数列前n项和的求法

数列前 n 项和的求法 数列前 n 项和是指把数列前 n 项相加所得的结果，它可表示为 = + + +------+ + 。纵观近几年的高考，求数列前 n 项和常见的问题主要包括：①求基本数列（等差数列 或等比数列）前 n 项和问题；②裂项相消求和法；③错项求和法；④拆项求和法；⑤并项求 和法等几种类型。各种类型具有各自的结构特征，求和的方法也各不相同，那么在实际解答 这类问题时，到底应该如何根据数列的结构特征，采用有效的方法准确，快捷的进行解答呢？ 下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、 等差数列｛ ｝中，已知 + =16，则该数列的前 11 项和 等于（ ） A 58 B 88 C 143 D 176 【解析】 【知识点】①等差数列前 n 项和公式及运用；②等差数列首项，公差的定义与性质；③等差 数列通项公式及运用。 【解题思路】设等差数列｛ ｝的首项为 ，公差为 d，根据问题条件得到关于首项为 ， 公差 d 的等式，运用等差数列前 n 项和公式就可求出结果。 【详细解答】设等差数列｛ ｝的首项为 ，公差为 d， + = +3d+ +7d=2 +10d= 16， +5d=8， =11 + d=11 +55d=11（ +5d）=11 8=88， B 正确， 选 B。 2、设｛ ｝是公比为 q 的等比数列， 是它的前 n 项和，若{ }是等差数列，则 q 等于 （ ） A 1 B 0 C 1 或 0 D -1 【解析】 【知识点】①等比数列前 n 项和公式及运用；②等比数列首项，公比的定义与性质；③等差 数列的定义与性质。 【解题思路】设等比数列｛ ｝的首项为 ，运用等比数列前 n 项和公式，结合问题条件 条件得到关于首项为 ，公比 q 的等式，根据等差数列的定义与性质就可求出公比 q。 【详细解答】设等比数列｛ ｝的首项为 ，①当 q=1 时， = = =-------= = ， =n ，显然数列{ }是等差数列，符合题意；②当 q 1 时， = ， = = （1+q）， = = （1+q+ ）， ， ， 成等差数列， 2 nS 1a 2a 3a 1na − na na 4a 8a 11s na 1a 1a na 1a  4a 8a 1a 1a 1a ∴ 1a ⇒ 11s 1a 11 10 2 × 1a 1a × ⇒ ∴ na sn sn na 1a 1a na 1a  1a 2a 3a 1na − na ∴ sn 1a sn ≠  1S 1a 2S 2 1(1 ) 1 a q q − − 1a 3S 3 1(1 ) 1 a q q − − 1a 2q 1S 2S 3S ∴ 1a（1+q） = + （1+q+ ）， 2+2q=2+q+ ， q(q-1)=0， q=0 或 q=1，此时无解， 综上所 述 q=1， A 正确， ,选 A。 3、已知等差数列｛ ｝满足： + =4， + =10。 求：数列｛ ｝前 n 项和 ； 【解析】 【知识点】①等差数列前 n 项和公式及运用；②等差数列首项，公差的定义与性质；③等差 数列通项公式及运用。 【解题思路】设等差数列｛ ｝的首项为 ，公差为 d，根据问题条件得到关于首项为 ， 公差 d 的方程组，求解方程组得出首项为 ，公差为 d 的值，运用等差数列前 n 项和公式 就可求出结果。 【详细解答】设等差数列｛ ｝的首项为 ，公差为 d， + = +d+ +3d=2 +4d =4， + = +2d+ +4d=2 +6d =10。 +2d =2①， +3d =5②，联立①②解得 =-4， d =3， =-4n+ 3= - n。 4、设等差数列｛ ｝的前 n 项和为 ，已知 = ， =20。 求：数列｛ ｝前 n 项和 。 【解析】 【知识点】①等差数列前 n 项和公式及运用；②等差数列首项，公差的定义与性质；③等差 数列通项公式及运用。 【解题思路】设等差数列｛ ｝的公差为 d，根据问题条件得到关于首项为 ，公差 d 的 方程，求解方程得出公差为 d 的值，运用等差数列前 n 项和公式就可求出结果。 【详细解答】设等差数列｛ ｝的公差为 d， = ， =4 + d=2+6d=20， d=3， = n+ 3= 。 5、已知各项均为正数的等比数列｛ ｝中， =5， =10。 求：数列｛ ｝前 n 项和 ； 【解析】 【知识点】①等比数列前 n 项和公式及运用；②等比数列首项，公比的定义与性质；③等比 数列通项公式及运用。 1a 1a 2q ⇒ 2q ⇒ ⇒ ∴ ⇒ ∴ na 2a 4a 3a 5a na sn na 1a 1a 1a na 1a  2a 4a 1a 1a 1a 3a 5a 1a 1a 1a ∴ 1a 1a 1a ∴ sn ( 1) 2 n n − × 3 2 2n 11 2 na sn 1a 1 2 4s na sn na 1a na  1a 1 2 4s × 1 2 4 3 2 × ∴ ⇒ sn 1 2 ( 1) 2 n n − × 3 2 2n na 1a 2a 3a 7a 8a 9a na sn【解题思路】设等比数列｛ ｝的公比为 q，运用等比数列通项公式，结合问题条件条件 得到关于首项为 ，公比 q 的方程组，求解方程组得出首项为 ，公比 q 的值，根据等比 数列前 n 项和公式就可得出结果。 【详细解答】设等比数列｛ ｝的公比为 q， = =5， = =10， q= ①， = ，联立①②解得 = ，q= ， = = 。 6、已知数列｛ ｝是首项为 1 的等比数列， 是｛ ｝的前 n 项和，且 9 = 。 求：数列｛ ｝前 n 项和 。 【解析】 【知识点】①等比数列前 n 项和公式及运用；②等比数列首项，公比的定义与性质。 【解题思路】设等比数列｛ ｝的公比为 q，运用等比数列前 n 项和公式，结合问题条件 条件得到关于公比 q 的方程，求解方程得出公比 q 的值，根据等比数列前 n 项和公式就可得 出结果。 【详细解答】设等比数列｛ ｝的公比为 q，①当 q=1 时， = = =-------= = ， =n ，显然 9 = 不成立；②当当 q 1 时， 9 = ， = = ， =9， q=2， =1， = 。 『思考问题 1』 （1）【典例 1】是基本数列（等差数列或等比数列）的求和问题，解答这类问题需要理解并 掌握等差数列，等比数列的前 n 项和公式； （2）由基本数列的求和公式可知：求基本数列前 n 项和的关键是由条件求出①数列的首 项；②数列的公差（或公比）； （3）求基本数列的首项，公差（或公比）的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据 条件列出关于数列首项，公差（或公比）的方程（或方程组），②求解方程（或方程组）；③ 得出基本数列的首项，公差（或公比）。 〔练习 1〕解答下列问题： 1、已知数列｛ ｝的前 n 项和为 ，并满足 =2 - ， =4- ，则 等于（ ） A 7 B 12 C 14 D 21 na 1a 1a na  1a 2a 3a 3 1( )a q 7a 8a 9a 7 3 1( )a q ∴ 1a 3 5 7 1a q 3 10 1a 6 18 5 2 3 2 ∴ sn 1 35 × 1 182 − × 1 32 n− 1 35 × 6 7 182 n− na sn na 3s 6s na sn na na  1a 2a 3a 1na − na ∴ sn 1a 3s 6s ≠  3s 6s ∴ 3 19 (1 ) 1 a q q − − 6 1(1 ) 1 a q q − − 3 3 1(1 )(1 ) 1 a q q q + − − ⇒ 3(1 )q+ ⇒  1a ∴ sn 12n− na sn 2na + 1na + na 5a 3a 7s2、设等比数列｛ ｝的公比 q=2，前 n 项和为 ，则 的值为（ ） A B C D 3、已知｛ ｝是等差数列，若 + =7， + =28。求数列｛ ｝前 n 项和 ； 4、设等差数列｛ ｝的前 n 项和为 ，若 = =12。求数列｛ ｝前 n 项和 。 5、已知数列｛ ｝是等比数列，若 =2 ， 与 2 的等差中项为 。 求数列 ｛ ｝前 n 项和 ； 6、设｛ ｝是由正数组成的等比数列， 是｛ ｝的前 n 项和，已知 =1， =7。 求数列｛ ｝前 n 项和 。 【典例 2】按要求解答下列各题： 1、已知等差数列｛ ｝的前 n 项和为 ， =5， =15，则数列{ }的前 100 项和 为（ ） A B C D 【解析】 【知识点】①数列前 n 项和公式及运用；②等差数列前 n 项和公式及运用；③等差数列通项 公式及运用。 【解题思路】设等差数列｛ ｝的首项为 ，公差为 d，运用等差数列前 n 项和公式与通 项公式，结合问题条件得到关于首项为 ，公差为 d 的方程组，求解方程组得出首项为 ， 公差为 d 的值，根据等差数列通项公式求出 ，代入 进行裂项，运用数列前 n 项和 公式就可得出结果。 【详细解答】设等差数列｛ ｝的首项为 ，公差为 d， = +4d=5， =5 +10d =15， +4d=5①， +2d =3②，联立①②解得 =1，d=1， =1+n-1=n， = na sn 4 3 s a 15 4 15 2 7 4 7 2 na 1a 2a 3a 7a na sn na sn 6a 3s na sn na 2a 3a 1a 4a 7a 5 4 na sn na sn na 2a 4a 3s na sn na sn 5a 5s 1 1 n na a + 100 101 99 101 99 100 101 100 na 1a 1a 1a na 1 1 n na a + na 1a  5a 1a 5s 1a ∴ 1a 1a 1a ⇒ na  1 1 n na a + 1 ( 1)n n += - ， = + + +------+ + =1- + - + - +-------+ - + - =1- = ， = ， A 正确， 选 A。 2、数列｛ ｝中， = ，若｛ ｝的前 n 项和 = ，则 n 等于（ ） A 2016 B 2017 C 2018 D 2019 【解析】 【知识点】①数列前 n 项和公式及运用；②数列通项公式及运用。 【解题思路】运用数列通项公式，结合问题条件求出数列的前 n 项和公式，根据前 n 项和的 值得到关于 n 的方程，求解方程就可得出结果。 【详细解答】 = ，= - ， = + + +------+ + =1- + - + - +-------+ - + - =1- = = ， n=2017 ， B 正 确 ， 选 B。 3、已知函数 f(x)= 的图像过点（4，2），令 = (n∈ )，记数列｛ ｝ 的前 n 项和为 ，则 = ； 【解析】 【知识点】①函数解析式的定义与求法；②数列通项公式及运用；③数列前 n 项和公式及运 用。 【解题思路】运用函数解析式的求法求出函数 f(x)的解析式，根据数列通项公式，结合问题 条件求出数列的前 n 项和公式，从而求出 的值。 【详细解答】 函数 f(x)= 的图像过点（4，2）， 2= ， a= ， f(x)= ， = = = = ， = + + +------ + + = -1+ - + - +--------+ - + - = -1， = -1= -1。 4、 为数列｛ ｝的前 n 项和，已知 ＞0， +2 =4 +3。 （1）求｛ ｝的通项公式； 1 n 1 1n + ∴ nS 1a 2a 3a 1na − na 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 1n − 1 n 1 n 1 1n + 1 1n + 1 n n + ⇒ 100S 100 101 ⇒ ∴ na na 1 ( 1)n n + na sn 2017 2018  na 1 ( 1)n n + 1 n 1 1n + ∴ nS 1a 2a 3a 1na − na 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 1n − 1 n 1 n 1 1n + 1 1n + 1 n n + 2017 2018 ⇒ ⇒ ∴ ax na 1 ( 1) ( )f n f n+ + N ∗ na sn 2017s 2017s  ax ∴ 4a ⇒ 1 2 ⇒ 1 2x  na 1 ( 1) ( )f n f n+ + 1 1n n+ + 1 1 n n n n + − + − 1n n+ − ∴ nS 1a 2a 3a 1na − na 2 3 2 4 3 n 1n − 1n + n 1n + ⇒ 2017s 2017 1+ 2018 sn na na 2 na na sn na（2）设 = ，求,数列｛ ｝的前 n 项和 。 【解析】 【知识点】①数列前 n 项和公式及运用；②数列通项公式及运用；③等差数列的定义，性质 与判定。 【解题思路】（1）当 n=1 时，由 +2 =4 +3 求出 的值；当 n 2 时，运用数列前 n 项 和公式，通项公式，结合问题条件得到关于 ， 的等式，利用等差数列判定的基本方 法判定数列｛ ｝为等差数列，根据等差数列通项公式求出 ，验证 n=1 时是否成立，从 而求出数列｛ ｝的通项公式；（2）由（1）得到,数列｛ ｝的通项公式，把 裂成两 项的差，根据数列前 n 项和公式求出数列｛ ｝的前 n 项和。 【详细解答】（1）当 n=1 时， +2 =4 +3， +2 =4 +3， -2 -3=0， =-1 或 =3， >0， =3；当 n 2 时， +2 =4 +3， - +2（ - ）=4（ - ）=4 ， （ + ）（ - -2）=0， + >0， - -2=0， - =2， =3， +2 =4（ + ）+3， -2 -15=0， =-3 或 =5， >0， =3， 当 n 2 时，数列｛ ｝是以 5 为首项，2 为公差的等差数列， =5+2（n-2）=2n+1（n 2）， 当 n=1 时， =2 1+1=2+1=3 成立， =2n+1(n∈ )； （2）由（1）知， = = = - ， = - + - + - +---------+ - + - = - = = 。 5、设 =n(n+1)， = ， 是数列｛ ｝的前 n 项和， 求证： ＜ 。 【解析】 【知识点】①数列前 n 项和公式及运用；②数列通项公式及运用。 nb 1 2 n na a + nb nT 2 na na sn 1a ≥ na 1na − na na na nb nb nb  2 na na sn ∴ 2 1a 1a 1a ⇒∴ 2 1a 1a ⇒ 1a 1a  1a ∴ 1a ≥  2 na na sn ∴ 2 na 2 1na − na 1na − sn 1nS − na ⇒ na 1na − na 1na −  na 1na − ∴ na 1na − ⇒ na 1na −  1a 2 2a 2a 1a 2a ⇒ 2 2a 2a ⇒ 2a 2a  2a ∴ 2a ⇒ ≥ na ∴ na ≥  1a × ∴ na N ∗ nb 1 2 n na a + 2 (2 1 3)n n+ +）( 2 1 2 1n + 1 2 3n + ∴ nT 1 3 1 5 1 5 1 7 1 7 1 9 1 2 1n − 1 2 1n + 1 2 1n + 1 2 3n + 1 3 1 2 3n + 2 3 3 3(2 3) n n + − + 2 3(2 3) n n + na nb 2( 1)n + nT 1 n na b+ nT 5 12【解题思路】运用数列通项公式，结合问题条件得到数列｛ ｝的通项公式，根据数 列前 n 项和公式求出数列数列｛ ｝的前 n 项和 ，证明 ＜ 。 【 详 细 解 答 】 =n(n+1) ， = ， = = = < = （ - ）， = + +-------+ + < （1- + - + - +-------+ - + - ）= （1- ）= < ， - = - =-