中考数学热点问题的梳理与预测

  中考数学热点问题的梳理与预测 　　一、科学记数法是每年中考必考的内容之一，虽说这种知识的考查只有一道题，且题型为选择题或填空题，而一旦赋予其不同的数学情境，并与精确度和有效数字组合在一起时，正确结论的获得也决非显而易见的。在复习中把科学记数法设计成一个小专题，提醒学生在比较复杂的问题情境中确定出问题的主攻方向，准确给出问题结论，无疑会帮助学生驱除茫然、模糊、失落情绪。 　　二、平面图形在定直线上按顺（逆）时针方向进行无滑动翻滚的问题，从 2004 年至 2006 年的数学试卷中我们都会发现其踪影。 2004 年所取翻滚平面图形是等边三角形； 2005 年所取翻滚平面图形是直角三角形； 2006 年所取翻滚平面图形是长方形，题目的情境令命题者难以割舍，所求问题局限在计算几段圆弧线之和或几个扇形面积之和。若今年的命题者继续垂青这种类型的题目，所选择的翻滚平面图形已所剩无几，建议教师在复习此类题目时一定要讲清“动点”在运动变化时形成的轨迹是什么，从而确定计算的依据，这样才能使学生的思维处于一种严阵以待的状态。 　　三、平面图形折叠问题在历届中考试卷中屡见不鲜，除去把一个平面图形经过折叠后围成一个符合条件的几何体或把一个几何体表面展开成为一个相应的平面图形外（包括圆柱、圆锥侧面展开图问题），另一种命题特征无论是一个角的折叠，还是多边形的折叠（一般是四边形）都遵守一个原则，那就是折叠前的图形和折叠后的图形仍是平面图形。一定要向学生请讲清楚折叠前后的两个图形是全等形且具有对称性，以便于我们寻找相等关系（对应边、对应角）组合成对问题结论有帮助的思维途径。特别是长方形的折叠问题，已在近三年的中考试卷中反复出现，而且贯穿在选择题、填空题、解答题三种题型之中，命题的思路从两个方面进行，一是平面几何中的命题结构；二是平面解析几何的命题结构（将折叠图形放置在平面直角坐标系内）， 2005 年中考试卷的最后一题即以这种命题结构结尾完成整个试卷的呈现形式的。 　　四、函数是数学中考命题重要的组成部分，由于函数应用广泛与实际生活有密切关系，故在命题取材空间上张弛自如，尤以函数图象作为选择支见长。正比例函数，一次函数，反比例函数，二次函数（初中教材中三角函数尚未出现解析式与图象的一一对应关系）成了命题者的素材来源。无论是模拟样题，还是中考选拔考试，函数与物理学科的联手出击，也逐渐得到大家的一致认可，联想到改换版本（人教版）教材，我们更有理由相信，函数分段的表达形式也是中考命题的应用范围，对于函数求解析式问题，更要引起思维上的高度重视。一旦函数与应用问题结合在一起，探求变量之间的存在的状态时，灵活运用所给的已知条件就是思维经历把文字语言转化成符号语言抉择的过程。实际上，求具体情境下的函数关系问题，把两个变量看作两个未知量，解决问题运用的就是方程思想，运用方程思想探求函数解析式，易于被学生接受。教师在复习引领中，既要注重函数解析式的不同求解思路，还要注意向学生强调列方程和确定函数解析式的严谨层次。根据课程标准中“能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值”的具体要求，命题者一定会在函数解析式和实际问题的对接中，对自变量的取值范围加以界定，并会作为考查学生思维的一个命题分支有所设计。这样的命题思想在同一张中考试卷将会反复出现而不拘泥于命题的题型，从而函数的自变量取值范围是值得我们十分关注的中考必考内容。每年的中考问题设置常会在填空题题型中出现函数解析式右端自变量呈现形式或是分式，或是分式与根式的简单组合，引发学生的多向思考，主要是考查学生严谨思维的具体表述。尤其是通过跨学科间的综合考查，函数解析式的自变量的确认及取值范围制约着函数图象存在状态及所在区间，对函数的最值问题也会起到了举足轻重的作用。当设置的函数应用问题出现在学生的视野中，其中隐含着自变量的取值范围更是严谨思维中不可或缺的经典问题之一，把文字语言转化成符号语言或图形语言也就顺理成章成为考查学生思维能力的一种方式。在复习中要在强化函数自变量取值范围的符号语言的同时，对于“ y 随自变量 x 的增大而增大（减小）”的文字语言转换，要求学生表述有序，不要在此处引发思维的徘徊不定，更要借助图形语言的直观性，确定思维的准确性。在错综复杂的中考问题复习中，站在一个严谨思维的角度，审视函数自变量的取值范围的不同表现形式，弥补教材中知识编排结构上的不足，是我们在中考复习中的明智之举。 　　五、对于计算（求解）类问题，包括数与式的加、减、乘、除、乘方、开方的运算种类，还包括直角三角形的边角关系特殊值的考查，底数不为零时幂的运算问题，也可将因式分解的代数式变形问题囊括其中，此类试题主要是考查学生基本知识，基本技能的熟练程度，试题题干本身仅对数与式有限计算有一些较为明显的计算限定，相反数、倒数、绝对值、整式、分式、根式最基本的一些命题要素，也会成为命题者考虑的概念性计算的隐性设计。若将对称性问题（轴对称、中心对称）引入平角直角坐标系中，计算的问题就会在一种动态的思维中运行，引发学生进行深刻思考。至于几个分式组合化简问题，也会在解答题的题型中以不同形态展现风采，特别是几个分式经历加减乘除运算之后成为一个整式后，分式有意义的有关限定仍然存在而影响着赋值的取舍，要教会学生圆满地回答问题，命题者会考虑在某些知识结构的关键处设计“智力陷阱”，将会出现在中考试卷中看似不经意的问题表述中。 　　六、对于轴对称图形和中心对称图形的考查，在历年的中考试卷中都会有所体现，在选择题的题型设置中，取材学生于日常生活经历的实例，结合教材的知识结构，完成图形对称问题的展现，是中考试卷中常见的命题方式。看似简单的问题，也需要教师在复习中提醒学生注意问题细节的描述，稍不留意得分的机会就会失之交臂，建议在复习中应该从两条主线行进，一是简单平面图形是否具有对称性，即在没有平面直角坐标系做为背景支持的平面图形在平面内翻转、旋转问题的确认，再有就是函数图象的对称性问题的强化，在基本函数解析式的呈现过程中，稍作“修饰”，即组合成图形具有对称性的奇妙方式，例如函数 y=|x| ，是现行教材中出现的场景；函数 y=  的图象考查是去年的一道中考试题。从正比例函数，一次函数，反比例函数，二次函数的教材编排结构中对函数解析式精心装扮，将会使对应的函数图象随之发生变化而引出新颖的数学情境层出不穷。当把轴对称图形和中心对称图形刻意编排在同一道试题中，是轴对称图形而不是中心对称图形；是中心对称图形不是轴对称图形，既是轴对称图形又是中心对称图形；既不是轴对称图形又不是中心对称图形的考查组合方式难道不值得大家在复习中应当面对且需要解决的问题吗？ 　　七、因式分解是近几年来在填空题中反复出现的题目，课程标准指出，会用提公因法，公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解。（指数是正整数）。根据这一具体要求以及近几年来出现在中考试卷中因式分解题目表现形式，探寻之后我们会得到命题的规律，就是在所给的多项式中其项数不会超过四项。虽然在现行教材中没有提及分组分解法，但根据命题的设置趋势，建议在复习中引进分组的不同组合的操作过程，减少学生思维带来的盲目性，使正确结论在思维探索中快捷浮出水面。由于数学知识结构的环环相扣，适时把十字相乘法做为提高学生因式分解解题速度的一种变形手段，无疑会对分式的计算和化简，会用因式分解法解简单的数学系数的一元二次方程，都会起到重要的桥梁主干作用。一种思维方法究竟对学生学习是否能起到促进作用，需要在课堂教学实践中加以检验，我们才能更加认识到其价值存在的意义。只要对学生发展思维能力有帮助，而学生又乐于接受的教学知识的表述形式，我们都将视为宝贵的教学资源而乐此不疲运用在教学实践中。这就要求学科教师们站在教材编排知识结构的前列，勇于把有创见性教学设计在实践中进行验证，才是对现有教材研究完善的最好诠释。 　　八、数学课程标准要求：会解一元一次方程，简单的二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个），能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。从近几年的中考试卷中，运用方程思想进行问题解决的题目愈演愈烈，达到了一个较高的思维层次。特别值得关注的是，有些分式方程化为整式方程过程中，已经突破了“可化为一元一次方程的分式方程”的界限，分式方程经转化后出现了一元二次方程的情况。根据现有教材的编排程序，在学习分式方程转化为整式方程时，仅有一元一次方程做为“接应”，分式方程与一元二次方程的知识链接中间还处于一种“真空”状态。因此，课程标准在提及分式方程时作了上面的规定。当学生完成了一元二次方程知识的学习之后，回过头再审视分式方程，在初三总复习中，就要注重分式方程转化为一元一次方程和一元二次方程两种情况。由于在整个初中阶段分式方程在问题解决中占有独特的生存结构，因而“检验”应是教师向学生反复强调的一个重要环节，中考阅卷评分对此也有着非常严格的要求。对分式方程检验的正确表述要引起步入中考学生们的特别关注，以免在日趋激烈的竞争中失去获得最佳成绩的机会。而用方程思想解决现实世界应用问题，更是中考必考的经典项目，在经历了整式方程、分式方程的诸多洗礼之后，学生会对这类题目有所准备，应避免解题环节上的残缺不全。 九、直角三角形的相关内容也是命题者应该慎重考虑的命题范围，勾股定理守护着直角三角形边与边的关系；“直角三角形两锐角互余”确定了直角三角形三内角的思维路线；表现直角三角形边角关系的锐角三角函数（ sinA 、 cosA 、 tanA ）都将成为中考复习的重要知识领域。要教会学生对于一副三角板的不同层次应用的认识：会根据所给的直角三角形两边的长度，求出第三边的长度；会根据直角三角形的内角之间的关系，确定出特殊三角函数值。更重要的是，通过解直角三角形的边角关系，把握知识与实践的有机结合，对于坡角，仰角、俯角、方位角概念的应用，抓住问题的要害，灵活运用知识在众多的问题情境中，提炼出一些有规律的解题思路，借以不断完善日益成熟的解题策略。 　　十、用不完全归纳法探索数形结合的一些变化规律时，要把探索问题的起始点，恰当地刻画出问题存在的初始形态，保持问题原始状态中的逐项变化的数量描述。直线上 n 个不重合的点组成线段条数问题；在一个角的顶点处且在这个角的内部引 n 条不同的射线共组成多少个角的问题；平面内 n 条直线相交最多有多少个交点的问题；方程销售提（减）价引发销售量减少（增加）的问题，在现行教材中都显现出思维痕迹，在中考试卷中也可寻觅到这种题型的明显特征。在探索完成这类问题之后，用字母 n 表示出的式子一定要对 n 进行界定说明，不能认为是想当然存在。界定的可靠依据是以问题存在的实际情况为准则，不要造成思维上的疏忽。 十一、应用性问题的命题思路，当以考查方程、不等式，函数做为命题的主选方向，方程的设置区域尤以路程问题、工程问题、销售问题见长。方程的考查类型常见于二元一次方程组，分式方程及一元二次方程，与一次函数紧密相关的购买方案的选择问题也应归入应用问题中。要向学生反复强调，设未知数时表述的一定要完整，对于未知数的单位名称一定要书写到位，丢掉单位名称的问题设置将会出现解答上的缺陷而出现评价上的遗憾。不等式（组）的应用性问题在三年的中考试题中缺少强烈的应用组合痕迹，今年的中考试题是否在此处有所体现，我们在拭目以待中要有所准备。函数的应用性问题在近三年来的中考命题表现活跃，且往往有与函数相关的方程问题牵手前行，形成问题串式的命题风格，命题所选函数类型往往偏重于二次函数，求其函数最值的问题就趋于和谐自然。二次函数解析式的三种存在形式及其应用也就成为教师应该精心策划的复习内容，常考常新的二次函数命题地带已是大家公认的复习重点。 　　十二、对于考查平面几何中的推理证明问题，命题者推崇一种把证明途径隐藏起来，在看似平平淡淡的“…如果成立，写出证明过程，如果不成立，写出理由”的需要判定的文字语言表述中，让参加考查的学生表明自身的判断，再对判断给出探索过程。要让学生熟悉解答这种考题的书写形式，更要注重判断是来自于自身的缜密推理，一旦考题构成与动态思维携手共进的情境，数学思维起点就会有明显的高度。把证明的问题明朗化，缺少判断探索过程的命题结构，已逐渐被日益创新的命题方式所取代。在复习中，倡导多种途径开发思维，要让学生的思维在保持严谨性的基础上高速运转起来，兼以辅助线的引入，使得学生在复习时的逻辑推理中善于冲破问题表面的坚硬外壳，直击问题的关键之处，用数学思维语言正确表述解决问题的全过程。 　　十三、统计与概率在试卷中占 20% 的份额，即统计与概率的中考试题分数约占 24 分。在具体的复习中要求学生能够指出总体、个体、样本、样本容量，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差，理解频数，频率的概念，会列频数分布表和会画频数分布直方图，能够运用列表法、树状图计算简单事件发生的概率。课程改革中的有关统计内容的中考试题，通常都会在频数分布直方图这个问题的汇集点处进行命题，要在扇形图、条形图、折线图和直方图四者之间建立起和谐的思维结构体系，图形与图形间的相互转化和相互联系是动态复习的一种甚佳的迎考方式，特别是条形图和直方图的区别与联系、学生要有清晰的认识，更要对直方图的横轴和纵轴所表示的实际意义有深刻体会。对于概率知识的复习，根据课程标准中的具体要求，只需要学生在具体情境中会用列表法，画树状图的方法而对简单的概率问题表述学生自身的想法即可，不要把有关求概率的问题人为加大难度。 　　十四、 2005 年及 2006 年的开放性问题都是以填空题的形式出现在考卷中的，这种开放问题的共同特征都是题设固定，而结论开放的表现形式及要求各不相同。按照填空题的解题要求，只需把获得的结论直接填在相应的横线位置上即可，所以一些在教材中没有出现的符合题设条件的正确结论都可做为答案书写在试卷上，譬如射影定理的相关结论，相交弦定理的相关结论，切线长定理的相关结论，都可直接出现在问题解决的表述中。在复习中要坚持基本知识和基本技能的常规训练，辅以开放性问题的设计要求，让学生熟悉此类问题是发散思维的具体表现，切忌持之过急，引发学生的焦躁心理。今年的开放性问题已被列入命题范围，是否会变换命题结构，使其成为题设开放，结论固定；或题设开放、结论开放；或是给出几个题设，再辅助相应组合，构成题干的命题存在形式，都是学科教师应该思考如何让学生能够理解接受的问题。联系到教材涉及的内容，当圆与相似三角形联手，有关动点、动直线的思维出现在学生视野中，学生能否能在“开放”的思考中找出一些的问题所需的结论呢？ 　　十五、对于综合性极强的问题串形式的解答题，应当从具有平面直角坐标系做为数学情境，充分利用数形结合的思想，依据原有问题的动态变化形式，心随题动，注重问题发生时所在的象限，使思维在探索中趋于严谨。在没有平面直角坐标系做为“背景”支持的平面几何中数形结合的问题，构成题干的风格都与动态思维有关，更与变量取值有关，全等形的性质及判定，相似形的性质和判定蕴含其中，旨在考查学生在“动态”中找寻瞬间定格中的“静态”，复习中要参考历年来中考试卷有关题目，帮助学生细细品味综合题目给思维带来的启示和感悟。不可否认的是，这类题目也是命题者为突出学生之间成绩区分度的精心设计，因而不能要求全体学生在复习时全员通过。