几何体外接球和内切球问题的解答方法

几何体的外接球和内切球问题 大家知道，几何体的外接球和内切球问题是近几年的高考热点内容，尤其是几何体的外接球 问题，基本上近几年的高考试题中都有出现。归结起来这类问题主要包括两种类型：①已知 几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积；②已知几何体的顶点 都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积；解答这类问题的基本思路是根据 问题给出的条件，求出球的半径，然后再运用球的体积（或表面积）公式进行计算得出结果。 从题型上看是 5 分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从难易程度上看，属于中、低档 难度的问题。那么如何解答这类问题呢？下面通过例题的解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、已知三棱锥 P—ABC 的三个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC， ABC 是边长为 2 的正三 角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点， CEF= ，则球 O 的体积为（ ）（2019 全国高考 新课标 I（理）） A 8 B 4 C 2 D 2、《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面 垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧 1 视图是如图所示的直角三角形，若该阳马的顶点都在同一个 1 2 球面上，则该球的体积为（ ）（2018 成都市高三二诊） （正视图） （侧视图） A B 8 C D 24 【解析】 1、【考点】①正三棱锥的定义与性质；②正三棱锥外接球的定义与性质；③几何体外接球半 径的求法；④球的体积计算公式与方法； 【解题思路】运用正三角形的性质和正三棱锥外接球的性质求出外接球的半径，再运用球的 体积公式进行计算得出结果； P 【详细解答】如图，取 BC 的中点 D，连接 AD，PD，设 正三角形 ABC 外接圆的圆心为 ，连接 P ，设外接 E O 球的球心为 O，连接 AO， ABC 是边长为 2 的正 C 三角形，D，F 分别 BC，AB 的中点， AD=CF=2 A F B = ， A = ， PA=PB=PC， ABC 是正三角形， P—ABC 是正三棱锥， PB AC， E，F 分别是 PA，AB 的中点， EF//PB， EF AC， CEF= ，AC CE=C，AC，EC 平面 PAC， EF 平面 PAC， PB 平面 PAC， APB= ， PA=PB=PC= ， PD =1， P = = ，设外接球的半径为 R，在 Rt A ∆ ∠ .90 6 π 6 π 6 π 6 π 8 6 3 π 6 π 6 π π 1O 1O  ∆ ∴ × 1O 3 2 3 ⇒ 1O 2 3 3  ∆ ∴ ⇒ ⊥  ∴ ⇒ ⊥  ∠ .90  ⊂ ∴ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∠ .90 ⇒ 2 ⇒ ⇒ 1O 11 3 − 6 3 ∆O 中， AO=R，O = -R，A = ， = + ， = + ， R= ， = = = 选 D。 2、【考点】①四棱锥的定义与性质；②四棱锥外接球的定义与性质；③几何体外接球半径的 求法；④球的体积计算公式与方法； 【解题思路】运用长方形的性质和四棱锥外接球的性质求出外接球的半径，再运用球的体积 公式进行计算得出结果； 【详细解答】如图，连接 AC，BD 相交于点 ，过 P 作 E 平面 ABCD，设四棱锥 P-ABCD 的外接球 的球心为 O，半径为 R，连接 CO， 四边形 ABCD O 是长方形，AB=2，BC=1， BD= = ， A D D= ，在 Rt OD 中， OD=R，O = B C PA= ， D= ， = + ， = + ， R= ， = = = 选 C。 〖思考问题 1〗 （1）【典例 1】是已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积 的问题，解答这类问题的关键是求出外接球的半径； （2）解答已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积的问题 的基本方法是：①根据几何体底面的几何图形，确定底面多边形的外接圆的圆心 ；②过 底面外接圆的圆心作底面的垂线，在所作垂线上确定几何体外接球的球心 O；③构造以外接 球半径为斜边，O 为一直角边的直角三角形；④在构造的直角三角形中求出外接球的半径 R；⑤由公式： = 求出外接球的体积。 [练习 1]解答下列问题： 1、设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积 为 9 ，则三棱锥 D—ABC 体积的最大值为（ ）（2018 全国高考新课标 III 卷） A 12 B 18 C 24 D 54 1O  1O 6 3 1O 2 3 3 2AO 2 1OO 2 1AO ∴ 2R 26( )3 R− 22 3( )3 ⇒ 6 2 ∴ OV球 34 3 Rπ 4 3 × 3 6 4 π 6 π ⇒ 1O 1O ⊥  ∴ 4 1+ 5 ⇒ 1O 5 2 ∆ 1O  1O 1 2 1 2 1O 5 2 2OD 2 1OO 2 1DO ∴ 2R 1 4 25( 2 ） ⇒ 6 2 ∴ OV球 34 3 Rπ 4 3 × 3 6 4 π 6 π ⇒ 1O 1O OV球 34 3 Rπ ∆ 3 3 3 3 32、已知底面边长为 1，侧棱长为 的正四棱柱的各个顶点均在同一球面上，则该球的体 积为（ ）（成都市 2017—2018 高一下期期末质量检测（文）） A B 4 C 2 D 【典例 2】解答下列问题： 1、在三棱锥 P-ABC 中，已知 PA 平面 ABC， BAC= ，PA=AB=AC=2，若该三棱 锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）(2018 成都市高三一诊) A 10 B 18 C 20 D 9 2、（理）三棱柱 ABC— 中，AB=BC=AC，侧棱 A 底面 ABC，且三棱柱的侧面 积为 3 ，若该三棱柱的顶点都在同一个球 O 的表面上，则球 O 的表面积的最小值为 ； （文）三棱柱 ABC— 中，棱 AB，AC，A 两两垂直，AB=AC，且三棱柱的侧面 积为 +1，若该三棱柱的顶点都在同一个球 O 的表面上，则球 O 的表面积的最小值为（ ） （2019 成都市高三三诊） Ａ　 　　　Ｂ　　 　　　Ｃ　　 2 　　　Ｄ　　　　 4 【解析】 1、【考点】正三棱锥的定义与性质；②三棱锥外接球的定义与性质；③几何体外接球半径的 求法；④球的表面积计算公式与方法； 【解题思路】运用等腰三角形的性质和三棱锥外接球的性质求出外接球的半径，再运用球的 表面积公式进行计算得出结果； 【详细解答】如图，取 BC 的中点 D，连接 AD，延长 AD 到 P ，使 D =AD，过 作 E 平面 ABC 于 ， 在 E E 确定三棱锥 P-ABC 外接球的球心 O，连接 OA，设外接球的 O 的半径为 R， ABC 是等腰三角形， BAC= ， A 是 ABC 外接圆的圆心，在 Rt A O 中， AO=R， B D C O = PA=1，A =AC=2， = + ， =1+4， R= ， =4 =4 5 = 20 选 C。 2、【考点】正三棱柱的定义与性质；②正三棱柱外接球的定义与性质；③几何体外接球半径 的求法；④球的表面积计算公式与方法； 【解题思路】运用正三角形的性质和正三棱柱外接球的性质求出外接球的半径，再运用球的 表面积公式进行计算得出结果； 2 32 3 π π π 4 3 π ⊥ ∠ .120 3 π π π 3 π 1A 1B 1C 1A ⊥ 3 1A 1B 1C 1A 2 π 2 π π π 1O 1O 1O 1O ⊥ 1O 1O  ∆ ∠ .120 ∴ 1O ∆ ∆ 1O  1O 1 2 1O 2AO 2 1OO 2 1AO ∴ 1O 2R ⇒ 5 ∴ OS球 表 π 2R × π π ⇒【详细解答】（理）如图，取 BC 的中点 D，连接 AD，取 AC 的中点 E，连接 BE 交 AD 于点 ，过 作 F 平面 ABC 于 ， F 在 F 上确定正三棱柱 ABC— 外接球的球心 O O，连接 AO，设外接球的半径为 R，AB=BC=AC=x， 正 A E 三棱柱的侧面积为 3 ， A = ，AD=BE= x， B D C B =A = x，在 Rt A O 中， AO=R，O = A = ，A = x， = + ， = + ， =4 =4（ + ） 4 =2 ， 球 O 表面积的最小值是 2 。 （文）如图，取 BC 的中点 ，过 作 D 平面 ABC 于 ，在 D 确定三棱柱 ABC— 外接 球的球心 O，连接 AO，设外接球的半径为 R，AB=AC O =x， ABC 是等腰直角三角形， A = x， A 棱 AB，AC，A 两两垂直，三棱柱的侧面积为 +1， B C A = ，在 Rt A O 中， AO=R，O = A = ，A = x， = + ， = + ， =4 =4( + ) 4 = ， 球 O 表面积的最小值是 ， 选 A。 〖思考问题 2〗 （1）【典例 2】是已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面 积的问题，解答这类问题的关键是求出外接球的半径； （2）解答已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积的问 题的基本方法是：①根据几何体底面的几何图形，确定底面多边形的外接圆的圆心 ；② 过底面外接圆的圆心作底面的垂线，在所作垂线上确定几何体外接球的球心 O；③构造以外 接球半径为斜边，O 为一直角边的直角三角形；④在构造的直角三角形中求出外接球的半 径 R；⑤由公式： =4 求出外接球的表面积。 1A 1O 1O 1O ⊥ 1O 1B 1C 1O 1A 1B 1C  3 ∴ 1A 3 x 3 2 1O ⇒ 1O 1O 3 3 ∆ 1O  1O 1 2 1A 3 2x 1O 3 3 2AO 2 1OO 2 1AO ∴ 2R 2 3 4x 2 3 x ⇒ OS球 表 π 2R 2 3 4x 2 3 x π ≥ 2 2 3 4 3 x x × π π ∴ π 1O 1O 1O ⊥ 1A 1O 1O 1A 1B 1C 1B 1C  ∆ ∴ 1O 2 2  1A 2 1O ∴ 1A 2 2x ∆ 1O  1O 1 2 1A 2 4x 1O 2 2 2AO 2 1OO 2 1AO ∴ 2R 2 1 8x 2 2 x ⇒ OS球 表 π 2R 2 1 8x 2 2 x π ≥ 2 2 1 8 2 x x × π π ∴ π ⇒ 1O 1O OS球 表 π 2R[练习 2]解答下列问题： 1、若矩形 ABCD 的对角线交点为 ，周长为 4 ，四个顶点都在球 O 的表面上，且 O = ，则球 O 的表面积的最小值为（ ）（2020 成都市高三零诊） A B C 32 D 48 2、（理）已知三棱锥 A—BCD 的四个顶点都在球 O 的表面上，若 AB=AC=AD=1， BC=CD=BD= ，则球 O 的表面积为 （文）已知三棱锥 P—ABC 的侧棱 PA，PB，PC 两两垂直，且长度均为 1，若该三棱锥的 四个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为 （2019 成都市高三二诊） 3、在正三棱柱 ABC— （底面是正三角形，侧棱垂直于底面的棱柱）中，所有棱长 之和为定值 a，若正三棱柱 ABC— 的顶点都在球 O 的表面上，则当正三棱柱侧面积 取得最大值 24 时，该球的表面积为（ ）（2018 成都市高三三诊） A 4 B C 12 D 1O 10 1O 3 32 2 3 π 64 2 3 π π π 2 1A 1B 1C 1A 1B 1C 3 π 32 3 π π 64 3 π