型问题解决的关键是把实际问题抽象为数学问题来解决，完成整个解题过程大体可以分为四个步骤： （1）读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系； （2）建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； （3）求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； （4）评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证。 【例1】(2009山东卷理)（本小题满分12分） 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧 上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在 的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065。 （1）将y表示成x的函数； （2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由。 解析：（1）如图，由题意知AC⊥BC, ， 其中当 时，y=0.065，所以k=9 所以y表示成x的函数为 （2） ， ,令 得 ，所以 ,即 ,当 时, ，即 所以函数为单调减函数，当 时, ,即 所以函数为单调增函数，所以当 时，即当C点到城A的距离为 时，函数 有最小值。 【点评】本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 2攻略之二——掌握数学建模分析的具体方法 注意总结解高中数学应用题的基本模式,以便在解题过程中能尽快找到解题方法，达到“生中见熟”的效果。如行程、工程、浓度等问题可转化为方程(组)或不等式(组)的求解问题；平均增长率问题可转化为求解数列和指数方程(不等式)问题；用料最省、造价最低、容积(面积)最值问题可转化为函数、线性规划最值问题；应用题与平面图形有关时，如拱桥设计可转化为二次曲线，航海、测量问题转化为三角函数问题等；一般可采用关系分析法、列表分析法、图像分析法等方法、分析题目的层次、领会关键词语，弄清题图关系、重视条件转译，准确建模。 【例2】（2001年高考试题）（旅游业的投入产出问题）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少  ，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 。 （1）设 年内（本年度为第一年）总投入为 万元，旅游业总收入为 万元，写出它们的表达式； （2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 解析：在研究旅游业的投入产出问题时，根据“本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 ”和“旅游业收入每年会比上年增加 ”，其投入资金数列和收入（产出）数列均为等比数列，注意题目“设 年内（本年度为第一年）总投入 为 万元，旅游业总收入为 万元”中的“ 年内”说明“   ”、“   ”表示等比数列的前 项和。     建立数学模型：（1）第n 年的投入与收入资金数列列表如下 第n年 第n年投入资金（万元） 第n年旅游收入（万元） 1 800 400 2 3 4 ………… ……… ……….                         （2）略 【点评】通过列表分析，数学模型一目了然，不同的问题要灵活选用不同的分析方法。 3攻略之二——注重数形结合逐步翻译条件 应用性问题往往有大段的文字描述，在解答过程中要真读题、审题，通过审题领会其中的数的本质，并且要养成边读题边画图的习惯，树立数形结合意识,把抽象繁琐的文字叙述，逐步翻译为具体直观的图形关系。 【例3】（2009辽宁卷）如图， 都在同一个与水平面垂直的平面内， 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 处测得 点和 点的仰角分别为 ， ，于水面 处测得 点和 点的仰角均为 ， 。试探究图中 间距离与另外哪两点距离相等，然后求 的距离（计算结果精确到0.01km， 1.414， 2.449）         解析：在 中， ， ＝60°－ ＝30°， 所以  又 ＝180°－60°－60°＝60°，     故 是 底边 的中垂线，所以 ，          在 中， ，               即AB＝     因此， 故 的距离约为0.33km。 【点评】对于这类问题在解题过程中,要明确相关的术语概念,如方位角\仰角\俯角等概念,这时顺利解出题目的前提. 4攻略之四——注意语言表达的完整性     数学应用题的求解不同于一般的数学运算题，有人比喻它是数学中的小作文，因此解数学应用题要做到“有头有尾”，把问题中的普通语言转化为数学语言，引入变量与字母，画出图形，将数学建模的过程详细地写出来，建立数学模型后，要准确地求解，并注意计量单位的一致，最后对于所得数据不仅要思考或检验是否与实际吻合，而且要给出完整的答案。 四、考点精炼 1.落在平静湖面上的雨滴,使水面产生一圈一圈的同心圆形水波,在此后的一段时间内,若最外一圈水波的半径 (单位:米)与时间 (单位:秒)满足函数关系式 ,则在2秒末扰动水面面积的变化率为 (　　) A.    B.    C.      D. 2.我国股市中对股票的股价实行涨跌停制度,即每天的股价最大涨幅或跌幅均为 ,某股票连续四个交易日中的前两天每天涨停,后两天每天跌停,则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是(    ) A.下跌1.99%   B.上涨1.99%  C. 保持不变    D.无法确定 3.(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测，图是根据抽样检测后的     产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(        ) A.90   B.75   C.  60     D.45 4.（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是    A. 12万元           B. 20万元           C. 25万元          D. 27万元 5．(2007年湖北文理)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （小时）成正比；药物释放完毕后， 与 的函数关系式为 （ 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： （I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （小时）之间的函数关系式为              ． （II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过                  小时后，学生才能回到教室． 6.(2009年湖北)如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域,称为这个卫星的覆盖区域，为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km。已知地球半径约为6400km,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为        km。(结果中保留反余弦的符号)      7.（2007年湖北）（本小题满分12分） 某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 （单位：元， ）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件． （I）将一个星期的商品销售利润表示成 的函数； （II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 8.（2007年山东）（本小题满分12分） 如图，甲船以每小时 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 处时，乙船位于甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距 海里，当甲船航行 分钟到达 处时，乙船航行到甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距 海里，问乙船每小时航行多少海里？ 9.（2009安徽卷理）（本小题满分12分）     某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是 .同样也假定D受A、B和C感染的概率都是 。在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量，写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值（即数学期望）。 参考答案 1. A 2.A 3. A 【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为 ，则 ,所以 ,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.故选A. 4. D 【解析】设生产甲产品 吨，生产乙产品 吨，则有关系：高考资源网   A原料 B原料 甲产品 吨      3      2 乙产品 吨           3      则有：    目标函数    作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：    当 ＝3， ＝5时可获得最大利润为27万元，故选D 5. ；0.6 6.【答案】12800arccos 【解析】如图所示，过 做圆的两条切线,切点为 ,可得AO=36000+6400=42400，则在 Rt△ABO中可得cos∠AOB= 所以 两点间的球面距离 7.解析：（Ⅰ）设商品降价 元，则多卖的商品数为 ，若记商品在一个星期的获利为 ， 则依题意有 ， 又由已知条件， ，于是有 ， 所以 ． （Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有 ． 2 12 0 0 极小 极大 故 时， 达到极大值．因为 ， ，所以定价为 元能使一个星期的商品销售利润最大。 8. 解析：如图，连结 ， ， ， 是等边三角形， ， 在 中，由余弦定理得 ， 因此乙船的速度的大小为 答：乙船每小时航行 海里. 9. 本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。 解：随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P X的均值为 附：X的分布列的一种求法 共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是 ： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ A—B—C—D A—B—C └D A—B—C └D A—B—D └C A—C—D └B 在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。 www.ks5u.com