基本不等式运用问题的解答方法

基本不等式运用问题的解答方法 基本不等式是指：①若 a＞0，b＞0，则 ≥ （当且仅当 a=b 时取“=”号）；②设 a，b∈R，则 + ≥2ab（当且仅当 a=b 时取“=”号）两个不等式，这两个不等式的条件 不同，结论也有所差异，因此在实际运用基本不等式解答相关数学问题时，一定要注意根据 问题条件，选用恰当的基本不等式。纵观这几年的高考，基本不等式的运用问题主要包括：① 运用基本不等式证明不等式；②运用基本不等式求最值；③运用基本不等式解答不等式恒成 立，能成立，恰成立等问题；④运用基本不等式解答实际应用问题。各种类型结构上具有各 自的特征，解答的方法也不尽相同，那么在解答基本不等式的运用问题时，如何抓住问题的 结构特征，采用恰当的方法快速，准确地解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个 问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、若 a，b∈R，且 ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A + ＞2ab B a+b≥ C + ＞ D + ≥2 【解析】 【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式成立的条件。 【解题思路】运用基本不等式成立的条件，结合问题条件就可作出正确的判断。 【详细解答】对 A， a，b∈R， ≥0， + ≥2ab 恒成立，等号当且仅当 a=b 时成立， 当 a=b 时， + ＞2ab 不成立， A 错误；对 B， ab＞0， a，b 同号， 当 a ，对任意的 x∈ ( ， -kx>k-3， k> ，1］，恒成立， 或 k< ，对任意的 x∈［0， ），恒成立，设 g（x）= ，h（x）= ， k> ， （x）= = = ≤0 在［0，1］上恒成立， （x）= = ≥0 在［0，1］上恒成立， 函数 g（x）在［0，1］ 上单调递减，函数 h（x）在［0，1］上单调递增， 函数 g（x）在［0，1］的最大值为 g（0）=4，最小值为 g（1）=-3，函数 h（x）在［0，1］上的最大值为 h（1）=2， k>4， 实数,k 的取值范围是（4，+ ）。 『思考问题 4』 （1）【典例 4】是基本不等式的综合运用问题，这类问题包括：①不等式与其他知识的综合； ②求参数的值或取值范围； （2）解答不等式与其他知识综合问题的基本方法是：①弄清问题是不等式与哪些知识的综 合；②运用相应知识和基本不等式求解问题；③得出结果； （3）求参数值或取值范围的基本方法是：①注意问题的特点；②运用基本不等式确定相应 式子成立的条件；③求出结果。 〔练习 4〕解答下列问题： 1、已知各项均为正数的等比数列{ }满足 = +2 ，若存在两项 ， 使得 2 1 m 2m 2 2 3x x − − 2 2 3x x − −  ∴ 2x 2x ⇔ 2x ⇔ 2 4 2 1 x x − − 1 2 2x 2 3 1 x x + + 2 4 2 1 x x − − 1 2 2 4 2 1 x x − − 2 3 1 x x + +  2 3 1 x x + + g′ 2 2 2 2 1) 2 2 1 x x x x − − − （ （ ） 2 2 2 2 2 1 x x x − - （ ） 2 2 ( 1) 2 1 x x x − −（ ） h′ 2 2 2 ( 1) 1 x x x x + − +（ ） 2 2 2 1 x x x + +（ ） ∴ ⇒ ⇒ ∴ ∞ na 7a 6a 5a ma na .m na a =4 ，则 + 的最小值为（ ） A B C D 2、已知 a＞1，b＞1，且 lga+lgb=6,则 lga.lgb 的最大值为（ ） A 6 B 9 C 12 D 18 3、已知 x＞0，y＞0，lg +lg =lg2，则 + 的最小值是（ ） A 2 B 2 C 4 D 2 4、设 0＜x＜1，则 x(3-2x)取最大值时，x 的值为（ ） A B C D 1 5、已知函数 f(x)=x+ +2 的值域为（- ，0］ ［4，+ ），则 a 的值是（ ） A B C 1 D 2 6、已知函数 f(x)=4x+ ( x＞0，a＞0)在 x=3 时取得最小值，则 a= ； 【问题 5】解答下列问题： 1、某厂家拟在 2016 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用 m（m≥0）万元满足 x=3- （k 为常数）。如果不搞促销活动，那么 该产品的年销量只能是 1 万件，已知 2016 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产一万 件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍， （产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）。 y （千米） （1）将 2016 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数； （2）该厂家 2016 年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 【解析】 【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③解答实际应用问题的基本 方法。 【解题思路】（1）运用解答实际应用问题的基本方法，结合问题条件就可求出该产品年利润 y 万元关于年促销费用 m 万元的函数；（2）由（1）利用基本不等式求出函数最大值，从而 得出结果。 【详细解答】（1） 当 m=0 时，x=1 万件， 1=3-k， k=2， x=3- ， 每件产 品的销售价格为 （元）， y= x-8-16x-m=-[ +(m+1)]+29 （m≥0）；（2） m≥0 时， +(m+1) ≥2 ≥8， y=-[ +(m+1)]+29 1a 1 m 4 n 3 2 5 3 9 4 25 6 2x 8y 1 x 1 3y 2 3 1 4 1 2 3 4 a x ∞  ∞ 1 2 3 2 a x 1 k m +  ∴ ⇒ ⇒ 2 1m +  1.5 (8 16 )x x × + ∴ 1.5 (8 16 )x x × + 16 1m +  16 1m + 16( 1). 1m m + + ∴ 16 1m + ≤-8+29≤21， 当且仅当 =m+1，即 m=3 万元时， =21 万元。 2、如图建立平面直角坐标系 XOY，X 轴在地平面上，Y 轴 y 垂直于地平面，单位长度为 1 千米，某炮位于坐标原点，已 知炮弹发射后的轨迹方程 y=kx- (1+ )，（k＞0）表示的 曲线上，其中 k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点 的横坐标。 （1）求炮的最大射程； 0 x（千米） （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由（2012 全国高考江苏卷） 【解析】 【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③解答实际应用问题的基本 方法。 【解题思路】（1）运用解答实际应用问题的基本方法，结合问题条件就可求出炮的最大射程； （2）由（1）和问题条件得到方程 -20ak+ +64=0，利用方程有正根的条件得到关于 a 的不等式，求解不等式求出 a 的取值范围，从而得出结果。 【详细解答】（1） x>0，k>0，当 y=0 时，kx- (1+ ) =0， x= = ≤ ≤10， 当且仅当 k= ，即 k=1 时，炮的最大射程为 10 千米；（2） a>0， 炮弹击中目标， 存在 k>0，使 3.2=ka- (1+ ) 成立， 方程 kx- (1+ ) =0， 有正根， = -4 （ +64）≥0， a≤6， a>0， 0< a≤6， 当 a 不超 过 6 千米时，炮弹可以击中目标。 3、某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为 4800 ，深为 3m，如果池底每 1 的造价为 150 元，池壁每 1 的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总 造价是多少元？ 【解析】 【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③解答实际应用问题的基本 方法。 【解题思路】设蓄水池底面长方形的宽为 xm，运用解答实际应用问题的基本方法，结合问 题条件把蓄水池的总造价 y（元）表示成关于 x 的函数，利用基本不等式求出当函数取最小 值时，x 的值，从而得出结果。 【详细解答】设蓄水池底面长方形的宽为 xm， 蓄水池容积为 4800 ，深为 3m， 蓄 ⇒ 16 1m + maxy 1 20 2k 2a 2k 2a  1 20 2k 2x ∴ 2 20 1 k k+ 20 1 kk + 20 12 .kk ⇒ 1 k  ∴ ⇔ 1 20 2k 2a ⇔ 1 20 2k 2x ⇒ ∆ 2)（- 20a 2a 2a ⇒  ∴ ⇒ 3m 2m 2m  3m ∴ 水池底面面积为 1600 ， 蓄水池底面长方形的长为 m， y=2(x+ ) 3 120+ 1600 150=720(x+ )+24000 ≥720 2 +24000≥57600+24000≥81600, 当且 仅当 x= ，及 x=40m 时，y 取得最小值 81600 元， 当蓄水池的底面设计成边长为 40m 的正方形时，能使总造价最低，最低总造价为 81600 元。 4、首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会拟“节能减排，绿色生态”为主题，某单 位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用 的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y（元） 与月处理量 x（吨）之间的函数关系可近似地表示为 y= -200x+80000，且每处理一吨二 氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元。 （1）该单位每月处理量为多少时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴 多少元才能使该单位不亏损？ 【解析】 【知识点】①基本不等式的定义与性质；②基本不等式的运用；③解答实际应用问题的基本 方法。 【解题思路】（1）运用解答实际应用问题的基本方法，结合问题条件把二氧化碳每吨的平均 处理成本表示成关于 x 的式子，利用基本不等式就可求出二氧化碳平均每吨处理成本的最小 值；（2）设该单位每月获利为 G 元，把 G 表示成关于 x 的函数，利用函数值域的求法求出 G 的取值范围，从而得出结果。 【详细解答】（1） y= -200x+80000， 二氧化碳每吨的平均处理成本为 = x+ -200≥2 -200≥400-200≥200， 当且仅当 x= ，即 x=400 时， 的值最小， 该单位该月处理 400 吨时，才能使二氧化碳每吨的平均处理成本最低，最 低为 200 元；（2）设单位该月获利为 G 元， G=100x-y=100x-（ -200x+80000）= - +300x-80000=- -35000，x∈[400，600]， G∈[-80000，-40000]， 该单位该月不可能获利，需要国家至少补贴 40000 元，才能不亏损。 『思考问题 5』 （1）【典例 5】是基本不等式的实际应用问题，解答这类问题需要理解基本不等式，掌握实 际应用问题处理的基本方法； （2）实际应用问题是人们关心的社会热点问题（如物价，销售，成本，利润等），解答的基 本思路是：①根据实际应用问题联想相应的数学模型并建立数学模型；②运用相应数学模型 的图像和性质解答问题；③得出结果。 〔练习 3〕解答下列问题： 2m ⇒ 1600 x ⇒ 1600 x × × × 1600 x × 1600.x x ∴ 1600 x ∴ 1 2 2x  1 2 2x ∴ y x 1 2 80000 x 1 80000.2 x x ⇒ 1 2 80000 x y x ∴  1 2 2x 1 2 2x 1 2 2)（x- 300 ∴ ⇒ 1、过 p（2,1）的直线 l 分别交 X 轴、Y 轴于 A、B 两点，求 AOB 的面积 S 的最小值； 2、某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6 吨，每吨面粉的价格为 1800 元，面粉 的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元，购面粉每次需支付运费 900 元，若提供面粉的公司 规定：当一次购买面粉不少于 100 吨时，其价格可享受 9 折优惠(即原价的 90℅)，问该厂 是否考虑利用此优惠条件？请说明理由。 3、已知一段长为 Lm 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长款、宽各为多 少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 4、已知直角三角形两条直角边的和等于 10cm，求面积最大时斜边的长，并求其最大面积； 5、某单位建造一间地面面积为 12 的背靠墙的长方形小房，房屋正面的造价为 1200 元/ ，房屋侧面的造价为 800 元/ ，屋顶的造价为 5800 元，如果墙高为 3m，且不计算房 屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能够使总造价最低，最低总造价是多少元？ 6、某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的成本 y（万元）与生产量 x （吨）之间的函数关系式可以近似地表示为 y= -48x+8000，已知此生产线年产量最大为 210 吨。 （1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低成本； （2）若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产量为多少吨时，可获得最大利润？最大 利润是多少？ 7、某机械厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 台，需另投入成本 C（x）（万 元），当年产量不足 80 台时，C（x）= +10x（万元）；当年产量不小于 80 台时，C（x） =51x+ -1450（万元）。通过市场分析，若每台售价为 50 万元，该厂当年生产的该产 品能全部销售完。 （1）写出年利润 L（x）（万元）关于年产量 x（台）的函数解析式； （2）当年产量为多少台时，该厂在这一产品的生产中所利润最大，最大利润是多少？ ∆ 2m 2m 2m 2 5 x 1 3 2x 10000 x