浅谈导数在高中数学中的应用

浅谈导数在高中数学中的应用【关键词】高中数学中的导数；应用 　　导数是高中数学新教材中新增内容之一，它的引入给传统的中学数学内容注入了新的生机和活力，也为中学数学解决问题注入了新的途径和方法。导数是高等数学的内容，是对函数图像和性质的总结和拓展，是研究函数单调性、极值、最值的重要工具。利用导数可以解决现实生活中的最优化问题。由此可见，它在高中教学中起着非常重要的作用。本文从几个方面出发，谈一谈导数的应用。 　　1. 几何方面的应用 在导数概念的基础上，结合函数图像来研究导数的几何意义是导数概念的延伸，是导数知识的重要内容。导数是微积分中的重要基础概念，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。 　　在解析几何中，我们求曲线的切线，只需要知道曲线的方程y=f（x）和曲线上的任意一点，利用对函数求导就可以得到这一点的切线方程。 　　下面给出求曲线的切线方程的方法步骤： 　　（1）求导数，得到曲线在该点的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，利用点斜式求出切线方程：y-f（x0）=f'（x0）（x-x0） 　　例1. 试求曲线y=xlnx上点（1，2）的切线方程 　　解： 对函数f（x）=xlnx 　　求导得f'（x）=lnx+1 　　所以f'（1）=ln1+1=1，所以在点（1，2）的切线方程为 　　y-2=1（x-1） 　　即 y=x+1 　　切线方程： y=x+1 　　先求出函数y=f（x）在x=x0处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程。 　　例2. 求垂直于直线2x-6y+1=0并且和曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程。 　　解 因为所求的直线与已知直线2x-6y+1=0垂直 　　所以所求直线的斜率 k1=-3 　　又因为所求直线与y=x3+3x2-5相切， 　　所以它的斜率 k2=y'=3x2+6x 　　因为k1=k2 即 3x2+6x=-3 　　所以（x+1）2=0 即 x=-1 　　代入曲线方程得 y=（-1）3+3（-1） 2-5=-3 　　所以切点为 （-1，-3） 　　故所求直线方程为y+3=-3（x+1）即3x+y+6=0 。 　　2. 在函数方面的应用 运用导数知识研究函数性质的试题，研究对象已经突破了单纯的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等命题常以复合的函数形式出现。 　　2.1 函数单调性的讨论。（1）利用导数的符号判断函数的单调性。函数的单调性是函数最基本的性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。通常用定义来判断，但当函数表达式较复杂时判断f（x1）-f（x2）正负较困难。运用导数知识来讨论函数单调性时，只需求出f'（x） ，再考虑f'（x）的正负即可。此方法简单快捷而且适用面广。 　　利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想。一般地，在某个区间（a，b）内，如果f'（x）>0 ，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f'（x）0时， y=f（x）在相应区间上是增函数；当f'（x）0 得 x13 　　当y'10 ，即x >2或x