三角函数恒等式证明的基本方法

三角函数恒等式证明的基本方法 三角函数恒等式是指对定义域内的任何一个自变量 x 都成立的等式；三角函数恒等式的证明 问题是指证明给定的三角函数等式对定义域内的任何一个自变量 x 都成立的数学问题。这类 问题主要包括：①三角函数等式一边较繁杂，一边较简单；②三角函数等式的两边都较繁杂 两种类型。那么在实际解答三角函数恒等式的证明问题时，到底应该怎样展开思路，它的基 本方法如何呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、证明下列三角函数恒等式： （1） ； （2） ； （3）若 sin .cos ＜0,sin .tan ＜0，求证： = 2tan 。 【解析】 【知识点】①同角三角函数的基本关系；②二次根式的定义与性质；③分式的定义与性质。 【解题思路】（1）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明 恒等式；（2）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒 等式；（3）对左边运用分式的性质，同角三角函数的基本关系和二次根式的性质，通过运 算就可得到右边，从而证明恒等式。 【详细解答】（1） 左边=sin ( sin + cos )+ cos = sin + cos =1 =右边， ；（2） 左边= cos -2 cos +1+ sin =2-2 cos =右边， ；（3） sin .cos ＜0，sin .tan ＜0， 是第二象限的角， 是第一象限或第三象限的角，①当 是第一 象限的角时，左边= - = - = =2tan ；②当 是第一象限的角时，左边 = - = - 4 2 2 2sin sin cos cos 1α α α α+ + = 2 2(cos 1) sin 2 2cosα α α− + = − α α α α 1 sin 1 sin2 2 1 sin 1 sin2 2 α α α α + − − − + ± 2 α  2 α 2 α 2 α 2 α 2 α 2 α ∴ 4 2 2 2sin sin cos cos 1α α α α+ + =  2 α α 2 α α ∴ 2 2(cos 1) sin 2 2cosα α α− + = −  α α α α ∴ α ⇒ 2 α 2 α 2(1 sin )2 (1 sin )(1 sin )2 2 α α α + + − 2(1 sin )2 (1 sin )(1 sin )2 2 α α α − + − |1 sin |2 | cos |2 α α + |1 sin |2 | cos |2 α α − 1 sin 1 sin2 2 cos 2 α α α + − + 2 α 2 α 2(1 sin )2 (1 sin )(1 sin )2 2 α α α + + − 2(1 sin )2 (1 sin )(1 sin )2 2 α α α − + − |1 sin |2 | cos |2 α α + |1 sin |2 | cos |2 α α −= =-2tan ； 左边= 2tan =右边， 若若 sin .cos ＜0，sin .tan ＜0， = 2tan 。 2、求证： =1- ； 【解析】 【知识点】①和角公式及运用；②差角公式及运用；③同角三角函数基本关系。 【解题思路】对左边运用和角公式，差角公式与同角三角函数的基本关系，通过运算就可得 到右边，从而证明恒等式。 【详细解答】 左边= = =1- =1- =右边， =1- 。 3、求证： = ； 【解析】 【知识点】①二倍角公式及运用；②同角三角函数基本关系。 【解题思路】对右边运用二倍角公式与同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到左边， 从而证明恒等式。 【 详 细 解 答 】 右 边 = = =1- = = 左 边 ， = 。 4、求证： = ； 【解析】 【知识点】①二倍角公式及运用；②同角三角函数基本关系。 【解题思路】对右边运用二倍角公式与同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到左边， 从而证明恒等式。 1 sin 1 sin2 2 cos 2 α α α − − + − 2 α ⇒ ± 2 α ∴ α α α α 1 sin 1 sin2 2 1 sin 1 sin2 2 α α α α + − − − + ± 2 α 2 2 sin( )sin( ) sin cos α β α β α β + − 2 2 tan tan β α  2 2 (sin cos cos sin )(sin cos cos sin ) sin cos α β α β α β α β α β + − 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin sin cos α β α β α β − 2 2 2 2 cos sin sin cos α β α β 2 2 tan tan β α ∴ 2 2 sin( )sin( ) sin cos α β α β α β + − 2 2 tan tan β α 2sin 2 α 1 cos 2 α−  21 (2cos 1)2 2 α− − 22 2cos 2 2 α− 2cos 2 α 2sin 2 α ∴ 2sin 2 α 1 cos 2 α− 2tan 2 α 1 cos 1 cos α α − +【详细解答】 右边= = = =左边， = 。 5、求证：sin +sin =2sin cos ； 【解析】 【知识点】①和角公式及运用；②差角公式及运用；③二倍角公式及运用；④同角三角函基 本关系。 【解题思路】对右边运用和角公式，差角公式，二倍角公式与同角三角函数基本关系，通过 运算就可得到左边，从而证明恒等式。 【详细解答】 右边=2（sin cos +cos sin ）(cos cos +sin sin )=2 sin . cos cos +2 sin cos sin +2 sin cos cos +2 sin . cos sin = 2 sin . cos (sin + cos )+2 sin cos (sin + cos )= 2 sin . cos +2 sin cos = sin +sin =左边， sin +sin =2sin cos 。 6、求证：sin cos = 〔sin( + )+sin( - )〕； 【解析】 【知识点】①和角公式及运用；②差角公式及运用。 【解题思路】对右边运用和角公式，差角公式通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。 【详细解答】 右边= [（sin cos + cos sin ）+（sin cos - cos sin ）]= （sin cos + cos sin +sin cos - cos sin ）= sin cos =左边， sin cos = 〔sin( + )+sin( - )〕。 7、证明 -2cos( + )= ； 【解析】 【知识点】①和角公式及运用；②分式的定义与性质。 【解题思路】对左边运用和角公式与分式的性质通过运算就可得到右边，从而证明恒等式。 【详细解答】 左边= = = = = = =右边，  2 2 1 (1 2sin )2 1 2cos 12 α α − − + − 2 2 2sin 2 2cos 2 α α 2tan 2 α ∴ 2tan 2 α 1 cos 1 cos α α − + α β 2 α β+ 2 α β−  2 α 2 β 2 α 2 β 2 α 2 β 2 α 2 β 2 α 2 α 2 2 β 2 β 2 β 2 2 α 2 β 2 β 2 2 α 2 α 2 α 2 2 β 2 α 2 α 2 2 β 2 2 β 2 β 2 β 2 2 α 2 2 α 2 α 2 α 2 β 2 β α β ∴ α β 2 α β+ 2 α β− α β 1 2 α β α β  1 2 α β α β α β α β 1 2 α β α β α β α β α β ∴ α β 1 2 α β α β sin(2 ) sin α β α + α β sin sin β α  sin 2 cos cos2 sin 2sin (cos cos sin sin ) sin α β α β α α β α β α + − − 2sin 2 cos cos2 sin sin 2 cos 2sin sin sin α β α β α β α β α + − + 2sin (cos2 2sin ) sin β α α α + 2 2 2sin (cos sin 2sin ) sin β α α α α − + 2 2sin (cos sin ) sin β α α α + sin sin β α ∴-2cos( + )= 。 『思考问题 1』 （1）【典例 1】是三角函数恒等式的证明问题，从题型结构上看，问题中的恒等式都是等式 一边较繁杂，一边较简单，解答这类问题的基本思路是从等式较繁杂的一边入手，通过三角 函数的恒等变换使其余等式较简单的一边相等，从而证明三角函数的恒等式； （2）三角函数的恒等变换过程中涉及到同角三角函数基本关系，和角公式，差角公式，二 倍角公式，辅助角公式等基本知识点，理解和掌握这些基本知识点是解答该类问题的基础和 关键。 〔练习 1〕解答下列问题： 1、求证： = 2、证明 tan = ； 3、证明 cos sin = 〔sin( + )-sin( - )〕； 4、证明 =tan ； 5、求证：sin -sin =2cos sin ； 6、求证： =1+sin ； 7、求证：tan - =- ； 8、求证：tan( + )+tan( - )=2tan2 ； 9、求证： =sin +cos ； 10、求证：sin (1+cos2 )=sin2 cos ； 11、求证：2sin( + )sin( - )=cos2 【典例 2】解答下列问题： 1、证明下列三角函数恒等式： （1） ； （2） 。 【解析】 【知识点】①同角三角函数基本关系；②完全平方公式及运用。 【解题思路】（1）对两边运用同角三角函数基本关系，通过变换使之得到同一三角函数式， 从而证明恒等式；（2）对两边运用完全平方公式，通过变换使之得到同一三角函数式，从 而证明恒等式。 【 详 细 解 答 】 左 边 = = = ， 右 边 = sin(2 ) sin α β α + α β sin sin β α 2 2 1 2sin cos cos sin x x x x − − 1 tan 1 tan x x − + 2 α sin 1 cos 1 cos sin α α α α −=+ α β 1 2 α β α β 1 sin 2 cos2 1 sin 2 cos2 θ θ θ θ + − + + θ α β 2 α β+ 2 α β− 2(sin cos )2 2 α α+ α θ 1 tanθ 2 tan 2θ 4 π α 4 π α α 1 sin 2 sin cos ϕ ϕ ϕ + + ϕ ϕ θ θ θ θ 4 π α 4 π α 2 2 2 2tan sin tan sinθ θ θ θ− = 4 4 2 2sin cos 1 2sin cosx x x x+ = −  2 2 2 2 sin sin cos ) cos θ θ θ θ − 2 2 2 sin (1 cos ) cos θ θ θ − 4 2 sin cos θ θ. = ， 左边=右边， ；（2） 左边= +2 . + -2 . = -2 . =1-2 . =右边， 。 2、求证： = ； 【解析】 【知识点】①同角三角函数基本关系；②二倍角公式及运用。 【解题思路】对两边运用同角三角函数基本关系与二倍角公式，通过变换使之得到同一三角 函数式，从而证明恒等式。 【详细解答】 左边= = =2 ，右边= = = =2 ， 左边=右边， = 。 3、证明 。 【解析】 【知识点】①同角三角函数基本关系；②二倍角公式及运用。 【解题思路】对两边运用同角三角函数基本关系与二倍角公式，通过变换使之得到同一三角 函数式，从而证明恒等式。 【详细解答】 左边= = ，右边= = = = = = ， 左边=右边， 。 『思考问题 1』 （1）【典例 1】是三角函数恒等式的证明问题，从题型结构上看，问题中的恒等式都是等式 两边较繁杂，解答这类问题的基本思路是从等式的两边入手，通过三角函数的恒等变换，使 2 2 sin cos θ θ 2sin θ 4 2 sin cos θ θ ⇒ ∴ 2 2 2 2tan sin tan sinθ θ θ θ− =  4sin x 2sin x 2cos x 4cos x 2sin x 2cos x 2 2 2(sin cos )x x+ 2sin x 2cos x 2sin x 2cos x ∴ 4 4 2 2sin cos 1 2sin cosx x x x+ = − 1 sin 4 cos4 2tan θ θ θ + − 2 1 sin 4 cos4 1 tan θ θ θ + + −  21 2sin 2 cos2 (1 2sin 2 ) 2sin cos θ θ θ θ θ + − − 2sin 2 cos (cos2 sin 2 ) 2sin θ θ θ θ θ + 2cos (cos2 sin 2 )θ θ θ+ 2 2 2 2 1 2sin 2 cos2 2cos 2 1 cos sin cos θ θ θ θ θ θ + + − − 2 2 2 2cos2 .cos (sin 2 cos2 ) cos sin θ θ θ θ θ θ + − 22cos2 .cos (sin 2 cos2 ) cos2 θ θ θ θ θ + 2cos (cos2 sin 2 )θ θ θ+ ⇒ ∴ 1 sin 4 cos4 2tan θ θ θ + − 2 1 sin 4 cos4 1 tan θ θ θ + + − tan sin tan sin tan sin tan sin α α α α α α α α +=−  2sin cos sin (1 cos ) cos α α α α α − sin (1 cos ) α α− 2 sin (1 cos ) cos sin cos α α α α α + (1 cos ) sin α α + (1 cos )(1 cos ) sin (1 cos ) α α α α + − − 2(1 cos ) sin (1 cos ) α α α − − 2sin sin (1 cos ) α α α− sin (1 cos ) α α− ⇒ ∴ tan sin tan sin tan sin tan sin α α α α α α α α +=−之等于同一三角函数式，从而证明三角函数的恒等式； （2）三角函数的恒等变换过程中涉及到同角三角函数基本关系，和角公式，差角公式，二 倍角公式，辅助角公式等基本知识点，理解和掌握这些基本知识点是解答该类问题的基础和 关键。 〔练习 2〕解答下列问题： 1、求证： 2、求证： =sin +cos ； 3、求证：sin (1+cos2 )=sin2 cos ； 4、求证： = 。 cos 1 sin 1 sin cos x x x x +=− 1 sin 2 sin cos ϕ ϕ ϕ + + ϕ ϕ θ θ θ θ 2 2 1 2sin cos cos sin α α α α + − 1 tan 1 tan α α + −