数列通项公式的求法
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数列通项公式的求法

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资料简介
数列通项公式的求法 数列的通项公式是指表示数列任意一项与序号相关的式子。求数列的通项公式问题是目前高 考中的热点,可以这样毫不夸张地说,只要是涉及数列问题的考试,就一定有求数列通项公 式的问题。从各种考试的情况来看,数列通项公式问题主要包括:①已知数列的前几项,求 数列的一个通项公式;②求基本数列(等差数列或等比数列)的通项公式;③已知数列的首 项,数列的通项公式与前 n 项和公式之间的关系式,求数列的通项公式;④已知数列的首项 和数列的递推公式,求数列的通项公式四种不同的类型。那么在求解数列的通项公式问题时, 如何根据不同类型的特征去展开思路,准确、快捷地解答问题呢?下面通过典型例题的解析 来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题: 1、数列 1,3,7,15,31,------的一个通项公式是( ) A = B = +1 C = -1 D = 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数学归纳法的定义与运用。 【解题思路】对数列给出的几项认真分析,寻找各项与序号之间的规律,从而求出数列的通 项公式。 【详细解答】 1=2-1,3=4-1= -1,7=8-1= -1,15=16-1= -1,31=32-1= -1,--------, = -1 , C 正确, 选 C。 2、数列 ,- , ,- ,------的一个通项公式是( ) A = B = C = D = 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数学归纳法的定义与运用。 【解题思路】对数列给出的几项认真分析,寻找各项与序号之间的规律,从而求出数列的通 项公式。 【详细解答】 = ,- = , = , - = ,--------, = , C 正确, 选 C。 3、下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项 公式是( )(2013 河北衡水中学模以) | | | A = -n+1 B = | | | C = D = | | | 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数学归纳法的定义与运用。 【解题思路】对数列给出的几个图形入手,认真分析,寻找各项与序号之间的规律,从而求 出数列的通项公式。 na 2n na 2n na 2n na 12n+  22 32 42 52 ∴ na 2n ⇒ ∴ 1 2 3 4 5 8 7 16 na 1 2 1( 1) 2 n n n + −− na 2 1( 1) 2 n n n −− na 1 2 1( 1) 2 n n n+ −− na 2 1( 1) 2 n n n −−  1 2 1 11 +−( ) × 2 1 1 2 × − 3 4 2 11 +−( ) × 2 2 2 1 2 × − 5 8 3 11 +−( ) × 3 2 3 1 2 × − 7 16 4 11 +−( ) × 4 2 4 1 2 × − ∴ na 1 2 1( 1) 2 n n n+ −− ⇒ ∴ na 2n na ( 1) 2 n n − na ( 1) 2 n n + na ( 2) 2 n n +【详细解答】 1=1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,---------, =1+2+3+-------+n = , C 正确, 选 C。 4、根据下列数列的前几项,写出数列的一个通项公式: (1)1,3,5,7,------- (2)4,- ,2,- ,-------- (3)3,5,9,17,33,----------- (4)- , ,- , ,-------- (5) , , , ,---------- 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数学归纳法的定义与运用。 【解题思路】对数列给出的几项认真分析,寻找各项与序号之间的规律,从而求出数列的通 项公式。 【详细解答】(1) 1=2 1-1,3=4-1=2 2-1,5=6-1=2 3-1,7=8-1=2 4-1,--------, =2n -1 ;(2) 4= = ,- = = , 2= = , - = = , ------ , = ;(3) 3=2+1,5=4+1= +1,9=8+1= +1,17=16+1= +1,33=32+1= +1, --------, = +1 ;(4) - = = , = = , - = = , = = , -------- , = ;(5) =1+ =1+ , =2+ =2+ , =3+ =3+ , =4+ =4+ ,-------, =n+ = 。 『思考问题 1』 (1)【典例 1】是已知一个数列的前几项,求数列的一个通项公式的问题,解答这类问题需 要理解通项公式的定义,了解这类问题的特征,掌握解答的基本方法; (2)解答已知一个数列的前几项,求数列的一个通项公式问题的基本方法是归纳法(即由  ∴ na ( 1) 2 n n + ⇒ ∴ 5 2 7 4 1 2 1 6 1 12 1 20 3 2 8 3 15 4 24 5  × × × × ∴ ∴ na  1 11 +−( ) × 4 1 1 11 +−( ) × 1 3 1 + 5 2 2 11 +−( ) × 5 2 2 11 +−( ) × 2 3 2 + 3 11 +−( ) × 6 3 3 11 +−( ) × 3 3 3 + 7 4 4 11 +−( ) × 7 4 4 11 +−( ) × 4 3 4 + ∴ na n 11 +−( ) 3 n n +  22 32 42 52 ∴ na 2n  1 2 11−( )× 1 2 11−( )× 1 1 2× 1 6 21−( )× 1 6 21−( )× 1 2 3× 1 12 31−( )× 1 12 31−( )× 1 3 4× 1 20 41−( )× 1 20 41−( )× 1 4 5× ∴ na 1 n−( ) 1 ( 1)n n +  3 2 1 2 1 1 1+ 8 3 2 3 2 2 1+ 15 4 3 4 3 3 1+ 24 5 4 5 4 4 1+ ∴ na 1 n n + ( 2) 1 n n n + +特殊到一般)的数学思维方法,根据数列的前几项找出其共同的规律(横看“各项之间的关 系”,纵看“项的各部分与项数 n 的关系”);其基本步骤是:①对给出的几项认真观察,分 析寻找项与项之间的关系;②如果给出的项直接找不出项与项的关系,可以对给出的几项作 适当的处理使项与项之间的关系更明显;③根据项与项之间的关系得到规律,求出通项公式; ④把求得的通项公式代入已知的项进行验证; (3)解决这类问题的关键是如何去破解数列已知的前几项,在实际问题中具体包括:①已 知的几项是用图形表示的数列;②已知的几项是用数组成的数列; (4)解答已知的几项是用图形表示的数列时,应该从两个方面入手:①前后两个图形的数 量关系(即递推关系);②由递推关系求出前面几项,再进行归纳; (5)解答已知的几项是用数组成的数列时,应该从如下四个方面入手:①把前几项化成相 同的结构;②利用常见正整数组成的数列推测出项的各部分与项数 n 的关系;③确定项的符 号特征;④注意运用“因数分解”“ ”的技巧。 〔练习 1〕解答下列问题: 1、数列 1, , , ,------的一个通项公式是( ) A = B = C = D = 2、若数列的通项公式为 = ,记 f(n)=2(1- )(1- )-----(1- ),试通过计算 f(1),f(2),f(3)的值,猜测 f(n)等于( ) A B C D 3、数列 , , , ,-----中,有序实数对(a,b)可以是( ) A (21,-5) B (16,-1) C (- , ) D ( ,- ) 4、根据下列数列的前几项,写出数列的一个通项公式: (1)2,4,6,8,----------- (2) , , , ,---------- (3)- , ,- , ---------- (4) , , , ,---------- 【典例 2】解答下列问题: 1、在等差数列{ }中,已知 =10, =31。求① ; 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②等差数列的定义与性质;③求等差数列首项, 公差的基本方法。 【解题思路】运用等差数列的定义与性质,结合问题条件得到关于首项和公差的二元一次方 ± 8 5 15 7 24 9 na 2 2 1 n n + na ( 2) 1 n n n + + na 2( 1) 1 2( 1) n n + − + na ( 2) 2 1 n n n + + na 2 1 ( 1)n + 1a 2a na 1n n + 3 1 n n + + 2 1 n n + + 3 2 n n + + 5 3 10 8 17 a b+ 24 a b− 41 2 11 2 41 2 11 2 1 5 1 10 1 15 1 20 1 2 1 4 1 8 1 16 1 2 1 6 1 12 1 20 na 5a 12a 20a程组,求解方程组得出等差数列首项和公差的值,从而求出等差数列的通项公式。 【详细解答】设等差数列{ }的首项为 ,公差为 d, = +4d=10①, = +11d=31②,联立①②解得: =-2,d=3, =-2+3(n-1)=3n-5, =3 20-5=55。 2、设数列{ }的前 n 项和为 ,若 = , +2 =0 (n≥2,n∈ )。求数列 { }的通项公式; 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列前 n 项和的定义与性质;③等差数列的定 义与判定方法。 【解题思路】运用数列的通项公式与前 n 项和公式,结合条件得到关于数列前 n 和 的等 式,判定数列{ }是等差数列,由等差数列的通项公式求出 ,再求出 ,进一步求出 数列的通项公式。 【详细解答】当 n 2 时, +2 =0, - +2 =0, - =2, = , +2( + ) =0, =- , = + = - = , =4, 当 n 2 时,数列{ }是以 4 为首项,2 为公差的等差数列, =4+2(n-2)=2n, = , = - = - =- (n≥2), 当 n=1 时,式子没有意义, 数列{ } 的通项公式为 = ,n=1, - ,n≥2。 3、已知等比数列{ }中, + + =7, =8。求 ; 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②等比数列的定义与性质;③求等比数列首项, 公比的基本方法。 【解题思路】运用等比数列的定义与性质,结合问题条件得到关于首项和公比的二元一次方 程组,求解方程组得出等比数列首项和公比的值,从而求出等比数列的通项公式。 na 1a  5a 1a 12a 1a 1a ∴ na ⇒ 20a × na sn 1a 1 2 na sn n-1s N ∗ na sn 1 nS 1 nS sn ≥  na sn n-1s ∴ sn n-1s sn n-1s ⇒ 1 nS 1 1 nS −  1a 1 2 ∴ 2a 1a 2a 1a ⇒ 2a 1 4 ⇒ 2S 1a 2a 1 2 1 4 1 4 ⇒ 2 1 S ∴ ≥ 1 nS ⇒ 1 nS ⇒ sn 1 2n ∴ na sn n-1s 1 2n 1 2( 1)n − 1 2 ( 1)n n −  ∴ na na 1 2 1 2 ( 1)n n − na 1a 2a 3a 1a 2a 3a na【详细解答】设等比数列{ }的首项为 ,公比为 q, + + = (1+q+ )=7 ①, = =8②,联立①②解得 =4,q= 或 =1,q=2, =4 = 或 =1 = 。 4、设有数列{ }, = ,若以 , ,----- 为系数的二次方程 - x+1=0 (n≥ 2,n∈ )。都有根 、 ,满足:3 - +3 =1。 (1)求证:数列{ - }为等比数列; (2)求 ; 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②一元二次方程根与系数的关系定理及运用;③ 等比数列的定义与判定方法。 【解题思路】(1)运用一元二次方程根与系数的关系定理,结合问题条件得到关于 , 的等式,根据等比数列的判定方法证明结论;(2)由(1)可知数列{ - }为等比数 列,运用等比数列的通项公式求出 - ,从而求出数列的通项公式 。 【详细解答】(1)证明: 、 是方程 - x+1=0 (n≥2,n∈ )的根, + = , . = , 3 - +3 =3( + )- . =1, 3 - =1, 3 -1= , 3( - )= - , = , = , 3 -1= , = , - = - = , 当 n≥2 时, 数列{ - }是以 为首项, 为公比的 等比数列, - = - = , = = , 数列{ - }是以 为首项, 为公比的等比数列;(2)由(1)知,数列{ - }是以 为首项, 为公比的等比数 列, - = = , = + (n∈ )。 『思考问题 2』 na 1a  1a 2a 3a 1a 2q 1a 2a 3a 3 1( )a q 1a 1 2 1a ∴ na × 11 2 n−( ) 31 2 n−( ) na × 12n− 12n− na 1a 5 6 1a 2a na 1na − 2x na N ∗ α β α α β β na 1 2 na na 1na − na 1 2 na 1 2 na α β 1na − 2x na N ∗ ∴α β 1 n n a a − α β 1 1 na −  α α β β α β α β ∴ × 1 n n a a − 1 1 na − ⇒ na 1na − ⇒ na 1 2 1na − 1 2 ⇒ 1 1 2 1 2 n n a a − − − 1 3  1a 5 6 ∴ 2a 1a ⇒ 2a 11 18 ⇒ 2a 1 2 11 18 1 2 1 9 ∴ na 1 2 1 9 1 3  1a 1 2 5 6 1 2 1 3 ∴ 2 1 1 2 1 2 a a − − 1 9 1 3 1 3 ∴ na 1 2 1 3 1 3 na 1 2 1 3 1 3  na 1 2 1 3 × 11 3 n−( ) 1 3 n( ) ∴ na 1 3 n( ) 1 2 N ∗(1)【典例 2】是求基本数列通项公式的问题,解答这类问题需要理解等差数列,等比数列 的定义,掌握等差数列,等比数列通项公式的求法; (2)求基本数列的通项公式关键是由条件求出:① ,② (或 ); (3)求基本数列的首项,公差(或公比)的基本思想是 ;其基本方法是:①设出 基本数列的 ,公差(或公比);②根据已知条件列出关于首项,公差(或公比)的 组;③求解方程组;④写出基本数列的通项公式。 〔练习 2〕解答下列问题: 1、在等差数列{ }中,已知 =10, =19。求① ; 2、设数列{ }是公差为 2 的等差数列,数列{ }满足: =2, = (n∈ )。 求数列{ }的通项公式; 3 、 已 知 数 列 { } 是 公 比 为 正 数 的 等 比 数 列 , 若 =1 , =16, 。 ① 求 ; 4、在等比数列{ }中,已知 =12, =18。①求 。 【典例 3】解答下列问题: 1、已知数列{ }的前 n 项和为 ,满足 + = ,且 =1,那么 等于( ) A 1 B 9 C 10 D 55 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列前 n 和公式的定义与性质。 【解题思路】运用数列前 n 项和公式的定义与性质,结合问题条件求出数列的通项公式,从 而求出 的值。 【详细解答】当 n=m=1 时, + = , + = , + = + , = ,当 n=1,m=2 时, + = , + = , + + = + + , = ,当 n=1,m=3 时, + = , + = , + + + = + + + , = ,------,当 n=1,m=9 时, + = , + = , + + + +------+ = + + +-------+ , = , A 正确, 选 A。 2、已知数列{ }的前 n 项和 =2 +3n,那么此数列的通项公式为 = ; 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列前 n 和公式的定义与性质。 【解题思路】运用数列前 n 项和公式的定义与性质,结合问题条件就可求出数列的通项公式。 【详细解答】当 n=1 时, = =2 1+3 1=2+3=5,当 n≥2 时, =2 +3n, = na 4a 7a 20a na nb 1b nb 2n 1a + N ∗ nb na 1a 5a 20a na 3a 4a na na ns ns ms n ms + 1a 10a 10a  ns ms n ms + ∴ 1S 1S 2S ⇒ 1a 1a 1a 2a ⇒ 2a 1a  ns ms n ms + 1S 2S 3S ⇒ 1a 1a 2a 1a 2a 3a ⇒ 3a 1a  ns ms n ms + 1S 3S 4S ⇒ 1a 1a 2a 3a 1a 2a 3a 4a ⇒ 4a 1a  ns ms n ms + 1S 9S 10S ⇒ 1a 1a 2a 3a 9a 1a 2a 3a 10a ⇒ 10a 1a ⇒ ∴ na ns 2n na  1S 1a × ×  ns 2n ∴ na- =2 +3n-2 -3(n-1)=2 +3n-2 +4n-2-3n+3=4n+1, 当 n=1 时, =4 1+1=5 成立, 数列的通项公式为 =4n+1(n∈ )。 3、若数列{ }的前 n 项和 = + ,则{ }的通项公式 = ; 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列前 n 和公式的定义与性质。 【解题思路】当 n=1 时,求出 的值;当 n≥2 时,运用数列前 n 项和公式的定义与性质, 结合问题条件得到关于 , 的等式,根据等比数列判定的基本方法,判定数列{ } 为等比数列,利用等比数列通项公式的求法求出当 n≥2 时,数列{ }的通项公式,验证 当 n=1 时是否成立,从而得出数列{ }的通项公式。 【详细解答】当 n=1 时, = = + , =1,当 n≥2 时, = + , = - = + - - = - , =- , =-2, =1, = + = + , =-2, 数列{ }是以-2 为首项,-2 为公比的等 比数列, =-2 = (n≥2), 当 n=1 时, = =1 成立, 数 列 { }的通项公式 = (n∈ )。 4、设数列{ }的前 n 项和为 ,若 =1, = (n∈ )。求: ; 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列前 n 和公式的定义与性质。 【解题思路】当 n≥2 时,运用数列前 n 项和公式的定义与性质,结合问题条件得到关于 , 的等式,根据等比数列判定的基本方法,判定数列{ }为等比数列,利用等比数列 通项公式的求法求出当 n≥2 时,数列{ }的通项公式,验证当 n=1 时是否成立,从而得 出数列{ }的通项公式。 【详细解答】当 n≥2 时, = (n∈ ), - = ( - )= , = , = , =1, = = = , 数列{ }是以 为首项, sn n-1s 2n 21n −( ) 2n 2n  1a × ∴ na N ∗ na sn 2 3 na 1 3 na na 1a na 1na − na na na  1S 1a 2 3 1a 1 3 ∴ 1a  ns 2 3 na 1 3 ∴ na sn n-1s 2 3 na 1 3 2 3 1na − 1 3 2 3 na 2 3 1na − ⇒ 1 3 na 2 3 1na − ⇒ 1 n n a a −  1a 2S 1a 2a 2 3 2a 1 3 ∴ 2a ⇒ na ⇒ na × 2n−(- 2) 1n−(- 2)  1a 1 1−(- 2) ∴ na na 1n−(- 2) N ∗ na sn 1a 1na + 1 3 sn N ∗ na na 1na − na na na  1na + 1 3 sn N ∗ ∴ 1na + na 1 3 sn n-1s 1 3 na ⇒ 1na + 4 3 na ⇒ 1n n a a + 4 3  1a ∴ 2a 1 3 1S 1 3 1a 1 3 ⇒ na 1 3为公比的等比数列, = = (n≥2), 当 n=1 时, = = , 1, 数列{ }的通项公式 = 1,n=1, ,n≥2。 5、已知数列{ }的各项均为正数,且 = ( + )。求: ; 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列前 n 和公式的定义与性质。 【解题思路】当 n=1 时,求出 的值;当 n≥2 时,运用数列前 n 项和公式的定义与性质, 结合问题条件得到关于 , 的等式,根据等差数列判定的基本方法,判定数列{ } 为等差数列,利用等差数列通项公式的求法求出当 n≥2 时,数列{ }的通项公式,进一 步求出 ,再利用公式 = - 求出 ,验证当 n=1 时是否成立,从而得出数列{ } 的通项公式。 【详细解答】当 n=1 时, = = ( + ), =1, = 1, >0, =1,当 n≥2 时, = ( + ), = ( - + ), 2 ( - )= +1, - =1, =1, = + = ( + ), 2 +2 = +1, +2 -1=0 , =-1 , >0 , = -1 , = + =1+ -1= , =2, 数列{ }是以 2 为首项,1 为公差的等差数列, =2+(n-2) 1=n, 数列{ }的各项均为正数, = , = - = - (n≥2), 当 n=1 时, = - =1 成立, 数列{ }的通项公式 = - (n∈ )。 6、设数列{ }的前 n 项和为 ,若 2 =(n+2) -1(n∈ )。求: ; 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列前 n 和公式的定义与性质。 4 3 ⇒ na 1 3 × 24 3 n−( ) 1 4 × 14 3 n−( )  1a 1 4 × 1 14 3 −( ) 1 4 ≠ ∴ na na 1 4 × 14 3 n−( ) na sn 1 2 na 1 na na 1a 2 nS 2 1nS − 2 nS 2 nS sn na sn n-1s na na  1S 1a 1 2 1a 1 1 a ∴ 2 1a ⇒ 1a ±  1a ∴ 1a  sn 1 2 na 1 na ∴ sn 1 2 sn n-1s 1 1 n nS S −− ⇒ sn sn n-1s 2 1( )n nS S −− ⇒ 2 nS 2 1nS −  1a 2S 1a 2a 1 2 2a 2 1 a ∴ 2a 2 2a 2 2a ⇒ 2 2a 2a ⇒ 2a ± 2  2a ∴ 2a 2 ⇒ 2S 1a 2a 2 2 ⇒ 2 2S ∴ 2 nS ⇒ 2 nS ×  na ∴ sn n ⇒ na sn n-1s n 1n −  1a 1 1 1− ∴ na na n 1n − N ∗ na sn sn na N ∗ na【解题思路】当 n=1 时,求出 的值;当 n≥2 时,运用数列前 n 项和公式的定义与性质, 结合问题条件得到关于 , 的等式,求出 关于 n 的代数式,利用叠乘法求出当 n≥ 2 时,数列{ }的通项公式,验证当 n=1 时是否成立,从而得出数列{ }的通项公式。 【详细解答】当 n=1 时, 2 =2 =(1+2) -1, =1,当 n≥2 时, 2 =(n+2) -1, 2( - )=2 =(n+2) -(n+1) , n =(n+1) , = , = , = ,-------, = , = , = , = = (n≥2), 当 n=1 时, = =1 成立, 数列{ }的通项公式 = (n∈ )。 『思考问题 3』 (1)【典例 3】是已知数列的首项,通项 与前 n 项和 之间的关系式,求数列通项公式 的问题,解答这类问题需要理解数列通项公式,前 n 项和的定义,注意通项 与前 n 项和 之间的联系公式; (2)解答这类问题的基本思路有两种:①把 - (n≥2,n∈ )换成 ;②把 换成 - (n≥2,n∈ ); (3)这两种方法都要运用通项 与前 n 项和 之间的一个重要关系式,这个关系式是 = ; (4)解答这类问题的基本方法是:①通过把 - 换成 ,或把 换成 - 将数列转 化为基本数列;② 根据条件求出基本数列的首项;③求出基本数列的通项公式;④求出所 求数列的通项公式,并验证 n=1 时是否成立;⑤得出结果; (5)解答这类问题时,应该注意的问题是:①把 - 换成 ,或把 换成 - 时(n≥ 2,n∈ )的条件,②求出结果后一定要验证 n=1 是否成立,若 n=1 时成立,则可以直接写 出通项公式;若 n=1 时不成立,则通项公式应该写成分段式。 〔练习 3〕解答下列问题: 1、已知数列{ }的前 n 项和 =3 -2n+1,则其通项公式为 ; 1a na 1na − 1 n n a a − na na  1S 1a 1a ∴ 1a  sn na ∴ sn n-1s na na 1na − ⇒ na 1na − ⇒ 1 n n a a − 1n n + ⇒ 1 2 n n a a − − 1 n n − 2 3 n n a a − − 1 2 n n − − 3 2 a a 4 3 2 1 a a 3 2 ⇒ 1 na a 1 2 n + ∴ na 1 2 n + 1a 1 2 n +  1a 1 1 2 + ∴ na na 1 2 n + N ∗ na sn na sn sn n-1s N ∗ na na sn n-1s N ∗ na sn na sn n-1s na na sn n-1s sn n-1s na na sn n-1s N ∗ na sn 2n2、已知数列{ }的前 n 项和 = -9n,则其通项公式 = ,若它的第 k 项满 足 5< <8,则 k= ; 3、已知数列{ }的前 n 项和为 ,且 =2. +2,则此数列的通项公式为 ; 4、若数列{ }的前 n 项和 = -10n(n=1,2,3,----),则此数列的通项公式 = ; 数列{n }中数值最小的项是第 项; 5、设数列{ }的前 n 项和为 ,已知 =a, = + ,n∈ 。设 = - ,求 数列{ }的通项公式; 6、设数列{ }的前 n 项和为 ,若 = , +2 =0 (n≥2,n∈ )求数列{ } 的通项公式; 7、设数列{ }的前 n 项和为 ,若 =1,n =(n+3) (n∈ ),求: ; 8、设数列{ }的前 n 项和为 ,满足:2 = - +1(n∈ ),且 , +5, 成等差数列。 (1)求 的值; (2)求数列{ }的通项公式。 9、设数列{ }的前 n 项和为 , =1, = +2(n-1)(n∈ )。 (1)求证:数列{ }为等差数列; (2)求出 与 关于 n 的表达式。 【典例 4】解答下列问题: 1、已知数列{ }中, =1, = +1(n∈ ),求: ; 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列递推公式的定义与性质。 【解题思路】运用数列递推公式的定义与性质,结合问题条件得到关于 加上一个常数的 新数列,根据等比数列判定的基本方法,判定数列{ +c}(c 为常数)为等比数列,利用 等比数列通项公式的求法求出数列{ +c}的通项公式,从而得出数列{ }的通项公式。 na sn 2n na ka na sn sn 5n na sn 2n na na na ns 1a 1na + ns 3n N ∗ bn ns 3n bn na sn 1a 1 2 na sn n-1s N ∗ na na sn 1a 1ns + sn N ∗ na na ns sn 1na + 12n+ N ∗ 1a 2a 3a 1a na na sn 1a na ns n N ∗ na na sn na 1a 1na + 1 2 na N ∗ na na na na na【详细解答】 = +1(n∈ ), -2= +1-2, -2= ( -2), = , =1, -2=1-2=-1, 数列{ -2}是以-1 为首项, 为公比的等比 数列, -2=(-1) =- , =2- (n∈ )。 2、已知数列{ }中, =a, = (n∈ ),求: 。 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列递推公式的定义与性质。 【解题思路】运用数列递推公式的定义与性质,结合问题条件得到关于 加上一个常数的 新数列,根据等比数列判定的基本方法,判定数列{ +c}(c 为常数)为等比数列,利用 等比数列通项公式的求法求出数列{ +c}的通项公式,从而得出数列{ }的通项公式。 【详细解答】 = (n∈ ), + =2 , +1= , +1-2= -2, -1=2( -1), = , =a, -1= -1= , 数列{ -1}是以 为首项, 为公比的等比数列, -1= = , = (n∈ )。 3、根据下列条件,确定数列{ }的通项公式: (1) =1, = ;(2) =1, =3 +2;(3) =2, = +ln(1+ )。 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列递推公式的定义与性质。 【解题思路】(1)运用数列递推公式的定义与性质,结合问题条件得到 关于 n 的代数  1na + 1 2 na N ∗ ∴ 1na + 1 2 na ⇒ 1na + 1 2 na ⇒ 1 2 2 n n a a + − − 1 2  1a ∴ 1a ⇒ na 1 2 ⇒ na × 11( )2 n− 11( )2 n− ∴ na 11( )2 n− N ∗ na 1a 1na + 2 1 n n a a+ N ∗ na 1 na 1 na 1 na na  1na + 2 1 n n a a+ N ∗ ∴ 1na + 1na + na na ⇒ 1 na 1 2 na + ⇒ 1 na 1 2 na + ⇒ 1 na 1 1 na + ⇒ 1 1 1 1 1 n n a a + − − 1 2  1a ∴ 1 1 a 1 a 1 a a − ⇒ 1 na 1 a a − 1 2 ⇒ 1 na 1 a a − × 11( )2 n− 1 1 2n a a− − ∴ na 1 1 2 1 (2 1) n n a a − −− + N ∗ na 1a 1na + 2n na 1a 1na + na 1a 1na + na 1 n 1 n n a a −式,利用叠乘法就可求出数列{ }的通项公式;(2)运用数列递推公式的定义与性质, 结合问题条件得到关于 加上一个常数的新数列,根据等比数列判定的基本方法,判定数 列{ +c}(c 为常数)为等比数列,利用等比数列通项公式的求法求出数列{ +c}的通 项公式,从而得出数列{ }的通项公式;(3)运用数列递推公式的定义与性质,结合问 题条件得到 - 关于 n 的代数式,利用叠加法就可求出数列{ }的通项公式。 【详细解答】(1) = , = , = , = ,--------, = , =2, = . .--------. .2= = , =1, = = (n∈ );(2) =3 +2, +1=3 +2+1, +1=3( +1), =3, =1, +1=1+1=2, 数列{ +1}是以 2 为首项,3 为公比的等比数 列, +1=2 , =2 -1 (n∈ );(3) = +ln(1+ ), ,- =ln(1+ )=ln , - = ln , - = ln ,--------, - = ln , - =ln2, - = ln + ln +--------+ ln + ln2,=ln ------- 2=lnn, =lnn+ , =2, =2+lnn=lnn (n∈ )。 『思考问题 4』 (1) 【典例 4】是已知数列的首项和递推公式,求数列通项公式的问题,解答这类问题需要 理解递推公式的定义; (2)解答这类问题的基本思路是构造一个新数列,使构造的新数列为基本数列; (3)这类问题常见的类型有:① = +f(n)(n 2,n∈ );② =f(n) (n 2,n∈ );③ = +c(n 2,n∈ ,c 为常数); (4)求解这类问题的基本方法是:①由已知的递推公式向上(或向下)得到一个式子;② 把已知式子与递推式子相减构造一个新数列,③求出新数列的通项公式;④根据新数列的通 项公式求出所求数列的通项公式; (5)求出新数列通项公式后求所求数列通项公式时常用的方法是:①叠加法,适用于 = na na na na na na 1na − na  1na + 2n na ∴ 1n n a a + 2n ⇒ 1 n n a a − 12n− 1 2 n n a a − − 22n− 3 2 a a 22 2 1 a a ⇒ 1 na a 12n− 22n− 22 (n-1 1) 22 n + 2 22 n  1a ∴ na 2 22 n 1a 2 22 n N ∗  1na + na ∴ 1na + na ⇒ 1na + na ⇒ 1 1 1 n n a a + + +  1a ∴ 1a ⇒ na ⇒ na × 13n− ∴ na × 13n− N ∗  1na + na 1 n ∴ 1na + na 1 n n 1 n + ⇒ na 1na − n 1n − 1na − 2na − n-1 2n − 3a 2a 3 2 2a 1a ⇒ na 1a n 1n − n-1 2n − 3 2 n 1n − × n-1 2n − × × 3 2 × ⇒ na 1a  1a ∴ na 2e N ∗ na 1na − ≥ N ∗ 1 n n a a − ≥ N ∗ na 1na − ≥ N ∗ na+f(n)(n 2,n∈ )这种类型;②叠乘法,适用于 =f(n) (n 2,n∈ )这种 类型;③换元法,适用于 =p +q(n 2,p 0,且 p 1);④迭代法,将 =f( ) 代入 =f( )得到 与 的关系,再将 =f( )代入,-------直到 =f( )代 入为止。 〔练习 4〕解答下列问题: 1、已知数列{ }满足 =1, = (n 2,n∈ ),则 = ; 2、已知数列{ }的前 n 项和为 ,且 =2 -1(n∈ ),则 等于( ) A -16 B 16 C 31 D 32 3、已知数列{ }中, =9,3 =4- (n∈ ),求: ; 4、已知数列{ }中, = , =4 +1(n∈ ),求: 。 1na − ≥ N ∗ 1 n n a a − ≥ N ∗ na 1na − ≥ ≠ ≠ 1na − 2na − na 1na − na 2na − 2na − 3na − 2a 1a na 1a na 1n n − 1na − ≥ N ∗ na na sn sn na N ∗ 5a na 1a 1na + na N ∗ na na 1a 1 2 1na + na N ∗ na

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