数列通项公式的求法
数列的通项公式是指表示数列任意一项与序号相关的式子。求数列的通项公式问题是目前高
考中的热点,可以这样毫不夸张地说,只要是涉及数列问题的考试,就一定有求数列通项公
式的问题。从各种考试的情况来看,数列通项公式问题主要包括:①已知数列的前几项,求
数列的一个通项公式;②求基本数列(等差数列或等比数列)的通项公式;③已知数列的首
项,数列的通项公式与前 n 项和公式之间的关系式,求数列的通项公式;④已知数列的首项
和数列的递推公式,求数列的通项公式四种不同的类型。那么在求解数列的通项公式问题时,
如何根据不同类型的特征去展开思路,准确、快捷地解答问题呢?下面通过典型例题的解析
来回答这个问题。
【典例 1】解答下列问题:
1、数列 1,3,7,15,31,------的一个通项公式是( )
A = B = +1 C = -1 D =
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数学归纳法的定义与运用。
【解题思路】对数列给出的几项认真分析,寻找各项与序号之间的规律,从而求出数列的通
项公式。
【详细解答】 1=2-1,3=4-1= -1,7=8-1= -1,15=16-1= -1,31=32-1= -1,--------,
= -1 , C 正确, 选 C。
2、数列 ,- , ,- ,------的一个通项公式是( )
A = B = C = D =
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数学归纳法的定义与运用。
【解题思路】对数列给出的几项认真分析,寻找各项与序号之间的规律,从而求出数列的通
项公式。
【详细解答】 = ,- = , = ,
- = ,--------, = , C 正确, 选 C。
3、下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项
公式是( )(2013 河北衡水中学模以) | | |
A = -n+1 B = | | |
C = D = | | |
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数学归纳法的定义与运用。
【解题思路】对数列给出的几个图形入手,认真分析,寻找各项与序号之间的规律,从而求
出数列的通项公式。
na 2n
na 2n
na 2n
na 12n+
22 32 42 52
∴ na 2n ⇒ ∴
1
2
3
4
5
8
7
16
na 1 2 1( 1) 2
n n
n
+ −− na 2 1( 1) 2
n n
n
−− na 1 2 1( 1) 2
n
n
n+ −− na 2 1( 1) 2
n
n
n −−
1
2
1 11 +−( ) × 2 1 1
2
× − 3
4
2 11 +−( ) × 2
2 2 1
2
× − 5
8
3 11 +−( ) × 3
2 3 1
2
× −
7
16
4 11 +−( ) × 4
2 4 1
2
× − ∴ na 1 2 1( 1) 2
n
n
n+ −− ⇒ ∴
na 2n na ( 1)
2
n n −
na ( 1)
2
n n +
na ( 2)
2
n n +【详细解答】 1=1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,---------, =1+2+3+-------+n
= , C 正确, 选 C。
4、根据下列数列的前几项,写出数列的一个通项公式:
(1)1,3,5,7,-------
(2)4,- ,2,- ,--------
(3)3,5,9,17,33,-----------
(4)- , ,- , ,--------
(5) , , , ,----------
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数学归纳法的定义与运用。
【解题思路】对数列给出的几项认真分析,寻找各项与序号之间的规律,从而求出数列的通
项公式。
【详细解答】(1) 1=2 1-1,3=4-1=2 2-1,5=6-1=2 3-1,7=8-1=2 4-1,--------,
=2n -1 ;(2) 4= = ,- = = ,
2= = , - = = , ------ , =
;(3) 3=2+1,5=4+1= +1,9=8+1= +1,17=16+1= +1,33=32+1= +1,
--------,
= +1 ;(4) - = = , = = ,
- = = , = = , -------- , =
;(5) =1+ =1+ , =2+ =2+ , =3+ =3+ , =4+
=4+ ,-------, =n+ = 。
『思考问题 1』
(1)【典例 1】是已知一个数列的前几项,求数列的一个通项公式的问题,解答这类问题需
要理解通项公式的定义,了解这类问题的特征,掌握解答的基本方法;
(2)解答已知一个数列的前几项,求数列的一个通项公式问题的基本方法是归纳法(即由
∴ na
( 1)
2
n n + ⇒ ∴
5
2
7
4
1
2
1
6
1
12
1
20
3
2
8
3
15
4
24
5
× × × × ∴
∴ na
1 11 +−( ) × 4
1
1 11 +−( ) × 1 3
1
+ 5
2
2 11 +−( ) × 5
2
2 11 +−( ) × 2 3
2
+
3 11 +−( ) × 6
3
3 11 +−( ) × 3 3
3
+ 7
4
4 11 +−( ) × 7
4
4 11 +−( ) × 4 3
4
+ ∴ na
n 11 +−( )
3
n
n +
22 32 42 52
∴ na 2n
1
2
11−( )× 1
2
11−( )× 1
1 2×
1
6
21−( )× 1
6
21−( )× 1
2 3×
1
12
31−( )× 1
12
31−( )× 1
3 4×
1
20
41−( )× 1
20
41−( )× 1
4 5× ∴ na
1 n−( )
1
( 1)n n +
3
2
1
2
1
1 1+
8
3
2
3
2
2 1+
15
4
3
4
3
3 1+
24
5
4
5
4
4 1+ ∴ na 1
n
n +
( 2)
1
n n
n
+
+特殊到一般)的数学思维方法,根据数列的前几项找出其共同的规律(横看“各项之间的关
系”,纵看“项的各部分与项数 n 的关系”);其基本步骤是:①对给出的几项认真观察,分
析寻找项与项之间的关系;②如果给出的项直接找不出项与项的关系,可以对给出的几项作
适当的处理使项与项之间的关系更明显;③根据项与项之间的关系得到规律,求出通项公式;
④把求得的通项公式代入已知的项进行验证;
(3)解决这类问题的关键是如何去破解数列已知的前几项,在实际问题中具体包括:①已
知的几项是用图形表示的数列;②已知的几项是用数组成的数列;
(4)解答已知的几项是用图形表示的数列时,应该从两个方面入手:①前后两个图形的数
量关系(即递推关系);②由递推关系求出前面几项,再进行归纳;
(5)解答已知的几项是用数组成的数列时,应该从如下四个方面入手:①把前几项化成相
同的结构;②利用常见正整数组成的数列推测出项的各部分与项数 n 的关系;③确定项的符
号特征;④注意运用“因数分解”“ ”的技巧。
〔练习 1〕解答下列问题:
1、数列 1, , , ,------的一个通项公式是( )
A = B = C = D =
2、若数列的通项公式为 = ,记 f(n)=2(1- )(1- )-----(1- ),试通过计算
f(1),f(2),f(3)的值,猜测 f(n)等于( )
A B C D
3、数列 , , , ,-----中,有序实数对(a,b)可以是( )
A (21,-5) B (16,-1) C (- , ) D ( ,- )
4、根据下列数列的前几项,写出数列的一个通项公式:
(1)2,4,6,8,-----------
(2) , , , ,----------
(3)- , ,- , ----------
(4) , , , ,----------
【典例 2】解答下列问题:
1、在等差数列{ }中,已知 =10, =31。求① ;
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②等差数列的定义与性质;③求等差数列首项,
公差的基本方法。
【解题思路】运用等差数列的定义与性质,结合问题条件得到关于首项和公差的二元一次方
±
8
5
15
7
24
9
na
2
2 1
n
n + na ( 2)
1
n n
n
+
+ na
2( 1) 1
2( 1)
n
n
+ −
+ na ( 2)
2 1
n n
n
+
+
na 2
1
( 1)n + 1a 2a na
1n
n
+ 3
1
n
n
+
+
2
1
n
n
+
+
3
2
n
n
+
+
5
3
10
8
17
a b+ 24
a b−
41
2
11
2
41
2
11
2
1
5
1
10
1
15
1
20
1
2
1
4
1
8
1
16
1
2
1
6
1
12
1
20
na 5a 12a 20a程组,求解方程组得出等差数列首项和公差的值,从而求出等差数列的通项公式。
【详细解答】设等差数列{ }的首项为 ,公差为 d, = +4d=10①, =
+11d=31②,联立①②解得: =-2,d=3, =-2+3(n-1)=3n-5, =3 20-5=55。
2、设数列{ }的前 n 项和为 ,若 = , +2 =0 (n≥2,n∈ )。求数列
{ }的通项公式;
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列前 n 项和的定义与性质;③等差数列的定
义与判定方法。
【解题思路】运用数列的通项公式与前 n 项和公式,结合条件得到关于数列前 n 和 的等
式,判定数列{ }是等差数列,由等差数列的通项公式求出 ,再求出 ,进一步求出
数列的通项公式。
【详细解答】当 n 2 时, +2 =0, - +2 =0, - =2,
= ,
+2( + ) =0, =- , = + = - = , =4, 当 n 2
时,数列{ }是以 4 为首项,2 为公差的等差数列, =4+2(n-2)=2n, = ,
= - = - =- (n≥2), 当 n=1 时,式子没有意义, 数列{ }
的通项公式为 = ,n=1,
- ,n≥2。
3、已知等比数列{ }中, + + =7, =8。求 ;
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②等比数列的定义与性质;③求等比数列首项,
公比的基本方法。
【解题思路】运用等比数列的定义与性质,结合问题条件得到关于首项和公比的二元一次方
程组,求解方程组得出等比数列首项和公比的值,从而求出等比数列的通项公式。
na 1a 5a 1a 12a 1a
1a ∴ na ⇒ 20a ×
na sn 1a 1
2 na sn n-1s N ∗
na
sn
1
nS
1
nS sn
≥ na sn n-1s ∴ sn n-1s sn n-1s ⇒ 1
nS 1
1
nS −
1a
1
2
∴ 2a 1a 2a 1a ⇒ 2a 1
4
⇒ 2S 1a 2a 1
2
1
4
1
4
⇒
2
1
S
∴ ≥
1
nS
⇒ 1
nS
⇒ sn
1
2n
∴ na sn n-1s 1
2n
1
2( 1)n −
1
2 ( 1)n n − ∴ na
na 1
2
1
2 ( 1)n n −
na 1a 2a 3a 1a 2a 3a na【详细解答】设等比数列{ }的首项为 ,公比为 q, + + = (1+q+ )=7
①, = =8②,联立①②解得 =4,q= 或 =1,q=2, =4
= 或 =1 = 。
4、设有数列{ }, = ,若以 , ,----- 为系数的二次方程 - x+1=0 (n≥
2,n∈ )。都有根 、 ,满足:3 - +3 =1。
(1)求证:数列{ - }为等比数列;
(2)求 ;
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②一元二次方程根与系数的关系定理及运用;③
等比数列的定义与判定方法。
【解题思路】(1)运用一元二次方程根与系数的关系定理,结合问题条件得到关于 ,
的等式,根据等比数列的判定方法证明结论;(2)由(1)可知数列{ - }为等比数
列,运用等比数列的通项公式求出 - ,从而求出数列的通项公式 。
【详细解答】(1)证明: 、 是方程 - x+1=0 (n≥2,n∈ )的根, +
= , . = , 3 - +3 =3( + )- . =1, 3 - =1,
3 -1= , 3( - )= - , = , = , 3 -1= ,
= , - = - = , 当 n≥2 时, 数列{ - }是以 为首项, 为公比的
等比数列, - = - = , = = , 数列{ - }是以 为首项,
为公比的等比数列;(2)由(1)知,数列{ - }是以 为首项, 为公比的等比数
列,
- = = , = + (n∈ )。
『思考问题 2』
na 1a 1a 2a 3a 1a 2q
1a 2a 3a 3
1( )a q 1a 1
2 1a ∴ na × 11
2
n−( )
31
2
n−( ) na × 12n− 12n−
na 1a 5
6 1a 2a na 1na −
2x na
N ∗ α β α α β β
na 1
2
na
na 1na −
na 1
2
na 1
2 na
α β 1na −
2x na N ∗ ∴α β
1
n
n
a
a −
α β
1
1
na −
α α β β α β α β ∴ ×
1
n
n
a
a − 1
1
na −
⇒
na 1na − ⇒ na 1
2 1na −
1
2
⇒
1
1
2
1
2
n
n
a
a −
−
−
1
3 1a 5
6
∴ 2a 1a ⇒ 2a
11
18
⇒ 2a 1
2
11
18
1
2
1
9
∴ na 1
2
1
9
1
3
1a 1
2
5
6
1
2
1
3
∴ 2
1
1
2
1
2
a
a
−
−
1
9
1
3
1
3
∴ na 1
2
1
3
1
3
na 1
2
1
3
1
3
na 1
2
1
3
× 11
3
n−( ) 1
3
n( ) ∴ na 1
3
n( ) 1
2 N ∗(1)【典例 2】是求基本数列通项公式的问题,解答这类问题需要理解等差数列,等比数列
的定义,掌握等差数列,等比数列通项公式的求法;
(2)求基本数列的通项公式关键是由条件求出:① ,② (或 );
(3)求基本数列的首项,公差(或公比)的基本思想是 ;其基本方法是:①设出
基本数列的 ,公差(或公比);②根据已知条件列出关于首项,公差(或公比)的
组;③求解方程组;④写出基本数列的通项公式。
〔练习 2〕解答下列问题:
1、在等差数列{ }中,已知 =10, =19。求① ;
2、设数列{ }是公差为 2 的等差数列,数列{ }满足: =2, = (n∈ )。
求数列{ }的通项公式;
3 、 已 知 数 列 { } 是 公 比 为 正 数 的 等 比 数 列 , 若 =1 , =16, 。 ① 求 ;
4、在等比数列{ }中,已知 =12, =18。①求 。
【典例 3】解答下列问题:
1、已知数列{ }的前 n 项和为 ,满足 + = ,且 =1,那么 等于( )
A 1 B 9 C 10 D 55
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列前 n 和公式的定义与性质。
【解题思路】运用数列前 n 项和公式的定义与性质,结合问题条件求出数列的通项公式,从
而求出 的值。
【详细解答】当 n=m=1 时, + = , + = , + = + ,
= ,当 n=1,m=2 时, + = , + = , + + = + + ,
= ,当 n=1,m=3 时, + = , + = , + + + = + +
+ , = ,------,当 n=1,m=9 时, + = , + = , + +
+
+------+ = + + +-------+ , = , A 正确, 选 A。
2、已知数列{ }的前 n 项和 =2 +3n,那么此数列的通项公式为 = ;
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列前 n 和公式的定义与性质。
【解题思路】运用数列前 n 项和公式的定义与性质,结合问题条件就可求出数列的通项公式。
【详细解答】当 n=1 时, = =2 1+3 1=2+3=5,当 n≥2 时, =2 +3n, =
na 4a 7a 20a
na nb 1b nb 2n 1a + N ∗
nb
na 1a 5a 20a
na 3a 4a na
na ns ns ms n ms + 1a 10a
10a
ns ms n ms + ∴ 1S 1S 2S ⇒ 1a 1a 1a 2a ⇒ 2a
1a ns ms n ms + 1S 2S 3S ⇒ 1a 1a 2a 1a 2a 3a ⇒ 3a
1a ns ms n ms + 1S 3S 4S ⇒ 1a 1a 2a 3a 1a 2a 3a
4a ⇒ 4a 1a ns ms n ms + 1S 9S 10S ⇒ 1a 1a
2a 3a
9a 1a 2a 3a 10a ⇒ 10a 1a ⇒ ∴
na ns 2n na
1S 1a × × ns 2n ∴ na- =2 +3n-2 -3(n-1)=2 +3n-2 +4n-2-3n+3=4n+1, 当 n=1 时,
=4 1+1=5 成立, 数列的通项公式为 =4n+1(n∈ )。
3、若数列{ }的前 n 项和 = + ,则{ }的通项公式 = ;
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列前 n 和公式的定义与性质。
【解题思路】当 n=1 时,求出 的值;当 n≥2 时,运用数列前 n 项和公式的定义与性质,
结合问题条件得到关于 , 的等式,根据等比数列判定的基本方法,判定数列{ }
为等比数列,利用等比数列通项公式的求法求出当 n≥2 时,数列{ }的通项公式,验证
当 n=1 时是否成立,从而得出数列{ }的通项公式。
【详细解答】当 n=1 时, = = + , =1,当 n≥2 时, = + ,
= - = + - - = - , =- , =-2,
=1, = + = + , =-2, 数列{ }是以-2 为首项,-2 为公比的等
比数列, =-2 = (n≥2), 当 n=1 时, = =1 成立, 数
列
{ }的通项公式 = (n∈ )。
4、设数列{ }的前 n 项和为 ,若 =1, = (n∈ )。求: ;
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列前 n 和公式的定义与性质。
【解题思路】当 n≥2 时,运用数列前 n 项和公式的定义与性质,结合问题条件得到关于 ,
的等式,根据等比数列判定的基本方法,判定数列{ }为等比数列,利用等比数列
通项公式的求法求出当 n≥2 时,数列{ }的通项公式,验证当 n=1 时是否成立,从而得
出数列{ }的通项公式。
【详细解答】当 n≥2 时, = (n∈ ), - = ( - )= ,
= , = , =1, = = = , 数列{ }是以 为首项,
sn n-1s 2n 21n −( ) 2n 2n
1a × ∴ na N ∗
na sn
2
3 na 1
3 na na
1a
na 1na − na
na
na
1S 1a 2
3 1a 1
3
∴ 1a ns 2
3 na 1
3
∴
na sn n-1s 2
3 na 1
3
2
3 1na −
1
3
2
3 na 2
3 1na − ⇒ 1
3 na 2
3 1na − ⇒
1
n
n
a
a −
1a 2S 1a 2a 2
3 2a 1
3
∴ 2a ⇒ na
⇒ na × 2n−(- 2) 1n−(- 2) 1a 1 1−(- 2) ∴
na na 1n−(- 2) N ∗
na sn 1a 1na +
1
3 sn N ∗
na
na
1na − na
na
na
1na +
1
3 sn N ∗ ∴ 1na + na 1
3 sn n-1s 1
3 na ⇒
1na +
4
3 na ⇒ 1n
n
a
a
+ 4
3 1a ∴ 2a 1
3 1S 1
3 1a 1
3
⇒ na 1
3为公比的等比数列, = = (n≥2), 当 n=1 时, =
= , 1, 数列{ }的通项公式 = 1,n=1,
,n≥2。
5、已知数列{ }的各项均为正数,且 = ( + )。求: ;
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列前 n 和公式的定义与性质。
【解题思路】当 n=1 时,求出 的值;当 n≥2 时,运用数列前 n 项和公式的定义与性质,
结合问题条件得到关于 , 的等式,根据等差数列判定的基本方法,判定数列{ }
为等差数列,利用等差数列通项公式的求法求出当 n≥2 时,数列{ }的通项公式,进一
步求出 ,再利用公式 = - 求出 ,验证当 n=1 时是否成立,从而得出数列{ }
的通项公式。
【详细解答】当 n=1 时, = = ( + ), =1, = 1, >0,
=1,当 n≥2 时, = ( + ), = ( - + ), 2 (
- )=
+1, - =1, =1, = + = ( + ), 2 +2 = +1,
+2 -1=0 , =-1 , >0 , = -1 , = + =1+ -1=
, =2, 数列{ }是以 2 为首项,1 为公差的等差数列, =2+(n-2)
1=n,
数列{ }的各项均为正数, = , = - = - (n≥2), 当
n=1 时, = - =1 成立, 数列{ }的通项公式 = - (n∈ )。
6、设数列{ }的前 n 项和为 ,若 2 =(n+2) -1(n∈ )。求: ;
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列前 n 和公式的定义与性质。
4
3
⇒ na 1
3
× 24
3
n−( ) 1
4
× 14
3
n−( ) 1a 1
4
×
1 14
3
−( ) 1
4
≠ ∴ na na
1
4
× 14
3
n−( )
na sn
1
2 na 1
na na
1a
2
nS 2
1nS −
2
nS
2
nS
sn na sn n-1s na na
1S 1a 1
2 1a
1
1
a
∴ 2
1a ⇒ 1a ± 1a ∴ 1a
sn
1
2 na 1
na
∴ sn
1
2 sn n-1s
1
1
n nS S −− ⇒ sn sn
n-1s
2
1( )n nS S −− ⇒ 2
nS 2
1nS − 1a 2S 1a 2a 1
2 2a
2
1
a
∴ 2a 2
2a 2
2a
⇒ 2
2a 2a ⇒ 2a ± 2 2a ∴ 2a 2 ⇒ 2S 1a 2a 2
2 ⇒ 2
2S ∴ 2
nS ⇒ 2
nS ×
na ∴ sn n ⇒ na sn n-1s n 1n −
1a 1 1 1− ∴ na na n 1n − N ∗
na sn sn na N ∗
na【解题思路】当 n=1 时,求出 的值;当 n≥2 时,运用数列前 n 项和公式的定义与性质,
结合问题条件得到关于 , 的等式,求出 关于 n 的代数式,利用叠乘法求出当 n≥
2 时,数列{ }的通项公式,验证当 n=1 时是否成立,从而得出数列{ }的通项公式。
【详细解答】当 n=1 时, 2 =2 =(1+2) -1, =1,当 n≥2 时, 2 =(n+2)
-1, 2( - )=2 =(n+2) -(n+1) , n =(n+1) ,
= , = , = ,-------, = , = , = ,
= = (n≥2), 当 n=1 时, = =1 成立, 数列{ }的通项公式
= (n∈ )。
『思考问题 3』
(1)【典例 3】是已知数列的首项,通项 与前 n 项和 之间的关系式,求数列通项公式
的问题,解答这类问题需要理解数列通项公式,前 n 项和的定义,注意通项 与前 n 项和
之间的联系公式;
(2)解答这类问题的基本思路有两种:①把 - (n≥2,n∈ )换成 ;②把 换成
- (n≥2,n∈ );
(3)这两种方法都要运用通项 与前 n 项和 之间的一个重要关系式,这个关系式是
= ;
(4)解答这类问题的基本方法是:①通过把 - 换成 ,或把 换成 - 将数列转
化为基本数列;② 根据条件求出基本数列的首项;③求出基本数列的通项公式;④求出所
求数列的通项公式,并验证 n=1 时是否成立;⑤得出结果;
(5)解答这类问题时,应该注意的问题是:①把 - 换成 ,或把 换成 - 时(n≥
2,n∈ )的条件,②求出结果后一定要验证 n=1 是否成立,若 n=1 时成立,则可以直接写
出通项公式;若 n=1 时不成立,则通项公式应该写成分段式。
〔练习 3〕解答下列问题:
1、已知数列{ }的前 n 项和 =3 -2n+1,则其通项公式为 ;
1a
na 1na −
1
n
n
a
a −
na na
1S 1a 1a ∴ 1a sn
na ∴ sn n-1s na na 1na − ⇒ na 1na − ⇒
1
n
n
a
a −
1n
n
+ ⇒ 1
2
n
n
a
a
−
− 1
n
n −
2
3
n
n
a
a
−
−
1
2
n
n
−
−
3
2
a
a
4
3
2
1
a
a
3
2
⇒
1
na
a
1
2
n + ∴
na 1
2
n +
1a 1
2
n +
1a 1 1
2
+ ∴ na na
1
2
n +
N ∗
na sn
na sn
sn n-1s N ∗
na na sn
n-1s N ∗
na sn na
sn n-1s na na sn n-1s
sn n-1s na na sn n-1s
N ∗
na sn
2n2、已知数列{ }的前 n 项和 = -9n,则其通项公式 = ,若它的第 k 项满
足 5< <8,则 k= ;
3、已知数列{ }的前 n 项和为 ,且 =2. +2,则此数列的通项公式为 ;
4、若数列{ }的前 n 项和 = -10n(n=1,2,3,----),则此数列的通项公式 = ;
数列{n }中数值最小的项是第 项;
5、设数列{ }的前 n 项和为 ,已知 =a, = + ,n∈ 。设 = - ,求
数列{ }的通项公式;
6、设数列{ }的前 n 项和为 ,若 = , +2 =0 (n≥2,n∈ )求数列{ }
的通项公式;
7、设数列{ }的前 n 项和为 ,若 =1,n =(n+3) (n∈ ),求: ;
8、设数列{ }的前 n 项和为 ,满足:2 = - +1(n∈ ),且 , +5,
成等差数列。
(1)求 的值;
(2)求数列{ }的通项公式。
9、设数列{ }的前 n 项和为 , =1, = +2(n-1)(n∈ )。
(1)求证:数列{ }为等差数列;
(2)求出 与 关于 n 的表达式。
【典例 4】解答下列问题:
1、已知数列{ }中, =1, = +1(n∈ ),求: ;
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列递推公式的定义与性质。
【解题思路】运用数列递推公式的定义与性质,结合问题条件得到关于 加上一个常数的
新数列,根据等比数列判定的基本方法,判定数列{ +c}(c 为常数)为等比数列,利用
等比数列通项公式的求法求出数列{ +c}的通项公式,从而得出数列{ }的通项公式。
na sn
2n na
ka
na sn sn 5n
na sn
2n na
na
na ns 1a 1na + ns 3n N ∗ bn ns 3n
bn
na sn 1a 1
2 na sn n-1s N ∗
na
na sn 1a 1ns + sn N ∗
na
na ns sn 1na +
12n+ N ∗
1a 2a 3a
1a
na
na sn 1a na ns
n N ∗
na
na sn
na 1a 1na +
1
2 na N ∗
na
na
na
na na【详细解答】 = +1(n∈ ), -2= +1-2, -2= ( -2),
= , =1, -2=1-2=-1, 数列{ -2}是以-1 为首项, 为公比的等比
数列, -2=(-1) =- , =2- (n∈ )。
2、已知数列{ }中, =a, = (n∈ ),求: 。
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列递推公式的定义与性质。
【解题思路】运用数列递推公式的定义与性质,结合问题条件得到关于 加上一个常数的
新数列,根据等比数列判定的基本方法,判定数列{ +c}(c 为常数)为等比数列,利用
等比数列通项公式的求法求出数列{ +c}的通项公式,从而得出数列{ }的通项公式。
【详细解答】 = (n∈ ), + =2 , +1= ,
+1-2= -2, -1=2( -1), = , =a, -1= -1= ,
数列{ -1}是以 为首项, 为公比的等比数列, -1= = ,
= (n∈ )。
3、根据下列条件,确定数列{ }的通项公式:
(1) =1, = ;(2) =1, =3 +2;(3) =2, = +ln(1+ )。
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法;②数列递推公式的定义与性质。
【解题思路】(1)运用数列递推公式的定义与性质,结合问题条件得到 关于 n 的代数
1na +
1
2 na N ∗ ∴ 1na +
1
2 na ⇒ 1na +
1
2 na
⇒
1 2
2
n
n
a
a
+ −
−
1
2 1a ∴ 1a ⇒ na 1
2
⇒ na × 11( )2
n− 11( )2
n− ∴ na 11( )2
n− N ∗
na 1a 1na +
2
1
n
n
a
a+ N ∗
na
1
na
1
na
1
na na
1na +
2
1
n
n
a
a+ N ∗ ∴ 1na + 1na + na na ⇒ 1
na 1
2
na +
⇒ 1
na
1
2
na +
⇒ 1
na 1
1
na +
⇒ 1
1 1
1 1
n
n
a
a
+
−
−
1
2 1a ∴
1
1
a
1
a
1 a
a
− ⇒
1
na
1 a
a
− 1
2
⇒ 1
na
1 a
a
− × 11( )2
n−
1
1
2n
a
a−
−
∴ na
1
1
2
1 (2 1)
n
n
a
a
−
−− + N ∗
na
1a 1na + 2n
na 1a 1na + na 1a 1na + na 1
n
1
n
n
a
a −式,利用叠乘法就可求出数列{ }的通项公式;(2)运用数列递推公式的定义与性质,
结合问题条件得到关于 加上一个常数的新数列,根据等比数列判定的基本方法,判定数
列{ +c}(c 为常数)为等比数列,利用等比数列通项公式的求法求出数列{ +c}的通
项公式,从而得出数列{ }的通项公式;(3)运用数列递推公式的定义与性质,结合问
题条件得到 - 关于 n 的代数式,利用叠加法就可求出数列{ }的通项公式。
【详细解答】(1) = , = , = , = ,--------,
= , =2, = . .--------. .2= = , =1, =
= (n∈ );(2) =3 +2, +1=3 +2+1, +1=3( +1),
=3, =1, +1=1+1=2, 数列{ +1}是以 2 为首项,3 为公比的等比数
列, +1=2 , =2 -1 (n∈ );(3) = +ln(1+ ), ,-
=ln(1+ )=ln , - = ln , - = ln ,--------, - = ln
,
- =ln2, - = ln + ln +--------+ ln + ln2,=ln -------
2=lnn, =lnn+ , =2, =2+lnn=lnn (n∈ )。
『思考问题 4』
(1) 【典例 4】是已知数列的首项和递推公式,求数列通项公式的问题,解答这类问题需要
理解递推公式的定义;
(2)解答这类问题的基本思路是构造一个新数列,使构造的新数列为基本数列;
(3)这类问题常见的类型有:① = +f(n)(n 2,n∈ );② =f(n) (n 2,n∈
);③ = +c(n 2,n∈ ,c 为常数);
(4)求解这类问题的基本方法是:①由已知的递推公式向上(或向下)得到一个式子;②
把已知式子与递推式子相减构造一个新数列,③求出新数列的通项公式;④根据新数列的通
项公式求出所求数列的通项公式;
(5)求出新数列通项公式后求所求数列通项公式时常用的方法是:①叠加法,适用于 =
na
na
na na
na
na 1na − na
1na + 2n
na ∴ 1n
n
a
a
+ 2n ⇒
1
n
n
a
a −
12n− 1
2
n
n
a
a
−
−
22n−
3
2
a
a
22 2
1
a
a
⇒
1
na
a
12n− 22n− 22
(n-1 1)
22
n + 2
22
n
1a ∴ na
2
22
n
1a
2
22
n
N ∗
1na + na ∴ 1na + na ⇒ 1na + na ⇒
1 1
1
n
n
a
a
+ +
+ 1a ∴ 1a ⇒ na
⇒ na × 13n− ∴ na × 13n− N ∗
1na + na 1
n
∴ 1na +
na 1
n
n 1
n
+ ⇒ na 1na −
n
1n − 1na − 2na −
n-1
2n − 3a 2a
3
2
2a 1a ⇒ na 1a n
1n −
n-1
2n −
3
2
n
1n − × n-1
2n − × ×
3
2
× ⇒ na 1a 1a ∴ na 2e N ∗
na 1na − ≥ N ∗
1
n
n
a
a −
≥
N ∗
na 1na − ≥ N ∗
na+f(n)(n 2,n∈ )这种类型;②叠乘法,适用于 =f(n) (n 2,n∈ )这种
类型;③换元法,适用于 =p +q(n 2,p 0,且 p 1);④迭代法,将 =f( )
代入 =f( )得到 与 的关系,再将 =f( )代入,-------直到 =f( )代
入为止。
〔练习 4〕解答下列问题:
1、已知数列{ }满足 =1, = (n 2,n∈ ),则 = ;
2、已知数列{ }的前 n 项和为 ,且 =2 -1(n∈ ),则 等于( )
A -16 B 16 C 31 D 32
3、已知数列{ }中, =9,3 =4- (n∈ ),求: ;
4、已知数列{ }中, = , =4 +1(n∈ ),求: 。
1na − ≥ N ∗
1
n
n
a
a −
≥ N ∗
na 1na − ≥ ≠ ≠ 1na − 2na −
na 1na − na 2na − 2na − 3na − 2a 1a
na 1a na 1n
n
−
1na − ≥ N ∗
na
na sn sn na N ∗
5a
na 1a 1na + na N ∗
na
na 1a 1
2 1na + na N ∗
na