《圆的面积》教学实录

教学目标：            1、经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。            2、能正确运用圆面积的计算公式计算圆的面积。            3、在探究圆面积的计算公式过程中，体会转化的数学思想方法；初步感受极限的思想。　　教学重点和难点：                   圆面积的计算公式推导。　　教学准备：                  圆形纸片、剪刀、多媒体课件、微课视频等。　　课前谈话：　　师：《曹冲称象》的故事，大家都知道吧？　　生：知道。　　师：老师有个问题不明白，本来想知道大象的重量，曹冲为什么要称那些石头呢？　　生：石头的重量和大象的重量相等。　　师：你说的这点很关键，必须保证石头和大象的重量相等，这样称出的石头的重量就是大象的重量。那曹冲为什么不直接称大象呢？　　生：因为大象太重，不能把大象杀死分成小块所以不能直接称出大象的重量。　　师：是呀，在当时条件下，无法直接称出大象的重量，所以曹冲才想出用石头代替大象的方法。其实这也是我们数学学习中经常要用到的“转化”的方法。也就是当我们遇到新问题，而不能直接解决时，可以把它转化成用已有的知识和方法能解决的问题。今天我们就运用转换的思想来解决问题，想不想尝试一下？　　教学过程：　　一、开门见山，揭示课题　　师：（出示一个圆粘在黑板上）大家看，这是什么图形？　　生：圆形。　　师：我们已经认识了圆，学习了圆的周长，这节课我们一起来学习圆的面积。（板书课题：圆的面积）　　二、初次探索，小试牛刀　　师：展示正方形、长方形、平行四边形。　　生：回顾什么是正方形、长方形、平行四边形的面积和它们的面积公式　　师：请你想一想，什么是圆的面积呢？　　生：圆的大小就是圆占平面面积的大小。　　师：就是说圆所占平面的大小就是圆的面积。（师用课件的动画展示）那怎么求圆的面积呢？（学生沉默）大家好像遇到了困难，请你在大脑中搜索一下，以前我们研究一平行四边形的面积时，用到过哪些好的方法了？　　生：可以把新图形转化成已学过的图形，平行四边形可以通过剪拼转化成长方形求出面积。　　师：那圆能不能转化成我们学过的图形呢？我们可以试一试。请大家利用手中的圆纸片和准备的工具在小组内研究研究。折一折、剪一剪、拼一拼都可以。（学生活动，教师巡视。）　　师：大家请安静，刚才老师发现有的小组已经有想法了。我看你们小组的想法就很好，谁代表小组上来说一说？大家认真听，看看他们是怎么想的？　　生1：我们想把圆沿着半径剪成4个扇形，把这些扇形重新拼一拼，拼出的图形有些像平行四边形。　　师：多有创意的想法呀，这个小组先把圆剪成4份，又重新拼成了新的图形（板书：剪拼），求出这个图形的面积也就知道了圆的面积（把学生拼的图形贴在黑板上）。这个小组说他们拼成了平行四边形,大家觉得像吗？　　生：不像。　　师：怎么让拼成的图形更像平行四边形？　　生：分的份数再多一些　　师：说得太好了！抓住了问题的关键。（板书：转化）　　三、再次探索、曲径通幽　　师：我发现一个问题，不管是折成的三角形，还是剪拼成的平行四边形都不是很像，怎么才能更像呢，这就是下面要研究的问题。请每个小组在两种思路中选择一种继续研究。　　小组合作，教师巡视指导。　　师：各个小组都研究出结果了，谁想先来展示一下？请你们小组先说。　　生1：可以继续折纸，把圆平均分的份数再多一些，分成8份。　　师：你继续拼给大家看看。老师帮你粘在黑板上。　　师：这个方法还真不错，这个小组把圆剪成8份，（把这个小组的作品贴在黑板上）和刚才剪成4份拼成的图形相比，有什么变化呢？　　生3：分成8份拼成的图形比分成4份的更像平行四边形。　　师：能让拼成的图形更接近平行四边形吗？　　生3：可以把圆分的份数再多一些。　　师：哪个小组分的份数更多？　　（教师让另一组展示自己平均分成16份后拼成的图形。）　　生4：我们把圆剪成16份，拼成了平行四边形。（把这个小组的作品贴在黑板上）　　师：和前两次拼成的图形比，又有什么变化？　　生4：更像平行四边形了。　　师：如果要让拼成的图形比它还接近平行四边形，怎么办？　　生4：可以继续分下去，分成32份，64份，128份……　　师：现在如果老师让你把圆剪成128份，有什么感觉？　　生：太麻烦了。　　师：我们让电脑来帮忙。大家看，老师在电脑上把这个圆平均分了32份，拼成新的图形，你有什么发现呢？（课件演示）　　生：拼成的图形更接近于平行四边形。　　师：如果把圆平均分成64份呢？（课件演示）　　生：更接近于平行四边形了，有些像是长方形了。　　师：把圆平均分成64份，拼成的图形有些像长方形了。大家想象一下，如果把圆分的份数再多呢？　　生：拼成的图形更接近长方形。　　师：大家请看屏幕，（课件演示）把圆平均分成128份，拼成的图形看起来很像长方形了，分的份数再多呢？　　生：简直就是长方形了。　　师：把圆剪一剪，拼一拼，得到的图形越来越接近于长方形。这样就把求圆的面积转化成了求长方形的面积。我们把圆转化成了长方形，形状变了，什么没变呢？　　生：面积。　　师：求出了长方形的面积，也就求出了圆的面积，这种方法也很好。　　请大家认真观察长方形与圆有什么联系？（师演示ppt，生认真观察后填空，师板书）　　四、另辟蹊径、一枝独秀　　师：老师巡视的时候看着以为同学用另一种方法来解决问题的，下面大家欢迎他，让他来给大家演示一下。　　生：就是把圆平均分成16份时其中的一份，（贴在黑板上）看起来很接近三角形了。如果分的份数再多呢？请大家闭上眼睛想象一下，如果把圆平均分成32份、64份……分的份数越来越多，其中的一份越像三角形。三角形的底可以看成这段弧，三角形的高可以看成是圆的半径。那么圆的面积就是16个三角形的面积之和。　　师：用这个小组的方法，成功地把求圆的面积转化成求三角形的面积，你们的方法真好。　　推导公式、初步建模　　师：刚才同学们借助学具通过动手操作，都找到解决问题的方法了。一种是把圆转化成长方形求出面积；一种是把圆转化成三角形，得到圆的面积。可是数学学习不仅需要动手操作，更需要借助数字、字母和符号等进行动脑思考和推理。现在，老师想给大家提个更高的要求：每个小组能不能还利用刚才选择的方法，推导出圆的面积计算公式呢？这可是一个很有挑战性的任务！大家有没有信心完成？生：有！　　师：刚才大家利用圆纸片折的、剪拼的图形都不太标准，老师给大家准备了屏幕上呈现的这两种方法的示意图帮助你思考，大家可以对照示意图把推导的过程写在图的下面。　　（教师按照每个小组选择的方法分发学具。学生讨论，教师巡视指导。）　　师：这个小组迫不及待地想展示他们推导的结果了，我们一起来看看。　　生1：（剪拼法）把圆剪一剪、拼一拼变成了长方形，它们的面积是相等的。长方形的长相当于圆周长的一半，用c÷2=∏ r表示，宽相当于半径，用r表示。长方形的面积=长×宽，圆的面积=p r×r=∏ r2师：大家听清楚了吗？谁愿意再起来说一说。　　（教师再请一个同学说自己的想法）　　师：你们表现得真好！我们再来听一听这个小组的想法。　　生2：圆的面积= c÷32×r÷2×32= c×r÷2　　师：你们的式子还挺复杂，能说一说每一步表示什么吗？　　生：把圆平均分成32份，三角形的底是c÷32，高是半径r。圆的面积= c÷32×r÷2×32= c×r÷2　　师：（结合学生的交流继续引导探索）c可以用2∏ r表示，2∏ r×r等于2∏ r2 ，2∏ r2除以2等于∏ r2。　　师：刚才两个小组推导的结果都是∏ r2，真是条条大路通罗马呀。圆的面积可以用S表示，圆的面积计算公式就是：S=∏ r2。现在看来，求圆的面积需要什么条件就可以了？　　师：（边讲边板书）老师也听明白了，把圆转化成长方形，面积是相等的。长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=∏r×r=∏r2。现在要求圆的面积是不是很简单了？知道什么条件就可以求出圆的面积了？　　生：圆的半径。　　师：知道了半径，用∏乘半径的平方就求出了圆的面积。　　五、解决问题、巩固新知　　1、师：现在你能求出黑板上这个圆形纸片的面积了吧？需要什么条件？这个圆的半径是10厘米，面积是多少呢？如果直径是40厘米，怎样求远的面积？请大家做在练习本上。（请一名学生到黑板上板演，教师组织交流。）　　2、师：知道圆的半径可以求出圆的面积，那么，知道直径和周长能不能求出圆的面积呢？教师出示周长为12.56厘米的圆，学生思考后说出求面积的方法，即要求圆的面积必须先根据直径或周长求出圆的半径。　　六、当堂小结、收获新知　　师：时间过的很快，一节课就要结束了，大家有什么收获？　　生：我会求圆的面积了，公式是S=∏ r2。　　师：这是知识上的收获，在解决问题的方法上有没有什么收获呢？　　生：可以把圆转化成学过的图形推导出圆的面积计算公式。　　师：同学们不仅学会了怎样计算圆的面积，更重要的是大家运用转化的方法，把圆这个新图形转化成了已经学过的图形，从而求出了圆的面积。以后大家遇到新问题，都可以尝试一下，看看能否把它转化成已经学过的知识来解决。