高考研究专家精品资料——高中数学知识点归纳汇总

第 1 页 高中数学知识总结归纳（打印版） 引言 1.课程内容： 必修课程由 5 个模块组成： 必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3：算法初步、统计、概率。 必修 4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修 5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、 函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上 做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有 4 个系列： 系列 1：由 2 个模块组成。 选修 1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修 1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列 2：由 3 个模块组成。 选修 2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修 2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列 3：由 6 个专题组成。 选修 3—1：数学史选讲。 选修 3—2：信息安全与密码。 选修 3—3：球面上的几何。 选修 3—4：对称与群。 选修 3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修 3—6：三等分角与数域扩充。 系列 4：由 10 个专题组成。 选修 4—1：几何证明选讲。 选修 4—2：矩阵与变换。 选修 4—3：数列与差分。 选修 4—4：坐标系与参数方程。 选修 4—5：不等式选讲。 选修 4—6：初等数论初步。 选修 4—7：优选法与试验设计初步。 选修 4—8：统筹法与图论初步。 选修 4—9：风险与决策。 选修 4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 第 2 页 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、 指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用   ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、 三角函数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等 式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲 线的应用 ⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间 向量 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 第 3 页 高中数学 必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示自然数集， 或 表示正整数集， 表示整数集， 表示有理数集， 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象 与集合 的关系是 ，或者 ，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{ | 具有的性质}，其中 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合 叫做空集( ). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A 中的任一元素都 属于 B (1)A A (2) (3)若 且 ，则 (4)若 且 ，则 或 真子集 A B （或 B A） ，且 B 中至 少有一元素不属于 A （1） （A 为非空子集） (2)若 且 ，则 集合 相等 A 中的任一元素都 属于 B，B 中的任 一元素都属于 A (1)A B (2)B A （7）已知集合 有 个元素，则它有 个子集，它有 个真子集，它有 个非空子集，它 有 非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 （1） （2） （3） A(B) B A B A A(B) N N ∗ N+ Z Q R a M a M∈ a M∉ x x x ∅ BA ⊆ )AB ⊇ ⊆ A∅ ⊆ BA ⊆ B C⊆ A C⊆ BA ⊆ B A⊆ A B= ≠ ⊂ ≠ ⊃ BA ⊆ A≠ ∅⊂ A B≠ ⊂ B C≠ ⊂ A C≠ ⊂ A B= ⊆ ⊆ A ( 1)n n ≥ 2n 2 1n − 2 1n − 2 2n − A B { | ,x x A∈ }x B∈ A A A= A ∅ = ∅ A B A⊆ A B B⊆ 第 4 页 并集 或 （1） （2） （3） 补集 1 2 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 或 把 看 成 一 个 整 体 ， 化 成 ， 型不等式来求解 （2）一元二次不等式的解法 判别式 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 （其中 无实根 的解集 或 的解集 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设 、 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个数 ，在集合 中 都有唯一确定的数 和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则 ）叫 做集合 到 的一个函数，记作 ． A O =O L O A B { | ,x x A∈ }x B∈ A A A= A A∅ = A B A⊇ A B B⊇ U A { | , }x x U x A∈ ∉且 ( )UA A = ∅  ( )UA A U=  | | ( 0)x a a< > { | }x a x a− < < | | ( 0)x a a> > |x x a< − }x a> | | ,| | ( 0)ax b c ax b c c+ < + > > ax b+ | |x a< | | ( 0)x a a> > 2 4b ac∆ = − 0∆ > 0∆ = 0∆ < 2 ( 0)y ax bx c a= + + > 2 0( 0)ax bx c a+ + = > 2 1,2 4 2 b b acx a − ± −= 1 2 )x x< 1 2 2 bx x a = = − 2 0( 0)ax bx c a+ + > > 1{ |x x x< 2}x x> { |x }2 bx a ≠ − R 2 0( 0)ax bx c a+ + < > 1 2{ | }x x x x< < ∅ ∅ A B f A x B ( )f x A B A B f A B :f A B→ ( ) ( ) ( )U U UA B A B=    ( ) ( ) ( )U U UA B A B=    第 5 页 ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设 是两个实数，且 ，满足 的实数 的集合叫做闭区间，记做 ；满足 的实数 的集合叫做开区间，记做 ；满足 ，或 的实数 的集合叫 做半开半闭区间，分别记做 ， ；满足 的实数 的集合分别记做 ． 注意：对于集合 与区间 ，前者 可以大于或等于 ，而后者必须 ，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ① 是整式时，定义域是全体实数． ② 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③ 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1． ⑤ 中， ． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的 定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 的定义域为 ，其复合函数 的 定义域应由不等式 解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个 最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是 提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的 值域或最值． ③判别式法：若函数 可以化成一个系数含有 的关于 的二次方程 ，则在 时，由于 为实数，故必须有 ， 从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为 ,a b a b< a x b≤ ≤ x [ , ]a b a x b< < x ( , )a b a x b≤ < a x b< ≤ x [ , )a b ( , ]a b , , ,x a x a x b x b≥ > ≤ < x [ , ),( , ),( , ],( , )a a b b+∞ +∞ −∞ −∞ { | }x a x b< < ( , )a b a b a b< ( )f x ( )f x ( )f x tany x= ( )2x k k Z ππ≠ + ∈ ( )f x ( )f x [ , ]a b [ ( )]f g x ( )a g x b≤ ≤ ( )y f x= y x 2( ) ( ) ( ) 0a y x b y x c y+ + = ( ) 0a y ≠ ,x y 2 ( ) 4 ( ) ( ) 0b y a y c y∆ = − ⋅ ≥ 第 6 页 三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． 【1.2.2】函数的表示法 （5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之 间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念 ①设 、 是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个元素，在集合 中都有 唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则 ）叫做集合 到 的映射，记作 ． ②给定一个集合 到集合 的映射，且 ．如果元素 和元素 对应，那么我们把元素 叫做元素 的象，元素 叫做元素 的原象． 〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1、x2,当 x1< x2 时 ， 都 有 f(x1) ( )f x ( , ]a−∞ − [ , )a +∞ [ ,0)a− (0, ]a ( )y f x= I M x I∈ ( )f x M≤ 0x I∈ 0( )f x M= M ( )f x max ( )f x M= ( )y f x= I m x I∈ ( )f x m≥ 0x I∈ 0( )f x m= m ( )f x max ( )f x m= ( )f x 0x = (0) 0f = y y y xo 第 8 页 ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图： 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象． ①平移变换 ②伸缩变换 ③对称变换 （2）识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径， 获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法． 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果 ，且 ，那么 叫做 的 次方根．当 是奇数时， 的 次方根用符号 表示；当 是偶数时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示；0 的 次方根是 0；负数 没有 次方根． ②式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数．当 为奇数时， 为任意实数；当 为偶数时， ． ③ 根 式 的 性 质 ： ； 当 为 奇 数 时 ， ； 当 为 偶 数 时 ， ． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是： 且 ．0 的正分数指数幂等于 0． 0, 0, |( ) ( )h h h hy f x y f x h> = → =伸 缩 0 1, 1,( ) ( )A Ay f x y Af x< < >= → =缩 伸 ( ) ( )xy f x y f x= → = −轴 ( ) ( )yy f x y f x= → = −轴 ( ) ( )y f x y f x= → = − −原点 1( ) ( )y xy f x y f x−== → =直线 ( ) (| |)y y yy f x y f x= → =去掉 轴左边图象 保留 轴右边图象，并作其关于 轴对称图象 ( ) | ( ) |x xy f x y f x= → =保留 轴上方图象 将 轴下方图象翻折上去 , , , 1nx a a R x R n= ∈ ∈ > n N+∈ x a n n a n n a n a n n a n n a− n a n n a n a n a n 0a ≥ ( )nn a a= n n na a= n ( 0)| | ( 0) n n a aa a a a ≥= = − ∈ 1)n > 第 9 页 ②正数的负分数指数幂的意义是： 且 ．0 的负分数 指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① ② ③ 【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数 且 叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点 ，即当 时， ． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低． 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫 做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化： ． 1 1( ) ( ) ( 0, , , m m mn n na a m n Na a − += = > ∈ 1)n > ( 0, , )r s r sa a a a r s R+⋅ = > ∈ ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s R= > ∈ ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r R= > > ∈ ( 0xy a a= > 1)a ≠ 1a > 0 1a< < R (0, )+∞ (0,1) 0x = 1y = R R 1 ( 0) 1 ( 0) 1 ( 0) x x x a x a x a x > > = = < < 1 ( 0) 1 ( 0) 1 ( 0) x x x a x a x a x < > = = > < a a a ( 0, 1)xa N a a= > ≠且 x a N logax N= a N log ( 0, 1, 0)x ax N a N a a N= ⇔ = > ≠ > 0 1 xay = x y (0,1) O 1y = 0 1 xay = x y (0,1) O 1y = 第 10 页 （2）几个重要的对数恒等式 ， ， ． （3）常用对数与自然对数 常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 （其中 …）． （4）对数的运算性质 如果 ，那么 ①加法： ②减法： ③数乘： ④ ⑤ ⑥换底公式： 【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数 函数 名称 对数函数 定义 函数 且 叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点 ，即当 时， ． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高． (6)反函数的概念 设函数 的定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得式子 ．如果对 log 1 0a = log 1a a = log b a a b= lg N 10log N ln N loge N 2.71828e = 0, 1, 0, 0a a M N> ≠ > > log log log ( )a a aM N MN+ = log log loga a a MM N N − = log log ( )n a an M M n R= ∈ loga Na N= log log ( 0, )b n aa nM M b n Rb = ≠ ∈ loglog ( 0, 1)log b a b NN b ba = > ≠且 log ( 0ay x a= > 1)a ≠ 1a > 0 1a< < (0, )+∞ R (1,0) 1x = 0y = (0, )+∞ (0, )+∞ log 0 ( 1) log 0 ( 1) log 0 (0 1) a a a x x x x x x > > = = < < < log 0 ( 1) log 0 ( 1) log 0 (0 1) a a a x x x x x x < > = = > < < a a a ( )y f x= A C ( )y f x= x ( )x yϕ= 0 1 x y O (1,0) 1x = logay x= 0 1 x y O (1,0) 1x = logay x= 第 11 页 于 在 中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 表示 是 的函数，函数 叫做函数 的反函数，记作 ，习惯上改 写成 ． （7）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式 中反解出 ； ③将 改写成 ，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质 ①原函数 与反函数 的图象关于直线 对称． ②函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域． ③若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上． ④一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数． 〖2.3〗幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数． （2）幂函数的图象 y C ( )x yϕ= x A ( )x yϕ= x y ( )x yϕ= ( )y f x= 1( )x f y−= 1( )y f x−= ( )y f x= 1( )x f y−= 1( )x f y−= 1( )y f x−= ( )y f x= 1( )y f x−= y x= ( )y f x= 1( )y f x−= ( , )P a b ( )y f x= ' ( , )P b a 1( )y f x−= ( )y f x= y xα= x α 第 12 页 （3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第 一、二象限(图象关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非 偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ． ③单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数．如果 ，则幂函数的图 象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴． ④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数．当 （其中 互 质， 和 ），若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数，若 为奇数 为偶数时，则 是偶 函数，若 为偶数 为奇数时，则 是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数 ，当 时，若 ，其图象在直线 下方，若 ， 其图象在直线 上方，当 时，若 ，其图象在直线 上方，若 ，其图象在直线 下方． 〖补充知识〗二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式： ②顶点式： ③两根式： （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 更方便． （3）二次函数图象的性质 y (0, )+∞ (1,1) 0α > [0, )+∞ 0α < (0, )+∞ x y α α q p α = ,p q p q Z∈ p q q py x= p q q py x= p q q py x= , (0, )y x xα= ∈ +∞ 1α > 0 1x< < y x= 1x > y x= 1α < 0 1x< < y x= 1x > y x= 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a= − + ≠ 1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a= − − ≠ x ( )f x 第 13 页 ①二次函数 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 顶点坐标是 ． ②当 时，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，当 时， ；当 时，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减， 当 时， ． ③二次函数 当 时，图象与 轴有两个交点 ． （4）一元二次方程 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不 够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用， 下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程 的两实根为 ，且 ．令 ，从以 下四个方面来分析此类问题：①开口方向： ②对称轴位置： ③判别式： ④端点函数值 符号． ①k＜x1≤x2 ②x1≤x2＜k ③x1＜k＜x2 af(k)＜0 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ ,2 bx a = − 24( , )2 4 b ac b a a −− 0a > ( , ]2 b a −∞ − [ , )2 b a − +∞ 2 bx a = − 2 min 4( ) 4 ac bf x a −= 0a < ( , ]2 b a −∞ − [ , )2 b a − +∞ 2 bx a = − 2 max 4( ) 4 ac bf x a −= 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ 2 4 0b ac∆ = − > x 1 1 2 2 1 2 1 2( ,0), ( ,0),| | | | | |M x M x MM x x a ∆= − = 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 1 2,x x 1 2x x≤ 2( )f x ax bx c= + + a 2 bx a = − ∆ ⇔ x y 1x 2x 0>a O • a bx 2 −= 0)( >kf k x y 1x 2x O • a bx 2 −= k 0kf x y 1x 2x O • a bx 2 −= k 0kf 0)( 2 >kf a bx 2 −= x y 1x 2xO • 0 ( )M f p= x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − 0x x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − 0x  第 15 页 (Ⅱ)当 时(开口向下) ①若 ，则 ②若 ，则 ③若 ，则 ①若 ，则 ② ，则 ． 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1 、 函 数 零 点 的 概 念 ： 对 于 函 数 ， 把 使 成 立 的 实 数 叫 做 函 数 的零点。 2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象 与 轴交点的横坐标。即： 方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点． 3、函数零点的求法： 求函数 的零点： ○1 （代数法）求方程 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用 函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点： 二次函数 ． １）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数 有两个零点． ２）△＝０，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点， 二次函数有一个二重零点或二阶零点． ３）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点． 高中数学 必修 2 知识点 0a < 2 b pa − < ( )M f p= 2 bp qa ≤ − ≤ ( )2 bM f a = − 2 b qa − > ( )M f q= 02 b xa − ≤ ( )m f q= 02 b xa − > ( )m f p= ))(( Dxxfy ∈= 0)( =xf x ))(( Dxxfy ∈= )(xfy = 0)( =xf )(xfy = x 0)( =xf ⇔ )(xfy = x ⇔ )(xfy = )(xfy = 0)( =xf )(xfy = )0(2 ≠++= acbxaxy 02 =++ cbxax x 02 =++ cbxax x 02 =++ cbxax x x y0 有且只有一个平面α， 使 A∈α、B∈α、C∈α。 公理 2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公 共直线。 符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且 P∈L 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 2rrlS ππ += 22 RRlrrlS ππππ +++= 24 RS π= hSV ×= 底 hSV ×= 底3 1 hSSSSV ×++= )3 1 下下上上（ 3 3 4 RV π= 222 rrlS ππ += L A ·α C · B · A ·α 共面直线 第 18 页 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设 a、b、c 是三条直线 a∥b c∥b 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为简便，点 O 一般取在两直 线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： a β b β a∩b = P β∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； =>a∥c 2 π 第 19 页 （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a∥α a β a∥b α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： α∥β α∩γ= a a∥b β∩γ= b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面α互相垂直，记作 L⊥α，直 线 L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂 足。 L p α 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B    α 2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 第 20 页 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章知识结构框图 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成 的角α叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等， 那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即 如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负 倒数，那么它们互相垂直，即 3.2.1 直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线 经过点 ，且斜率为 2、、直线的斜截式方程：已知直线 的斜率为 ，且与 轴的交点为 3.2.2 直线的两点式方程 l ),( 000 yxP k )( 00 yy −=− l k y ),0( b bkxy += 平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4） 空间直线、平面的位置关系 平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系直线与直线的位置关系 第 21 页 ( ) ( )2 2 1 2 2 2 2 1PP x x y y= − + − 1、直线的两点式方程：已知两点 其中 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线 与 轴的交点为 A ，与 轴的交点为 B ，其中 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于 的二元一次方程 （A，B 不同时为 0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交 点坐标 1、给出例题：两 直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 得 x=-2，y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M（-2，2） 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式 3.3.3 点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式： 点 到直线 的距离为： 2、两平行线间的距离公式： 已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ， ，则 与 的距离为 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程： 圆 心 为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2 、 点 与 圆 的关系的判断 方法： （1） > ，点在圆外 （2） = ，点在圆上 （3） < ，点在圆内 4.1.2 圆的一般方程 1、圆的一般方程： ),(),,( 222211 yxPxxP ),( 2121 yyxx ≠≠ l x )0,(a y ),0( b 0,0 ≠≠ ba yx, 0=++ CByAx 3 4 2 0 2 2 2 0 x y x y + − =  + + = ),( 00 yxP 0: =++ CByAxl 22 00 BA CByAxd + ++= 1l 2l 1l 01 =++ CByAx 2l 02 =++ CByAx 1l 2l 22 21 BA CCd + −= 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 0 0( , )M x y 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 2 2 0 0( ) ( )x a y b− + − 2r 2 2 0 0( ) ( )x a y b− + − 2r 2 2 0 0( ) ( )x a y b− + − 2r 022 =++++ FEyDxyx 第 22 页 2、圆的一般方程的特点： (1)①x2 和 y2 的系数相同，不等于 0． ②没有 xy 这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定 了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指 出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 设直线 ： ，圆 ： ，圆的半径为 ，圆心 到直 线的距离为 ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当 时，直线 与圆 相离；（2）当 时，直线 与圆 相切； （3）当 时，直线 与圆 相交； 4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系． 设两圆的连心线长为 ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当 时，圆 与圆 相离；（2）当 时，圆 与圆 外切； （3）当 时，圆 与圆 相交； （4）当 时，圆 与圆 内切；（5）当 时，圆 与圆 内含； 4.2.3 直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为 代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 4.3.1 空间直角坐标系 1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ， 、 、 分别是 P、Q、R 在 、 、 轴上的坐标 2、有序实数组 ，对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 来表示，该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中 l 0=++ cbyax C 022 =++++ FEyDxyx r )2,2( ED −− d rd > l C rd = l C rd < l C l 21 rrl +> 1C 2C 21 rrl += 1C 2C ≥ +← ×← ← ← 或者UntilLoop D I S SintPr 99I ISS 2II o 1 1 ≥ ×← +← ← ← UntilLoop D I S 满足条件？ 循环体 是 否 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 第 28 页   颜老师友情提醒： 1. 一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既 写出算法画出流程还要写出伪代码。 2. 在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在 草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪 代码。 3. 书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本， 可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以 课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！ 1.3.1 辗转相除法与更相减损术 1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： （1）：用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 和一个余数 ；（2）：若 ＝0，则 n 为 m，n 的最 大公约数；若 ≠0，则用除数 n 除以余数 得到一个商 和一个余数 ；（3）：若 ＝0，则 为 m，n 的最大公约数；若 ≠0，则用除数 除以余数 得到一个商 和一个余数 ；…… 依次 计算直至 ＝0，此时所得到的 即为所求的最大公约数。 2、更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数 的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 翻译为：（1）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。 （2）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作， 直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 分析：（略） 3、辗转相除法与更相减损术的区别： （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗 转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到，而更相减损术则以减数与差 相等而得到 1.3.2 秦九韶算法与排序 SintPr 2II ISS )100I(99I Whileo 1 1 Loop D I S +← ×← Α 2π ωΤ = 1 2f ω π= =Τ xω ϕ+ ϕ ( )siny xω ϕ= Α + + Β 1x x= miny 2x x= maxy ( )max min 1 2 y yΑ = − ( )max min 1 2 y yΒ = + ( )2 1 1 22 x x x x Τ = − < siny x= cosy x= tany x= R R ,2x x k k ππ ≠ + ∈Ζ    ,2x x k k ππ ≠ + ∈Ζ    [ ]1,1− [ ]1,1− R R 2 2x k ππ= + ( )k ∈Ζ max 1y = ( )2x k kπ= ∈Ζ max 1y = 2x kπ π= + ( )k ∈Ζ min 1y = − 函 数性 质 第 36 页 时 ， ． 周期 性 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调 性 在 上是增函数； 在 上 是 减 函 数． 在 上 是 增 函 数 ； 在 上是减函数． 在 上是增函数． 对称 性 对 称 中 心 对 称 轴 对 称 中 心 对称轴 对 称 中 心 无对称轴 对 称 中 心 无对称轴 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为 的向量． 单位向量：长度等于 个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶ 三 角 形 不 等 式 ： ． ⑷运算性质：①交换律： ； 2 2x k ππ= − ( )k ∈Ζ min 1y = − 2π 2π π π 2 ,22 2k k π ππ π − +   ( )k ∈Ζ 32 ,22 2k k π ππ π + +   ( )k ∈Ζ [ ]( )2 ,2k k kπ π π− ∈Ζ [ ]2 ,2k kπ π π+ ( )k ∈Ζ ,2 2k k π ππ π − +   ( )k ∈Ζ ( )( ),0k kπ ∈Ζ ( ) 2x k k ππ= + ∈Ζ ( ),02k k ππ + ∈Ζ   ( )x k kπ= ∈Ζ ( ),02 k k π  ∈Ζ   ( ),02 k k π  ∈Ζ   0 1 a b a b a b− ≤ + ≤ +     a b b a+ = +   b a C Β Α a b C C− = Α − ΑΒ = Β   第 37 页 ②结合律： ；③ ． ⑸坐标运算：设 ， ，则 ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设 ， ，则 ． 设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 ． 19、向量数乘运算： ⑴实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 ． ① ； ②当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， ． ⑵运算律：① ；② ；③ ． ⑶坐标运算：设 ，则 ． 20、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ． 设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、 共线． 21、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 ．（不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量的一 组基底） 22 、 分 点 坐 标 公 式 ： 设 点 是 线 段 上 的 一 点 ， 、 的 坐 标 分 别 是 ， ， 当 时，点 的坐标是 ．（当 23、平面向量的数量积： ⑴ ．零向量与任一向量的数量积为 ． ⑵性质：设 和 都是非零向量，则① ．②当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 或 ．③ ． ⑶运算律：① ；② ；③ ． ⑷坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 ． 若 ， 则 ， 或 ． 设 ， ， 则 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +     0 0a a a+ = + =    ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= ( )1 2 1 2,a b x x y y+ = + + ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= ( )1 2 1 2,a b x x y y− = − − Α Β ( )1 1,x y ( )2 2,x y ( )1 2 1 2,x x y yΑΒ = − − λ a aλ  a aλ λ=  0λ > aλ  a 0λ < aλ  a 0λ = 0aλ =  ( ) ( )a aλ µ λµ=  ( )a a aλ µ λ µ+ = +   ( )a b a bλ λ λ+ = +   ( ),a x y= ( ) ( ), ,a x y x yλ λ λ λ= = ( )0a a ≠   b λ b aλ=  ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= 0b ≠  1 2 2 1 0x y x y− = a ( )0b b ≠   1e 2e a 1 λ 2 λ 1 1 2 2a e eλ λ= +  1e 2e Ρ 1 2 Ρ Ρ 1 Ρ 2 Ρ ( )1 1,x y ( )2 2,x y 1 2 λΡ Ρ = ΡΡ  Ρ 1 2 1 2,1 1 x x y yλ λ λ λ + +   + +  时，就为中点公式。）1=λ ( )cos 0, 0,0 180a b a b a bθ θ⋅ = ≠ ≠ ≤ ≤       0 a b 0a b a b⊥ ⇔ ⋅ =   a b a b a b⋅ =   a b a b a b⋅ = −   22a a a a⋅ = =    a a a= ⋅   a b a b⋅ ≤   a b b a⋅ = ⋅   ( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅     ( )a b c a c b c+ ⋅ = ⋅ + ⋅      ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= 1 2 1 2a b x x y y⋅ = + ( ),a x y= 2 2 2a x y= + 2 2a x y= + ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= 第 38 页 ． 设 、 都 是 非 零 向 量 ， ， ， 是 与 的 夹 角 ， 则 ． 知识链接：空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进 行总结归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：   若 A、B 是直线 上的任意两点，则 为直线 的一个方向向量；与 平行的任意非零向量也是直 线 的方向向量. ⑵．平面的法向量：   若向量 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 ，如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面 的法向量为 ． ③求出平面内两个不共线向量的坐标 ． ④根据法向量定义建立方程组 . ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面 的法向量. （如图） 1、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行 设直线 的方向向量分别是 ，则要证明 ∥ ，只需证明 ∥ ，即 .  即：两直线平行或重合 两直线的方向向量共线。 ⑵线面平行 ①（法一）设直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则要证明 ∥ ，只需证明 ，即 . 1 2 1 2 0a b x x y y⊥ ⇔ + = a b ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= θ a b 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y ya b a b x y x y θ +⋅= = + +   l AB l AB l n α α n α⊥ n α⊥ n α α ( , , )n x y z= 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )a a a a b b b b= =  0 0 n a n b  ⋅ = ⋅ =     α 1 2,l l a b 、 1l 2l a b ( )a kb k R= ∈  l a α u l α a u⊥  0a u⋅ =  第 39 页 即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 ②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线 向量即可. ⑶面面平行 若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，要证 ∥ ，只需证 ∥ ，即证 . 即：两平面平行或重合 两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线 的方向向量分别是 ，则要证明 ，只需证明 ，即 . 即：两直线垂直 两直线的方向向量垂直。 ⑵线面垂直 ①（法一）设直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则要证明 ，只需证明 ∥ ，即 . ②（法二）设直线 的方向向量是 ，平面 内的两个相交向量分别为 ，若 即：直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线 直线的方向向量都垂直。 ⑶面面垂直 若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，要证 ，只需证 ，即证 . 即：两平面垂直 两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知 为两异面直线，A，C 与 B，D 分别是 上的任意两点， 所成的角为 ，   则 ⑵求直线和平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 ②求法：设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的夹角为 ， 则 为 的余角或 的补角 的余角.即有： ⑶求二面角 ①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面 二 面 角 的 平 面 角 是 指 在 二 面 角 的 棱 上 任 取 一 点 O ， 分 别 在 两 个 半 平 面 内 作 射 线 ，则 为二面角 的平面角. α u β v α β u v u vλ=  1 2,l l a b 、 1 2l l⊥ a b⊥  0a b⋅ =  l a α u l α⊥ a u a uλ=  l a α m n 、 0, . 0 a m l a n α  ⋅ = ⊥ ⋅ =     则 α u β v α β⊥ u v⊥  0u v⋅ =  ,a b ,a b ,a b θ cos . AC BD AC BD θ ⋅ =     l a α u θ a u ϕ θ ϕ ϕ coss .in a u a u ϕθ ⋅ ==    βα −− l lBOlAO ⊥⊥ , AOB∠ βα −− l 第 40 页 如图： ②求法：设二面角 的两个半平面的法向量分别为 ，再设 的夹角为 ，二面角 的平面角为 ，则二面角 为 的夹角 或其补角 根据具体图形确定 是锐角或是钝角： ◆如果 是锐角，则 ， 即 ； ◆ 如果 是钝角，则 ， 即 . 5、利用法向量求空间距离 ⑴点 Q 到直线 距离 若 Q 为直线 外的一点, 在直线 上， 为直线 的方向向量， = ，则点 Q 到直线 距离为 ⑵点 A 到平面 的距离 若点 P 为平面 外一点，点 M 为平面 内任一点， 平面 的法向量为 ，则 P 到平面 的距离就等于 在法向量 方向上的投影的绝对值. 即 ⑶直线 与平面 之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化 为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 即 O A B O A B l lα β− − m n 、 m n 、 ϕ lα β− − θ θ m n 、 ϕ .π ϕ− θ θ cos cos m n m n θ ϕ ⋅ = =     arccos m n m n θ ⋅ =     θ cos cos m n m n θ ϕ ⋅ = − = −     arccos m n m n θ  ⋅ = −       l l P l a l b PQ l 2 21 (| || |) ( )| |h a b a ba = − ⋅   α α α α n α MP n cos ,d MP n MP=   n MP MP n MP ⋅ = ⋅      n MP n ⋅ =    a α . n MP d n ⋅ =    第 41 页 ⑷两平行平面 之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。 即 ⑸异面直线间的距离 设向量 与两异面直线 都垂直， 则两异面直线 间的距离 就是 在向量 方向 上投影的绝对值。 即 6、三垂线定理及其逆定理 ⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 直 推理模式： 概括为：垂直于射影就垂直于斜线. ⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的 射影垂直 推理模式： 概括为：垂直于斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理 设 AC 是平面 内的任一条直线，AD 是 的一条斜线 AB 在 内的射影，且 BD⊥AD，垂足为 D.设 AB 与 (AD)所成的角为 ， AD 与 AC 所成的角为 ， AB 与 AC 所成的角为 ．则 . 8、 面积射影定理 a P α O A ,α β . n MP d n ⋅ =    n ,a b , ,M a P b∈ ∈ ,a b d MP n . n MP d n ⋅ =    , , PO O PA A a PA a a OA α α α α ⊥ ∈  = ⇒ ⊥ ⊂ ⊥   , , PO O PA A a AO a a AP α α α α ⊥ ∈  = ⇒ ⊥ ⊂ ⊥   α α α α 1 θ 2 θ θ 1 2cos cos cosθ θ θ= 第 42 页 已知平面 内一个多边形的面积为 ，它在平面 内的射影图形的面积为 ，平面 与 平面 所成的二面角的大小为锐二面角 ，则 9、一个结论 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 ，夹角分别为 ,则有 . （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴ ；⑵ ； ⑶ ；⑷ ； ⑸ （ ）； ⑹ （ ）． 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴ ． ⑵ 升幂公式 降幂公式 ， ． 26、 ． 27、 （后两个不用判断符号，更加好用） 28、合一变形 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 β ( )S S原 α ( )S S′ 射 α β θ ' cos = .SS S S θ = 射 原 l 1 2 3l l l、 、 1 2 3 θ θ θ、 、 2 2 2 2 1 2 3l l l l= + + 2 2 2 1 2 3cos cos cos 1θ θ θ⇔ + + = 2 2 2 1 2 3sin sin sin 2θ θ θ⇔ + + = ( )cos cos cos sin sinα β α β α β− = + ( )cos cos cos sin sinα β α β α β+ = − ( )sin sin cos cos sinα β α β α β− = − ( )sin sin cos cos sinα β α β α β+ = + ( ) tan tantan 1 tan tan α βα β α β −− = + ⇒ ( )( )tan tan tan 1 tan tanα β α β α β− = − + ( ) tan tantan 1 tan tan α βα β α β ++ = − ⇒ ( )( )tan tan tan 1 tan tanα β α β α β+ = + − sin 2 2sin cosα α α= 222 )cos(sincossin2cossin2sin1 ααααααα ±=±+=±⇒ 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = − ⇒ 2sin2cos1,2cos2cos1 22 αααα =−=+ ⇒ 2 cos2 1cos 2 αα += 2 1 cos2sin 2 αα −= 2 2tantan 2 1 tan αα α= − ⇒ ⇒ BxAy ++= )sin( ϕϖ α α α α α αα αααα 半角公式 sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2tan 2 cos1 2sin;2 cos1 2cos : −=+=+ −±= −±=+±= 2tan1 2tan1 cos; 2tan1 2tan2 sin : 2 2 2 α α αα α α 万能公式 + − = + = 第 43 页 形式。 ，其中 ． 29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角 公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和 差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的 变形如： ① 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； ② ；问： ； ； ③ ；④ ； ⑤ ；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通 常化切为弦，变异名为同名。 （3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的 代换变形有： （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常 用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式 常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ； （5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如： ； ； ； ； ； ； ； ； ； = ； = ；（其中 ；） ； ； （6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊 值与特殊角的三角函数互化。 ( )2 2sin cos sinα α α ϕΑ + Β = Α + Β + tanϕ Β= Α α2 α α4 α2 α 2 α 2 α 4 α 2 304560304515 o ooooo =−=−= = 12sin π = 12cos π ββαα −+= )( )4(24 αππαπ −−=+ )4()4()()(2 απαπβαβαα −−+=−++= oo 45tan90sincottancossin1 22 ===+= αααα αcos1+ _______________tan1 tan1 =− + α α ______________tan1 tan1 =+ − α α ____________tantan =+ βα ___________tantan1 =− βα ____________tantan =− βα ___________tantan1 =+ βα =αtan2 =− α2tan1 =++ oooo 40tan20tan340tan20tan =+ αα cossin =+ αα cossin ba =ϕtan =+ αcos1 =− αcos1 第 44 页 如： ； 。 高中数学 必修 5 知识点 第一章 解三角形 （一）解三角形： 1、正弦定理：在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边，，则有 ( 为 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式：① ， ， ； ② ， ， ；③ ； 3、三角形面积公式： ． 4、余弦定理：在 中，有 ，推论： 第二章 数列 1、数列中 与 之间的关系： 注意通项能否合并。 2、等差数列： ⑴定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即 － =d ，（n≥2， n∈N ）， 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项：若三数 成等差数列 ⑶通项公式： 或 ⑷前 项和公式： ⑸常用性质： ①若 ，则 ； ②下标为等差数列的项 ，仍组成等差数列； ③数列 （ 为常数）仍为等差数列； ④若 、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数)、 、，…也 成等差数列。 ⑤单调性： 的公差为 ，则： =+ )10tan31(50sin oo =− αα cottan C∆ΑΒ a b c Α Β C 2sin sin sin a b c RC = = =Α Β R C∆ΑΒ 2 sina R= Α 2 sinb R= Β 2 sinc R C= sin 2 a R Α = sin 2 b R Β = sin 2 cC R = : : sin :sin :sina b c C= Α Β 1 1 1sin sin sin2 2 2CS bc ab C ac∆ΑΒ = Α = = Β C∆ΑΒ 2 2 2 2 cosa b c bc= + − Α 2 2 2 cos 2 b c a bc + −Α = na nS 1 1 , ( 1) ,( 2).n n n S na S S n− ==  − ≥ na 1−na + a A b、 、 2 a bA +⇔ = 1 ( 1) ( )n ma a n d a n m d= + − = + − (na pn q p q= + 、 是常数）. n ( ) ( )1 1 1 2 2 n n n n n a aS na d − += + = ( )+∈ +=+ Nqpnmqpnm ,,, qpnm aaaa +=+ ( ),,, 2mkmkk aaa ++ { }ban +λ b,λ { }na { }nb { }nka { }n nka pb+ k p *{ }( , )p nqa p q N+ ∈ { }na d 第 45 页 ⅰ） 为递增数列； ⅱ） 为递减数列； ⅲ） 为常数列； ⑥数列{ }为等差数列 （p,q 是常数） ⑦若等差数列 的前 项和 ，则 、 、 … 是等差数列。 3、等比数列 ⑴定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列。 ⑵等比中项：若三数 成等比数列 （ 同号）。反之不一定成立。 ⑶通项公式： ⑷前 项和公式： ⑸常用性质 ①若 ，则 ； ② 为等比数列，公比为 (下标成等差数列,则对应的项成等比数列) ③数列 （ 为不等于零的常数）仍是公比为 的等比数列；正项等比数列 ；则 是公差 为 的等差数列； ④若 是等比数列，则 是等比数列，公比依次是 ⑤单调性： 为递增数列； 为递减数列； 为常数列； 为摆动数列； ⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列 的前 项和 ，则 、 、 … 是等比数列. 4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律， 从而根据规律写出此数列的一个通项。 类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式 构造两式作差求解。 n nS kS kk SS −2 kk SS 23 − n nS kS kk SS −2 kk SS 23 − n nS ⇔> 0d { }na ⇔< 0d { }na ⇔= 0d { }na na na pn q⇔ = + { }na a b、G、 2 ,G ab⇒ = ab 1 1 n n m n ma a q a q− −= = n ( )1 11 1 1 n n n a q a a qS q q − −= =− − ( )+∈ +=+ Nqpnmqpnm ,,, m n p qa a a a⋅ = ⋅ ,,, 2mkmkk aaa ++ kq { }naλ λ q { }na { }lg na lg q { }na { } { }2 n nca a， ， 1 na       ， { }( )r na r Z∈ 2 1 .rq q qq ， ， ， 1 10, 1 0,0 1a q a q> > < < < < < > ⇒或 { }1 nq a= ⇒ { }0 nq a< ⇒ { }na na { }na na 1 1 , ( 1) ,( 2)n n n S na S S n− ==  − ≥ 第 46 页 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和 合为一个表达，（要先分 和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。 类型Ⅲ 累加法： 形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造： 将上述 个式子两边分别相加，可得： ①若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ③若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和; ④若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和. 类型Ⅳ 累乘法： 形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造： 将上述 个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 类型Ⅴ 构造数列法： ㈠形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式： （1）若 时，数列{ }为等差数列; （2）若 时，数列{ }为等比数列; （3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法 有如下两种： 法一：设 ,展开移项整理得 ,与题设 比较系数 1a na 1n = 2≥n )(1 nfaa nn +=+ )(nf n 1 1 2 2 1 ( 1) ( 2) .. (1 . ) n n n n a a f n a a f n a a f − − − − =  − − = − − =   1−n 1( 1) ( 2) ... (2) (1) ,( 2)na f n f n f f a n= − + − + + + ≥ ( )f n n ( )f n n ( )f n n ( )f n n 1 ( )n na a f n+ = ⋅ 1 ( )n n a f na + =    )(nf n 1 1 2 2 1 ( 1) ( . 2) (1 .. ) n n n n a f na a f na a fa − − − = − = −      =     1−n 1( 1) ( 2) ... (2) (1) ,( 2)na f n f n f f a n= − ⋅ − ⋅ ⋅ ≥ qpaa nn +=+1 ,p q 0p ≠ 1p = na 0q = na 1p ≠ 0≠q na 1 ( )n na p aλ λ+ + = + 1 ( 1)n na pa p λ+ = + − 1n na pa q+ = + 第 47 页 （待定系数法）得 ,即 构成以 为首项，以 为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可得 法二：由 得 两式相减并整理得 即 构成以 为首项，以 为公比的等比数列.求出 的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 ㈡形如 型的递推式： ⑴当 为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整 理可得 法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式相减得： ，令 得： 转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ （累加法）便可求出 ⑵当 为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首 项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可 得 法二：当 的公比为 时，由递推式得： ——①， ，两边 同时乘以 得 ——②，由①②两式相减得 ，即 ，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为 （其中 p，q 均为常数）或 （其中 p，q, r 均为常 数）时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 1,( 0) ( )1 1 1n n q q qp a p ap p p λ += ≠ ⇒ + = +− − − 1( )1 1n n q qa p ap p−⇒ + = +− − 1n qa p  + −  1 1 qa p + − p 1n qa p  + −  .na qpaa nn +=+1 1 ( 2)n na pa q n−= + ≥ 1 1 ,n n n n a a pa a + − − =− { }1n na a+ − 2 1a a− p { }1n na a+ − .na 1 ( )n na pa f n+ = + ( 1)p ≠ ( )f n [ ]1 ( 1)n na An B p a A n B−+ + = + − + A B、 1a A B+ + p { }na An B+ + { }na An B+ + .na ( )f n d 1 ( )n na pa f n+ = + 1 ( 1)n na pa f n−= + − 1 1( )n n n na a p a a d+ −− = − + 1n n nb a a+= − 1n nb pb d−= + nb .na ( )f n [ ]1( ) ( 1)n na f n p a f nλ λ−+ = + − λ 1 (1)a fλ+ p { }( )na f nλ+ { }( )na f nλ+ .na ( )f n q 1 ( )n na pa f n+ = + 1 ( 1)n na pa f n−= + − q 1 ( 1)n na q pqa qf n−= + − 1 1( )n n n na a q p a qa+ −− = − 1 1 n n n n a qa pa qa + − − =− .na n nn qpaa +=+1 1 n n na pa rq+ = + 1+nq qq a q p q a n n n n 1 1 1 +•=+ + { }nb 第 48 页 ），得： 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。 ⑶当 为任意数列时，可用通法： 在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则 ， 在转化为类型Ⅲ（累加法），求出 之后得 . 类型Ⅵ 对数变换法： 形如 型的递推式： 在原递推式 两边取对数得 ，令 得： ，化归 为 型，求出 之后得 （注意：底数不一定要取 10，可根据题意选择）。 类型Ⅶ 倒数变换法： 形如 （ 为常数且 ）的递推式：两边同除于 ，转化为 形式， 化归为 型求出 的表达式，再求 ； 还有形如 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 形式，化归为 型求出 的表达式，再求 . 类型Ⅷ 形如 型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解。方法为：设 ，比 较系数得 ，可解得 ，于是 是公比为 的等比数列，这样就化归为 型。 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列， 可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 5、非等差、等比数列前 项和公式的求法 ⑴错位相减法 ①若数列 为等差数列，数列 为等比数列，则数列 的求和就要采用此法. ②将数列 的每一项分别乘以 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列 的前 项 和. n n n q ab = qbq pb nn 1 1 +=+ ( )f n 1 ( )n na pa f n+ = + 1np + 1 1 1 ( )n n n n n a a f n p p p + + += + n nn a bp = 1 1 ( ) n n n f nb b p+ += + nb n n na p b= 1 ( 0, 0)q n na pa p a+ = > > 1 q na pa+ = 1lg lg lgn na q a p+ = + lgn nb a= 1 lgn nb qb p+ = + qpaa nn +=+1 nb 10 .nb na = 1 1n n n na a pa a− −− = p 0p ≠ 1n na a− 1 1 1 n n pa a − = + qpaa nn +=+1 1 na na 1 n n n maa pa q+ = + 1 1 1 n n m m a q a p+ = + qpaa nn +=+1 1 na na nnn qapaa += ++ 12 }{ 1−− nn aa )( 112 nnnn kaahkaa −=− +++ qhkpkh =−=+ , h k、 1{ }n na ka+ − h qpaa nn +=+1 .na n { }na { }nb { }n na b⋅ { }n na b⋅ { }nb { }n na b⋅ n 第 49 页 此法是在推导等比数列的前 项和公式时所用的方法. ⑵裂项相消法 一般地，当数列的通项 时，往往可将 变成两项的差， 采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项： 设 ，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得 ，从而可 得 常见的拆项公式有： ① ② ③ ④ ⑤ ⑶分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. ⑷倒序相加法 如果一个数列 ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和 式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征： ⑸记住常见数列的前 项和： ① ② ③ 第三章 不等式 §3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 n 1 2( )( )n ca an b an b = + + 1 2( , , ,a b b c为常数） na 1 2 na an b an b λ λ= −+ + 2 1 c b b λ = − 1 2 2 1 1 2 1 1= ( ).( )( ) ( ) c c an b an b b b an b an b −+ + − + + 1 1 1 ( 1) 1n n n n = −+ + ； 1 1 1 1( );(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n n = −− + − + 1 1 ( );a ba ba b = −−+ 1 1 ;m m m n n nC C C− += − ! ( 1)! !.n n n n⋅ = + − { }na 1 2 1 ...n na a a a −+ = + = n ( 1)1 2 3 ... ;2 n nn ++ + + + = 21 3 5 ... (2 1) ;n n+ + + + − = 2 2 2 2 11 2 3 ... ( 1)(2 1).6n n n n+ + + + = + + 第 50 页 ①（对称性） ②（传递性） ③（可加性） （同向可加性） （异向可减性） ④（可积性） ⑤（同向正数可乘性） （异向正数可除性） ⑥（平方法则） ⑦（开方法则） ⑧（倒数法则） 2、几个重要不等式 ① ,（当且仅当 时取 号）. 变形公式： ②（基本不等式） ,（当且仅当 时取到等号）. 变形公式： 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） （当且仅当 时取到 等号）. ④ （当且仅当 时取到等号）. ⑤ （当且仅当 时取到等号）. ⑥ （当仅当 a=b 时取等号） （当仅当 a=b 时取等号） ⑦ 其中 规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小. ⑧ a b b a> ⇔ > ,a b b c a c> > ⇒ > a b a c b c> ⇔ + > + dbcadcba +>+⇒>> , dbcadcba −>−⇒ , bcaccba >⇒>> 0, bcaccba > > > ⇒ > 0,0 a ba b c d c d > > < < ⇒ > 0 ( , 1)n na b a b n N n> > ⇒ > ∈ >且 0 ( , 1)n na b a b n N n> > ⇒ > ∈ >且 babababa 110;110 >⇒ > > a b c= = 0, 2b aab a b > + ≥若 则 0, 2b aab a b < + ≤ −若 则 b a nb na ma mb a b >， ， 2 20 ;a x a x a x a x a> > ⇔ > ⇔ < − >当 时， 或 第 51 页 ⑨绝对值三角不等式 3、几个著名不等式 ①平均不等式： ,（当且仅当 时取 号）. （即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均）. 变形公式： ②幂平均不等式： ③二维形式的三角不等式： ④二维形式的柯西不等式： 当且仅当 时，等号 成立. ⑤三维形式的柯西不等式： ⑥一般形式的柯西不等式： ⑦向量形式的柯西不等式： 设 是两个向量，则 当且仅当 是零向量，或存在实数 ，使 时，等号成 立. ⑧排序不等式（排序原理）：设 为两组实数. 是 的 任一排列，则 （反序和 乱序和 顺序和） 当且仅当 或 时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数 ,对于定义域中任意两点 有 2 2 .x a x a a x a< ⇔ < ⇔ − < < .a b a b a b− ≤ ± ≤ + 2 2 1 1 2 2 2 a b a baba b− − + +≤ ≤ ≤+ ( )a b R+∈， a b= " "= ≤ ≤ ≤ 2 2 2 ;2 2 a b a bab + + ≤ ≤   2 2 2 ( ) .2 a ba b ++ ≥ 2 2 2 2 1 2 1 2 1... ( ... ) .n na a a a a an + + + ≥ + + + 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x y x y x x y y+ + + ≥ − + − 1 1 2 2( , , , ).x y x y R∈ 2 2 2 2 2( )( ) ( ) ( , , , ).a b c d ac bd a b c d R+ + ≥ + ∈ ad bc= 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( )( ) ( ) .a a a b b b a b a b a b+ + + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2( ... )( ... )n na a a b b b+ + + + + + 2 1 1 2 2( ... ) .n na b a b a b≥ + + + ,α β  ,α β α β⋅ ≤    β k kα β=  1 2 1 2... , ...n na a a b b b≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 1 2, ,..., nc c c 1 2, ,..., nb b b 1 2 1 1 1 1 2 2... ...n n n n na b a b a b a c a c a c−+ + + ≤ + + + 1 1 2 2 ... .n na b a b a b≤ + + + ≤ ≤ 1 2 ... na a a= = = 1 2 ... nb b b= = = ( )f x 1 2 1 2, ( ),x x x x≠ 第 52 页 则称 f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如 ②将分子或分母放大（缩小），如 等. 5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式 的解集. 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 （ 时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴ ⑵ 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .2 2 2 2 x x f x f x x x f x f xf f + + + +≤ ≥或 2 21 3 1( ) ( ) ;2 4 2a a+ + > + 2 1 1 ,( 1)k k k < − 2 1 1 ,( 1)k k k > + 2 2 1 2( ) , 2 1k k k k k k = = < + + − *1 2 ( , 1) 1 k N k k k k > ∈ > + + 2 0( 0)ax bx c+ + > ( ) 0 ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) 0( ) f x f x g xg x f x g xf x g xg x > ⇔ ⋅ > ⋅ ≥≥ ⇔  ≠ < ≤“ 或 ” 2 ( ) 0( ) ( 0) ( ) f xf x a a f x a ≥> > ⇔  > 2 ( ) 0( ) ( 0) ( ) f xf x a a f x a ≥< > ⇔   ≥> ⇔ ≥   或 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] f x f x g x g x f x g x ≥ < ⇔ >  ⇔ ≥  > 1a > ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ > 0 1a< < ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ < 1a > ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  > 0 1a< < ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 . ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  0a = 0, 0;b c⇒ = > 0a ≠ 0 0. a >⇒ ∆ ( 0)< 0Ax By C+ + > ( 0)< B 0Ax By C+ + > ( 0)< z Ax By= + ( ,A B z Ax By= + x y、 第 55 页 在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应 值，最大的那个数为 目标函数 的最大值，最小的那个数为目标函数 的最小值 法二：画——移——定——求： 第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 ，平移直线 （据可行域， 将直线 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解 ；第四步，将最优解 代入目标函数 即可求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法： 利用 的几何意义： , 为直线的纵截距. ①若 则使目标函数 所表示直线的纵截距最大的角点处， 取得最大值，使直线的 纵截距最小的角点处， 取得最小值； ②若 则使目标函数 所表示直线的纵截距最大的角点处， 取得最小值，使直线的 纵截距最小的角点处， 取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型： ①“截距”型： ②“斜率”型： 或 ③“距离”型： 或 或 在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化. 数学选修 2－1 第一章：命题与逻辑结构 知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若 ，则 ”形式的命题中的 称为命题的条件， 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题 称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若 ，则 ”，它的逆命题为“若 ，则 ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题. 中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若 ，则 ”，则它的否命题为“若 ，则 ”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否 命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若 ，则 ”，则它的否命题为“若 ， z z z 0 : 0l Ax By+ = 0l 0l ( , )x y ( , )x y z Ax By= + z A zy xB B = − + z B 0,B > z Ax By= + z z 0,B < z Ax By= + z z ;z Ax By= + yz x = ;y bz x a −= − 2 2z x y= + 2 2 ;z x y= + 2 2( ) ( )z x a y b= − + − 2 2( ) ( ) .z x a y b= − + − p q p q p q q p p q p¬ q¬ p q q¬ 第 56 页 则 ”。 6、四种命题的真假性： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系： 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件． 若 ，则 是 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题 和命题 联结起来，得到一个新命题，记作 ． 当 、 都是真命题时， 是真命题；当 、 两个命题中有一个命题是假命题时， 是假命题． 用联结词“或”把命题 和命题 联结起来，得到一个新命题，记作 ． 当 、 两个命题中有一个命题是真命题时， 是真命题；当 、 两个命题都是假命题时， 是假命 题． 对一个命题 全盘否定，得到一个新命题，记作 ．若 是真命题，则 必是假命题；若 是假命题，则 必 是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对 中任意一个 ，有 成立”，记作“ ， ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“ ”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在 中的一个 ，使 成立”，记作“ ， ”． 10、全称命题 ： ， ，它的否定 ： ， 。全称命题的否定是特称命题。 特称命题 ： ， ，它的否定 ： ， 。特称命题的否定是全称命题。 第二章：圆锥曲线 知识点： 1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 ①建立适当的直角坐标系； ②设动点 及其他的点； ③找出满足限制条件的等式； ④将点的坐标代入等式； ⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。 2、平面内与两个定点 ， 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两 焦点的距离称为椭圆的焦距。 3、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 p¬ ( )1 ( )2 p q⇒ p q q p p q⇔ p q p q p q∧ p q p q∧ p q p q∧ p q p q∨ p q p q∨ p q p q∨ p p¬ p p¬ p p¬ ∀ Μ x ( )p x x∀ ∈Μ ( )p x ∃ Μ x ( )p x x∃ ∈ Μ ( )p x p x∀ ∈Μ ( )p x p¬ x∃ ∈Μ ( )p x¬ p x∃ ∈Μ ( )p x p¬ x∀ ∈Μ ( )p x¬ ( ),M x y 1F 2F 1 2F F ( )1 2 2 2 2MF MF a a c+ = > x y 第 57 页 图形 标准方程 第一定义 到两定点 的距离之和等于常数 2 ，即 （ ） 第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 ，即 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴的长 短轴的长 对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 焦半径 左焦半径： 右焦半径： 下焦半径： 上焦半径： 焦点三角形面积 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： （焦点）弦长公式 ， 4、设 是椭圆上任一点，点 到 对应准线的距离为 ，点 到 对应准线的距离为 ，则 。 5、平面内与两个定点 ， 的距离之差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双 曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。 ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )2 2 2 2 1 0y x a ba b + = > > 21F F、 a 21| | | | 2MF MF a+ = 212 | |a F F> e (0 1)MF e ed = < < a x a− ≤ ≤ b y b− ≤ ≤ b x b− ≤ ≤ a y a− ≤ ≤ ( )1 ,0aΑ − ( )2 ,0aΑ ( )1 0, bΒ − ( )2 0,bΒ ( )1 0, aΑ − ( )2 0,aΑ ( )1 ,0bΒ − ( )2 ,0bΒ 2a= 2b= x y ( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c ( )1 0,F c− ( )2 0,F c 2 2 2 1 2 2 ( )F F c c a b= = − 2 2 2 2 2 2 21 (0 1)c c a b be ea a a a −= = = = − < < 2ax c = ± 2ay c = ± 0, 0( )M x y 1 0MF a ex= + 2 0MF a ex= − 1 0MF a ey= + 2 0MF a ey= − 1 2 2 1 2tan ( )2MF FS b F MF θ θ∆ = = ∠ 2bHH a ′ = 1, 1 2, 2( ), ( )A x y B x y 2 2 2 1 2 1 2 1 21 1 ( ) 4AB k x x k x x x x= + − = + − − Μ Μ 1F 1d Μ 2F 2d 1 2 1 2 F F ed d Μ Μ= = 1F 2F 1 2F F ( )1 2 2 2 2MF MF a a c− = > ( )2 2 2 2 1 0, 0y x a ba b − = > > 21F F、 2a 21| | | | 2MF MF a− = 210 2 | |a F F< < e ( 1)MF e ed = > x a≤ − x a≥ y R∈ y a≤ − y a≥ x R∈ ( )1 ,0aΑ − ( )2 ,0aΑ ( )1 0, aΑ − ( )2 0,aΑ 2a= 2b= x y ( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c ( )1 0,F c− ( )2 0,F c 2 2 2 1 2 2 ( )F F c c a b= = + 2 2 2 2 2 2 21 ( 1)c c a b be ea a a a += = = = + > 2ax c = ± 2ay c = ± by xa = ± ay xb = ± 0, 0( )M x y M 1 0 2 0 MF ex a MF ex a  = + = − 左焦： 右焦： M 1 0 2 0 MF ex a MF ex a  = − − = − + 左焦： 右焦： M 1 0 2 0 MF ey a MF ey a  = + = − 左焦： 右焦： M 1 0 2 0 MF ey a MF ey a  = − − = − + 左焦： 右焦： 1 2 2 1 2cot ( )2MF FS b F MF θ θ∆ = = ∠ 2bHH a ′ = 第 59 页 7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 8、设 是双曲线上任一点，点 到 对应准线的距离为 ，点 到 对应准线的距离为 ，则 。 9、平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点 称为抛物线的焦点，定直线 称为 抛物线的准线． 10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 、 两点的线段 ，称为抛物线的“通径”，即 ． 11、焦半径公式： 若点 在抛物线 上，焦点为 ，则 ；、 若点 在抛物线 上，焦点为 ，则 ； 若点 在抛物线 上，焦点为 ，则 ； 若点 在抛物线 上，焦点为 ，则 ． 12、抛物线的几何性质： 图形 标准方程 定义 与一定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 不在定直线 上) 顶点 离心率 对称轴 轴 轴 范围 焦点 准线方程 焦半径 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： Μ Μ 1F 1d Μ 2F 2d 1 2 1 2 F F ed d Μ Μ= = F l F l Α Β ΑΒ 2pΑΒ = ( )0 0,x yΡ ( )2 2 0y px p= > F 0 2 pF xΡ = + ( )0 0,x yΡ ( )2 2 0y px p= − > F 0 2 pF xΡ = − + ( )0 0,x yΡ ( )2 2 0x py p= > F 0 2 pF yΡ = + ( )0 0,x yΡ ( )2 2 0x py p= − > F 0 2 pF yΡ = − + 2 2y px= ( )0p > 2 2y px= − ( )0p > 2 2x py= ( )0p > 2 2x py= − ( )0p > F l F l ( )0,0 1e = x y 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ , 02 pF      , 02 pF  −   0, 2 pF      0, 2 pF  −   2 px = − 2 px = 2 py = − 2 py = 0, 0( )M x y 0 2 pMF x= + 0 2 pMF x= − + 0 2 pMF y= + 0 2 pMF y= − + 2HH p′ = 第 60 页 关于抛物线焦点弦的几个结论： 设 为过抛物线 焦点的弦， ，直线 的倾斜角为 ， 则 ⑴ ⑵ ⑶ 以 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点 对 在准线上射影的张角为 ⑸ 第三章： 空间向量知识点： 1、空间向量的概念： （1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量． （2）向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． （3）向量 的大小称为向量的模（或长度），记作 ． （4）模（或长度）为 的向量称为零向量；模为 的向量称为单位向量． （5）与向量 长度相等且方向相反的向量称为 的相反向量，记作 ． （6）方向相同且模相等的向量称为相等向量． 2、空间向量的加法和减法： （1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点 为起点的两个已知向量 、 为邻边作平行四边形 ，则以 起点的对角线 就是 与 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． （2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点 ，作 ， ，则 ． 3、实数 与空间向量 的乘积 是一个向量，称为向量的数乘运算．当 时， 与 方向 相同；当 时， 与 方向相反；当 时， 为零向量，记为 ． 的长度是 的长度的 倍． 4、设 ， 为实数， ， 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律． 分配律： ；结合律： ． 5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量 都共线． 焦点弦长 公式 参数 的几 何意义 参数 表示焦点到准线的距离， 越大，开口越阔 AB 2 2 ( 0)y px p= > 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 AB θ 2 2 1 2 1 2, ;4 px x y y p= = − 2 2 ;sin pAB θ= AB F A B、 2 π ； 1 1 2 .| | | |FA FB P + = ΑΒ ΑΒ 0 1 a a a− Ο a b CΟΑ Β Ο CΟ a b Ο aΟΑ =  bΟΒ =  a bΒΑ = −  λ a aλ  0λ > aλ  a 0λ < aλ  a 0λ = aλ  0 aλ  a λ λ µ a b ( )a b a bλ λ λ+ = +   ( ) ( )a aλ µ λµ=  1 2AB x x p= + + p p p 第 61 页 6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量 ， ， 的充要条件是存在实数 ，使 ． 7、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 8、向量共面定理：空间一点 位于平面 内的充要条件是存在有序实数对 ， ，使 ；或对空间任 一定点 ，有 ；或若四点 ， ， ， 共面，则 ． 9、已知两个非零向量 和 ，在空间任取一点 ，作 ， ，则 称为向量 ， 的夹角，记作 ．两个向量夹角的取值范围是： ． 10、对于两个非零向量 和 ，若 ，则向量 ， 互相垂直，记作 ． 11、已知两个非零向量 和 ，则 称为 ， 的数量积，记作 ．即 ．零向量与 任何向量的数量积为 ． 12、 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积． 13 若 ， 为非零向量， 为单位向量，则有 ； ； ， ， ； ； ． 14 量数乘积的运算律： ； ； ． 15 、 空 间 向 量 基 本 定 理 ： 若 三 个 向 量 ， ， 不 共 面 ， 则 对 空 间 任 一 向 量 ， 存 在 实 数 组 ， 使 得 ． 16、三个向量 ， ， 不共面，则所有空间向量组成的集合是 ．这个集合可看作是由向 量 ， ， 生成的， 称为空间的一个基底， ， ， 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空 间的一个基底． 17、设 ， ， 为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以 ， ， 的公共起点 为 原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系 ．则对于空间任意一个向量 ， 一定可以把它平移，使它的起点与原点 重合，得到向量 ．存在有序实数组 ，使得 ．把 ， ， 称作向量 在单位正交基底 ， ， 下的坐标，记作 ．此时，向量 的坐标是点 在空间 直角坐标系 中的坐标 ． 18、设 ， ，则 a ( )0b b ≠  //a b λ a bλ=  Ρ CΑΒ x y x y CΑΡ = ΑΒ + Α   Ο x y CΟΡ = ΟΑ + ΑΒ + Α    Ρ Α Β C ( )1x y z C x y zΟΡ = ΟΑ + ΟΒ + Ο + + =    a b Ο aΟΑ =  bΟΒ =  ∠ΑΟΒ a b ,a b〈 〉 [ ], 0,a b π〈 〉 ∈ a b , 2a b π〈 〉 = a b a b⊥  a b cos ,a b a b〈 〉   a b a b⋅  cos ,a b a b a b⋅ = 〈 〉     0 a b⋅  a a b a cos ,b a b〈 〉  a b e ( )1 cos ,e a a e a a e⋅ = ⋅ = 〈 〉       ( )2 0a b a b⊥ ⇔ ⋅ =   ( )3 ( ) ( ) a b a b a b a b a b ⋅ =  −       与 同向 与 反向 2a a a⋅ =   a a a= ⋅   ( )4 cos , a ba b a b ⋅〈 〉 =   ( )5 a b a b⋅ ≤   ( )1 a b b a⋅ = ⋅   ( )2 ( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅     ( )3 ( )a b c a c b c+ ⋅ = ⋅ + ⋅      a b c p { }, ,x y z p xa yb zc= + +   a b c { }, , ,p p xa yb zc x y z R= + + ∈    a b c { }, ,a b c  a b c 1e 2e 3e Ο 1e 2e 3e Ο 1e 2e 3e x y z xyzΟ p Ο pΟΡ =  { }, ,x y z 1 2 3p xe ye ze= + +   x y z p 1e 2e 3e ( ), ,p x y z= p Ρ xyzΟ ( ), ,x y z ( )1 1 1, ,a x y z= ( )2 2 2, ,b x y z= 第 62 页 （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． （5）若 、 为非零向量，则 ． （6）若 ，则 ． （7） ． （8） ． （9） ， ，则 ． 19、在空间中，取一定点 作为基点，那么空间中任意一点 的位置可以用向量 来表示．向量 称为点 的位置向 量． 20、空间中任意一条直线 的位置可以由 上一个定点 以及一个定方向确定．点 是直线 上一点，向量 表示直线 的方向向量，则对于直线 上的任意一点 ，有 ，这样点 和向量 不仅可以确定直线 的位置，还可以具体表 示出直线 上的任意一点． 21、空间中平面 的位置可以由 内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点 ，它们的方向向量分别为 ， ． 为平面 上任意一点，存在有序实数对 ，使得 ，这样点 与向量 ， 就确定了平面 的 位置． 22、直线 垂直 ，取直线 的方向向量 ，则向量 称为平面 的法向量． 23、若空间不重合两条直线 ， 的方向向量分别为 ， ， 则 ， ． 24、若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ， 则 ， ． 25、若空间不重合的两个平面 ， 的法向量分别为 ， ，则 ， ． 26、设异面直线 ， 的夹角为 ，方向向量为 ， ，其夹角为 ，则有 ． 27 、 设 直 线 的 方 向 向 量 为 ， 平 面 的 法 向 量 为 ， 与 所 成 的 角 为 ， 与 的 夹 角 为 ， 则 有 ． 28、设 ， 是二面角 的两个面 ， 的法向量，则向量 ， 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的 ( )1 2 1 2 1 2, ,a b x x y y z z+ = + + + ( )1 2 1 2 1 2, ,a b x x y y z z− = − − − ( )1 1 1, ,a x y zλ λ λ λ= 1 2 1 2 1 2a b x x y y z z⋅ = + + a b 1 2 1 2 1 20 0a b a b x x y y z z⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + + =   0b ≠  1 2 1 2 1 2// , ,a b a b x x y y z zλ λ λ λ⇔ = ⇔ = = =   2 2 2 1 1 1a a a x y z= ⋅ = + +   1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos , x x y y z za ba b a b x y z x y z + +⋅〈 〉 = = + + ⋅ + +   ( )1 1 1, ,x y zΑ ( )2 2 2, ,x y zΒ = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z zΑΒ = ΑΒ = − + − + − Ο Ρ ΟΡ ΟΡ Ρ l l Α Α l a l l Ρ taΑΡ =  Α a l l α α Ο a b Ρ α ( ),x y xa ybΟΡ = +  Ο a b α l α l a a α a b a b // //a b a b⇔ ⇔ ( )a b Rλ λ= ∈ 0a b a b a b⊥ ⇔ ⊥ ⇔ ⋅ =   a a α n a α⊄ // //a aα α⇔  0a n a n⇔ ⊥ ⇔ ⋅ =    //a a a n a nα α λ⊥ ⇔ ⊥ ⇔ ⇔ =     α β a b // //a bα β ⇔ ⇔ a bλ=  0a b a bα β⊥ ⇔ ⊥ ⇔ ⋅ =   a b θ a b ϕ cos cos a b a b θ ϕ ⋅ = =   l l α n l α θ l n ϕ sin cos l n l n θ ϕ ⋅ = =     1n 2n lα β− − α β 1n 2n 第 63 页 大小．若二面角 的平面角为 ，则 ． 29、点 与点 之间的距离可以转化为两点对应向量 的模 计算． 30 、 在 直 线 上 找 一 点 ， 过 定 点 且 垂 直 于 直 线 的 向 量 为 ， 则 定 点 到 直 线 的 距 离 为 ． 31 、 点 是 平 面 外 一 点 ， 是 平 面 内 的 一 定 点 ， 为 平 面 的 一 个 法 向 量 ， 则 点 到 平 面 的 距 离 为 ． 数学选修 2-2 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数 在 处的瞬时变化率是 ， 我们称它为函数 在 处的导数，记作 或 ，即 = 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 趋近于 时，直线 与曲线相切。容易知道，割线 的斜率是 ， 当 点 趋 近 于 时 ， 函 数 在 处 的 导 数 就 是 切 线 PT 的 斜 率 k ， 即 3. 导函数：当 x 变化时， 便是 x 的一个函数，我们称它为 的导函数. 的导函数有时也记作 ,即 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1 若 (c 为常数)，则 ； 2 若 ,则 ; 3 若 ,则 4 若 ,则 ; 5 若 ,则 6 若 ,则 7 若 ,则 8 若 ,则 导数的运算法则 1. 2. 3. 复 合 函 数 求 导 和 , 称 则 可 以 表 示 成 为 的 函 数 , 即 为 一 个 复 合 函 数 lα β− − θ 1 2 1 2 cos n n n n θ ⋅ =     Α Β ΑΒ ΑΒ l Ρ Α l n Α l cos , n d n n ΡΑ⋅ = ΡΑ 〈ΡΑ 〉 =      Ρ α Α α n α Ρ α cos , n d n n ΡΑ⋅ = ΡΑ 〈ΡΑ 〉 =      ( )y f x= 0x x= 0 0 0 ( ) ( )lim x f x x f x x∆ → + ∆ − ∆ ( )y f x= 0x x= 0( )f x′ 0 |x xy =′ 0( )f x′ 0 0 0 ( ) ( )lim x f x x f x x∆ → + ∆ − ∆ nP P PT nPP 0 0 ( ) ( )n n n f x f xk x x −= − nP P ( )y f x= 0x x= 0 00 0 ( ) ( )lim ( )n x n f x f xk f xx x∆ → − ′= =− ( )f x′ ( )f x ( )y f x= y′ 0 ( ) ( )( ) lim x f x x f xf x x∆ → + ∆ −′ = ∆ ( )f x c= ( ) 0f x′ = ( )f x xα= 1( )f x xαα −′ = ( ) sinf x x= ( ) cosf x x′ = ( ) cosf x x= ( ) sinf x x′ = − ( ) xf x a= ( ) lnxf x a a′ = ( ) xf x e= ( ) xf x e′ = ( ) logx af x = 1( ) lnf x x a ′ = ( ) lnf x x= 1( )f x x ′ = [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x f x g x′ ′ ′± = ± [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x′ ′ ′• = • + • 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ( )] f x f x g x f x g x g x g x ′ ′• − •′ = ( )y f u= ( )u g x= y x ( ( ))y f g x= 第 64 页 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间 内 (1)如果 ，那么函数 在这个区间单调递增；(2)如果 ，那么函数 在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 的极值的方法是:（1）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极大值（2）如果在 附 近的左侧 ,右侧 ,那么 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 求函数 在 上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数 在 内的极值； （2） 将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 推理与证明 考点一 合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊 到一般的过程,它属于合情推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推 理. 类比推理的一般步骤: (1) 找出两类事物的相似性或一致性; (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想); (3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们 在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的. (4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠. 考点二 演绎推理(俗称三段论) 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法 1. 它是一个递推的数学论证方法. 2. 步骤:A.命题在 n=1（或 ）时成立，这是递推的基础；B.假设在 n=k 时命题成立； C.证明 n=k+1 时命题也成立, 完成这两步,就可以断定对任何自然数(或 n>= ,且 )结论都成立。 考点三 证明 1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法: 数系的扩充和复数的概念 复数的概念 (1) 复数:形如 的数叫做复数， 和 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数 中,当 ,就是实数; ,叫做虚数;当 时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 复数的运算 1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设 则 ( ( )) ( )y f g x g x′ ′ ′= • ( , )a b ( ) 0f x′ > ( )y f x= ( ) 0f x′ < ( )y f x= ( )y f x= 0x ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < 0( )f x 0x ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ > 0( )f x ( )y f x= [ , ]a b ( )y f x= ( , )a b ( )y f x= ( )f a ( )f b 0n 0n n N∈ ( , )a bi a R b R+ ∈ ∈ a b ( , )a bi a R b R+ ∈ ∈ 0b = 0b ≠ 0, 0a b= ≠ 1 2, ( , , , )z a bi z c di a b c d R= + = + ∈ 第 65 页 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 2,几个重要的结论 (1) (2) (3)若 为虚数,则 3.运算律 (1) ;(2) ;(3) 4.关于虚数单位 i 的一些固定结论： （1） （2） （3） （2） 数学选修 2－3 第一章 计数原理 知识点： 1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有 N 类办法，在第一类办法中有 M1 种不同的方法，在第二类办法中有 M2 种不 同的方法，……，在第 N 类办法中有 MN 种不同的方法，那么完成这件事情共有 M1+M2+……+MN 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成 N 个步骤，做第一 步有 m1 种不同的方法，做第二步有 M2 不同的方 法，……，做第 N 步有 MN 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方法。 3、排列：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列 4、排列数： 5、组合：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。 6、组合数： 7、二项式定理： 8、二项式通项公式 第二章 随机变量及其分布 1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示，并且 X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样 的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母 ξ、η 等表示。 2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量 X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这 样的随机变量叫做离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,..... ,xi ,......,xn X 取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率 P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量 X 的概率分布，简称分布列 4、分布列性质① pi≥0, i =1，2， …  ； ② p1 + p2 +…+pn= 1． 5、二点分布：如果随机变量 X 的分布列为： ),,()!( !)1()1( Nmnnmmn nmnnnAm ∈≤−=+−−=  )!(! ! ! )1()1( mnm nCm mnnn A AC m nm m m nm n −=+−−==  )!(! ! ! )1()1( mnm nCm mnnn A AC m nm m m nm n −=+−−==  ;mn n m n CC −= m n m n m n CCC 1 1 + − =+ 1 2 ( ) ( )z z a c b d i± = ± + ± 1 2 ( ) ( )z z ac bd ad bc i• = − + + 1 22 2 2 ( ) ( ) ( 0)z ac bd ad bc i zz c d − + += ≠+ 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | | | 2(| | | | )z z z z z z+ + − = + 2 2| | | |z z z z• = = z 2 2| |z z≠ m n m nz z z +• = ( )m n mnz z= 1 2 1 2( ) ( , )n n nz z z z m n R• = • ∈ 2 1i = − 3i i= − 4 1i = 2 3 4 0n n n ni i i i+ + ++ + + = ( )a b C a C a b C a b C a b C bn n n n n n n n r n r r n n n+ = + + + + + +− − −0 1 1 2 2 2 … … 二项展开式的通项公式： ， ……T C a b r nr n r n r r + −= =1 0 1( ) 第 66 页 其中 0、 （ ( , )N µ σ记作： 第 67 页 无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向它无限靠近． ④当 一定时，曲线的形状由 确定． 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示 总体的分布越集中． ⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定. ⑥正态曲线下的总面积等于 1. 17、 3 原则： 从上表看到,正态总体在 以外取值的概率 只有 4.6%,在 以外取值的概率只有 0.3% 由 于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的. 第三章 统计案例 独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2}，其样本频数列联表为：    y1 y2 总计 x1 a b a+b x2 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d  若要推断的论述为 H1：“X 与 Y 有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判 断 的 可 靠 程 度 。 具 体 的 做 法 是 ， 由 表 中 的 数 据 算 出 随 机 变 量 K^2 的 值 （ 即 K 的 平 方 ）     K2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中 n=a+b+c+d 为样本容量，K2 的值越大，说明“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大。 K2≤3.841 时，X 与 Y 无关； K2>3.841 时，X 与 Y 有 95%可能性有关；K2>6.635 时 X 与 Y 有 99%可能性有关 回归分析 回归直线方程 其中 , 高中数学选修 4-1 知识点总结 平行线等分线段定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相 等。 推理 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。 平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比 （或相似系数）。 由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑 6 个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是 否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法： （1）两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似。 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。 判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这 两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 µ σ σ σ σ )2,2( σµσµ +− )3,3( σµσµ +− bxay +=ˆ xSS SP xx yyxx xnx yxnxy b = − −−= − − = ∑ ∑ ∑∑ ∑∑∑ 2 22 )( ))(( )(1 1 xbya −= 第 68 页 判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角 相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么 这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三 角形的第三边。 定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似； （2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个 直角三角形相似。 相似三角形的性质： （1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。 直角三角形的射影定理 射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射 影与斜边的比例中项。 圆周定理 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形的性质与判定定理 定理 1：圆的内接四边形的对角互补。 定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。 圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 与圆有关的比例线段 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 选修 4-4 数学知识点 一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系：  ① 理解坐标系的作用.  ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别， 能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图 第 69 页 形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结： 1．伸缩变换：设点 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 的作用下， 点 对应到点 ，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点 ，叫做极点；自极点 引一条射线 叫做极轴；再选定一个 长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 3．点 的极坐标：设 是平面内一点，极点 与点 的距离 叫做点 的极径，记为 ；以极 轴 为始边，射线 为终边的 叫做点 的极角，记为 。有序数对 叫做点 的极坐 标，记为 . 极坐标 与 表示同一个点。极点 的坐标为 . 4.若 ,则 ,规定点 与点 关于极点对称，即 与 表示同一点。 如果规定 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 表示；同时，极坐标 表示的点也是唯一确定的。 5．极坐标与直角坐标的互化： 6。圆的极坐标方程： 在极坐标系中，以极点为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ； 在极坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ； 在极坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ； 7.在极坐标系中， 表示以极点为起点的一条射线； 表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点 ，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 . 8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的函数 θρ sin2a= )0( ≥= ραθ )R( ∈= ραθ )0)(0,( >aaA a=θρcos yx, t ),( yxP    >⋅=′ >⋅=′ ).0(,yy 0),(x,x: µµ λλϕ ),( yxP ),( yxP ′′′ ϕ O O Ox M M O M || OM M ρ Ox OM xOM∠ M θ ),( θρ M ),( θρM ),( θρ )Z)(2,( ∈+ kkπθρ O )R)(,0( ∈θθ 0− ρ ),( θρ− ),( θρ ),( θρ− ),( θπρ + πθρ 20,0 ≤≤> ),( θρ ),( θρ r r=ρ )0,(aC )0( >a a θρ cos2a= )2,( π aC )0( >a a )0(nt,sin ,cos,222 ≠== =+= xx yay xyx θθρ θρρ 第 70 页 并且对于 的每一个允许值，由这个方程所确定的点 都在这条曲线上，那么这个方程 就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 的变数 叫做参变数，简称参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 9．圆 的参数方程可表示为 . 椭圆 的参数方程可表示为 . 抛物线 的参数方程可表示为 .   经过点 ，倾斜角为 的直线 的参数方程可表示为 （ 为参数）. 10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使 的取值范围保持一致. 高中数学选修 4--5 知识点 1、不等式的基本性质 ①（对称性） ②（传递性） ③（可加性） （同向可加性） （异向可减性） ④（可积性） ⑤（同向正数可乘性） （异向正数可除性） ⑥（平方法则） ⑦（开方法则） ⑧（倒数法则） 2、几个重要不等式    = = ),( ),( tgy tfx t ),( yxM yx, t 222 )()( rbyax =−+− )(.sin ,cos 为参数θθ θ    += += rby rax 12 2 2 2 =+ b y a x )0( >> ba )(.sin ,cos 为参数ϕϕ ϕ    = = by ax pxy 22 = )( .2 ,2 2 为参数t pty pxx    = = ),( ooO yxM α l    += += .sin ,cos o o α α tyy txx t yx, a b b a> ⇔ > ,a b b c a c> > ⇒ > a b a c b c> ⇔ + > + dbcadcba +>+⇒>> , dbcadcba −>−⇒ , bcaccba >⇒>> 0, bcaccba > > > ⇒ > 0,0 a ba b c d c d > > < < ⇒ > 0 ( , 1)n na b a b n N n> > ⇒ > ∈ >且 0 ( , 1)n na b a b n N n> > ⇒ > ∈ >且 babababa 110;110 >⇒ > > a b c= = 0, 2b aab a b > + ≥若 则 0, 2b aab a b < + ≤ −若 则 b a nb na ma mb a b >， ， 2 20 ;a x a x a x a x a> > ⇔ > ⇔ < − >当 时， 或 2 2 .x a x a a x a< ⇔ < ⇔ − < < .a b a b a b− ≤ ± ≤ + 2 2 1 1 2 2 2 a b a baba b− − + +≤ ≤ ≤+ ,a b R+∈（ a b= " "= ≤ ≤ ≤ 2 2 2 ;2 2 a b a bab + + ≤ ≤   2 2 2 ( ) .2 a ba b ++ ≥ 第 72 页 ②幂平均不等式： ③二维形式的三角不等式： ④二维形式的柯西不等式： 当且仅当 时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式： ⑥一般形式的柯西不等式： ⑦向量形式的柯西不等式： 设 是两个向量，则 当且仅当 是零向量，或存在实数 ，使 时，等号成立. ⑧排序不等式（排序原理）： 设 为 两 组 实 数 . 是 的 任 一 排 列 ， 则 （反序和 乱序和 顺序和），当 且仅当 或 时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数 ,对于定义域中任意两点 有 则称 f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如 ②将分子或分母放大（缩小）， 如 等. 5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 解集的步骤： 2 2 2 2 1 2 1 2 1... ( ... ) .n na a a a a an + + + ≥ + + + 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x y x y x x y y+ + + ≥ − + − 1 1 2 2( , , , ).x y x y R∈ 2 2 2 2 2( )( ) ( ) ( , , , ).a b c d ac bd a b c d R+ + ≥ + ∈ ad bc= 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( )( ) ( ) .a a a b b b a b a b a b+ + + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2( ... )( ... )n na a a b b b+ + + + + + 2 1 1 2 2( ... ) .n na b a b a b≥ + + + ,α β  ,α β α β⋅ ≤    β k kα β=  1 2 1 2... , ...n na a a b b b≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 1 2, ,..., nc c c 1 2, ,..., nb b b 1 2 1 1 1 1 2 2... ...n n n n na b a b a b a c a c a c−+ + + ≤ + + + 1 1 2 2 ... .n na b a b a b≤ + + + ≤ ≤ 1 2 ... na a a= = = 1 2 ... nb b b= = = ( )f x 1 2 1 2, ( ),x x x x≠ 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .2 2 2 2 x x f x f x x x f x f xf f + + + +≤ ≥或 2 21 3 1( ) ( ) ;2 4 2a a+ + > + 2 1 1 ,( 1)k k k < − 2 1 1 ,( 1)k k k > + 2 2 1 2 , 2 1k k k k k k = ⇒ < + + − *1 2 ( , 1) 1 k N k k k k > ∈ > + + 2 0( 0)ax bx c+ + > 第 73 页 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的 解集. 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 （ 时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当 时, ⑵当 时, 规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 ⑴当 时, ( ) 0 ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) 0( ) f x f x g xg x f x g xf x g xg x > ⇔ ⋅ > ⋅ ≥≥ ⇔  ≠ < ≤“ 或 ” 2 ( ) 0( ) ( 0) ( ) f xf x a a f x a ≥> > ⇔  > 2 ( ) 0( ) ( 0) ( ) f xf x a a f x a ≥< > ⇔   ≥> ⇔ ≥   或 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] f x f x g x g x f x g x ≥ < ⇔ >  ⇔ ≥  > 1a > ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ > 0 1a< < ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ < 1a > ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  > 第 74 页 ⑵当 时, 规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法： ⑵平方法： ⑶同解变形法，其同解定理有： ① ② ③ ④ 规律：关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论 与 0 的大小； ⑵讨论 与 0 的大小； ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ⑴不等式 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当 时 ②当 时 ⑵不等式 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当 时 ②当 时 ⑶ 恒成立 恒成立 0 1a< < ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 . ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  0a = 0, 0;b c⇒ = > 0a ≠ 0 0. a >⇒ ∆ ( 0)< 0Ax By C+ + > ( 0)< B 0Ax By C+ + > ( 0)< z Ax By= + ( ,A B z Ax By= + x y、 z z z 0 : 0l Ax By+ = 0l 0l ( , )x y ( , )x y z Ax By= + z A zy xB B = − + z B 0,B > z Ax By= + z z 0,B < z Ax By= + z z ;z Ax By= + 第 76 页 ②“斜率”型： 或 ③“距离”型： 或 或 在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化. 附：高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 , . 2.德摩根公式 . 3.包含关系 4.容斥原理 . 5．集合 的子集个数共有 个；真子集有 –1 个；非空子集有 –1 个；非空的真 子集有 –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 ; (2)顶点式 ; (3)零点式 . 7.解连不等式 常有以下转化形式 . 8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个必要 而 不 是 充 分 条 件 . 特 别 地 , 方 程 有 且 只 有 一 个 实 根 在 内 , 等 价 于 ,或 且 ,或 且 . 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取 得，具体如下： (1)当 a>0 时，若 ，则 ； ， ， . (2) 当 a− ⇔ 1 1 ( )f x N M N >− − 0)( =xf ),( 21 kk 0)()( 21  2 0 4 0 a b ac − − [ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x− − < ⇔ [ ]baxfxx xfxf ,)(0)()( 21 21 在⇔′ xf )(xf 0)( 0) （1） ，则 的周期 T=a； （2） ， 或 ， 或 , 或 ,则 的周期 T=2a； (3) ，则 的周期 T=3a； (4) 且 ， 则 的 周 期 T=4a； (5) ,则 的周期 T=5a； (6) ，则 的周期 T=6a. 30.分数指数幂 (1) （ ，且 ）. (2) （ ，且 ）. 31．根式的性质 （1） . （2）当 为奇数时， ； 当 为偶数时， . 32．有理指数幂的运算性质 (1) . (2) . )(xfy = a b baxfy +−= )( 0),( =yxf a b 0),( =−− byaxf abfbaf =⇔= − )()( 1 )( bkxfy += ])([1 1 bxfky −= − )([ 1 bkxfy += − )([ 1 bkxfy += − ])([1 bxfky −= ( )f x cx= ( ) ( ) ( ), (1)f x y f x f y f c+ = + = ( ) xf x a= ( ) ( ) ( ), (1) 0f x y f x f y f a+ = = ≠ ( ) logaf x x= ( ) ( ) ( ), ( ) 1( 0, 1)f xy f x f y f a a a= + = > ≠ ( )f x xα= '( ) ( ) ( ), (1)f xy f x f y f α= = ( ) cosf x x= ( ) sing x x= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y g x g y− = + 0 ( )(0) 1,lim 1 x g xf x→ = = )()( axfxf += )(xf 0)()( =+= axfxf )0)(()( 1)( ≠=+ xfxfaxf 1( ) ( )f x a f x + =− ( ( ) 0)f x ≠ [ ]21 ( ) ( ) ( ),( ( ) 0,1 )2 f x f x f x a f x+ − = + ∈ )(xf )0)(()( 11)( ≠+−= xfaxfxf )(xf )()(1 )()()( 21 21 21 xfxf xfxfxxf − +=+ 1 2 1 2( ) 1( ( ) ( ) 1,0 | | 2 )f a f x f x x x a= ⋅ ≠ < − < )(xf ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a+ + + + + + + ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a= + + + + )(xf )()()( axfxfaxf +−=+ )(xf 1m n n m a a = 0, ,a m n N ∗> ∈ 1n > 1m n m n a a − = 0, ,a m n N ∗> ∈ 1n > ( )nn a a= n n na a= n , 0| | , 0 n n a aa a a a ≥= = − ∈ ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s Q= > ∈ 第 80 页 (3) . 注： 若 a＞0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理 数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 . 34.对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ). 推论 ( ,且 , ,且 , , ). 35．对数的四则运算法则 若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1) ; (2) ; (3) . 36.设函数 ,记 .若 的定义域为 ,则 ，且 ;若 的值域为 ,则 ，且 .对于 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 若 , , , ,则函数 (1)当 时,在 和 上 为增函数. ， (2)当 时,在 和 上 为减函数. 推论:设 ， ， ，且 ，则 （1） . （2） . 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有 . 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系 ( 数列 的前 n 项的和为 ). 40.等差数列的通项公式 ； 其前 n 项和公式为 . 41.等比数列的通项公式 ； ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r Q= > > ∈ log b a N b a N= ⇔ = ( 0, 1, 0)a a N> ≠ > loglog log m a m NN a = 0a > 1a ≠ 0m > 1m ≠ 0N > log logm n aa nb bm = 0a > 1a > , 0m n > 1m ≠ 1n ≠ 0N > log ( ) log loga a aMN M N= + log log loga a a M M NN = − log log ( )n a aM n M n R= ∈ )0)((log)( 2 ≠++= acbxaxxf m acb 42 −=∆ )(xf R 0>a 0a 0≥∆ 0=a 0a > 0b > 0x > 1x a ≠ log ( )axy bx= a b> 1(0, )a 1( , )a +∞ log ( )axy bx= a b< 1(0, )a 1( , )a +∞ log ( )axy bx= 1n m> > 0p > 0a > 1a ≠ log ( ) logm p mn p n+ + < 2log log log 2a a a m nm n +< p x y (1 )xy N p= + 1 1 , 1 , 2n n n s na s s n− ==  − ≥ { }na 1 2n ns a a a= + + + * 1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N= + − = + − ∈ 1( ) 2 n n n a as += 1 ( 1) 2 n nna d −= + 2 1 1( )2 2 d n a d n= + − 1 *1 1 ( )n n n aa a q q n Nq −= = ⋅ ∈ 第 81 页 其前 n 项的和公式为 或 . 42.等比差数列 : 的通项公式为 ； 其前 n 项和公式为 . 43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ). 44．常见三角不等式 （1）若 ，则 . (2) 若 ，则 . (3) . 45.同角三角函数的基本关系式 ， = ， . 46.正弦、余弦的诱导公式 47.和角与差角公式 ; ; . (平方正弦公式); . = (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ). 48.二倍角公式 . 1 1 (1 ) , 11 , 1 n n a q qs q na q  − ≠= −  = 1 1 , 11 , 1 n n a a q qqs na q − ≠ −=   = { }na 1 1, ( 0)n na qa d a b q+ = + = ≠ 1 ( 1) , 1 ( ) , 11 n n n b n d q a bq d b q d qq − + − = = + − − ≠ − ( 1) ,( 1) 1( ) ,( 1)1 1 1 n n nb n n d q s d q db n qq q q + − = = − − + ≠ − − − (1 ) (1 ) 1 n n ab bx b += + − a n b (0, )2x π∈ sin tanx x x< < (0, )2x π∈ 1 sin cos 2x x< + ≤ | sin | | cos | 1x x+ ≥ 2 2sin cos 1θ θ+ = tanθ θ θ cos sin tan 1cotθ θ⋅ = 2 1 2 ( 1) sin ,sin( )2 ( 1) s , n n n co απ α α −  −+ =   − 2 1 2 ( 1) s ,s( )2 ( 1) sin , n n conco απ α α +  −+ =   − sin( ) sin cos cos sinα β α β α β± = ± cos( ) cos cos sin sinα β α β α β± =  tan tantan( ) 1 tan tan α βα β α β ±± =  2 2sin( )sin( ) sin sinα β α β α β+ − = − 2 2cos( )cos( ) cos sinα β α β α β+ − = − sin cosa bα α+ 2 2 sin( )a b α ϕ+ + ϕ ( , )a b tan b a ϕ = sin 2 sin cosα α α= (n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数) 第 82 页 . . 49. 三倍角公式 . . . 50.三角函数的周期公式 函数 ，x∈R 及函数 ，x∈R(A,ω, 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期 ；函数 ， (A,ω, 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期 . 51.正弦定理 . 52.余弦定理 ; ; . 53.面积定理 （1） （ 分别表示 a、b、c 边上的高）. （2） . (3) . 54.三角形内角和定理 在△ABC 中，有 . 55. 简单的三角方程的通解 . . . 特别地,有 . . . 56.最简单的三角不等式及其解集 . . . . . 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = − 2 2tantan 2 1 tan αα α= − 3sin3 3sin 4sin 4sin sin( )sin( )3 3 π πθ θ θ θ θ θ= − = − + 3cos3 4cos 3cos 4cos cos( )cos( )3 3 π πθ θ θ θ θ θ= − = − + 3 2 3tan tantan3 tan tan( ) tan( )1 3tan 3 3 θ θ π πθ θ θ θθ −= = − +− sin( )y xω ϕ= + cos( )y xω ϕ= + ϕ 2T π ω= tan( )y xω ϕ= + ,2x k k Z ππ≠ + ∈ ϕ T π ω= 2sin sin sin a b c RA B C = = = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 2 cosb c a ca B= + − 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 1 1 1 2 2 2a b cS ah bh ch= = = a b ch h h、 、 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B= = = 2 21 (| | | |) ( )2OABS OA OB OA OB∆ = ⋅ − ⋅    ( )A B C C A Bπ π+ + = ⇔ = − + 2 2 2 C A Bπ +⇔ = − 2 2 2( )C A Bπ⇔ = − + sin ( 1) arcsin ( ,| | 1)kx a x k a k Z aπ= ⇔ = + − ∈ ≤ s 2 arccos ( ,| | 1)co x a x k a k Z aπ= ⇔ = ± ∈ ≤ tan arctan ( , )x a x k a k Z a Rπ= ⇒ = + ∈ ∈ sin sin ( 1) ( )kk k Zα β α π β= ⇔ = + − ∈ s cos 2 ( )co k k Zα β α π β= ⇔ = ± ∈ tan tan ( )k k Zα β α π β= ⇒ = + ∈ sin (| | 1) (2 arcsin ,2 arcsin ),x a a x k a k a k Zπ π π> ≤ ⇔ ∈ + + − ∈ sin (| | 1) (2 arcsin ,2 arcsin ),x a a x k a k a k Zπ π π< ≤ ⇔ ∈ − − + ∈ cos (| | 1) (2 arccos ,2 arccos ),x a a x k a k a k Zπ π> ≤ ⇔ ∈ − + ∈ cos (| | 1) (2 arccos ,2 2 arccos ),x a a x k a k a k Zπ π π< ≤ ⇔ ∈ + + − ∈ tan ( ) ( arctan , ),2x a a R x k a k k Z ππ π> ∈ ⇒ ∈ + + ∈ 第 83 页 . 57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ 1、λ2，使得 a=λ1e1+λ2e2． 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示 设 a= ,b= ，且 b 0，则 a b(b 0) . 53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ,b= ，则 a+b= . (2)设 a= ,b= ，则 a-b= . (3)设 A ，B ,则 . (4)设 a= ，则 a= . (5)设 a= ,b= ，则 a·b= . 63.两向量的夹角公式 (a= ,b= ). 64.平面两点间的距离公式 = (A ，B ). 65.向量的平行与垂直 设 a= ,b= ，且 b 0，则 A||b b=λa . a b(a 0) a·b=0 . 66.线段的定比分公式 设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，则 （ ）. 67.三角形的重心坐标公式 △ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 、 、 , 则 △ ABC 的 重 心 的 坐 标 是 tan ( ) ( , arctan ),2x a a R x k k a k Z ππ π< ∈ ⇒ ∈ − + ∈ λ λ λ λ 1 1( , )x y 2 2( , )x y ≠  ≠ 1 2 2 1 0x y x y⇔ − = 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( , )x x y y+ + 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( , )x x y y− − 1 1( , )x y 2 2( , )x y 2 1 2 1( , )AB OB OA x x y y= − = − −   ( , ),x y Rλ ∈ λ ( , )x yλ λ 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( )x x y y+ 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y y x y x y θ += + ⋅ + 1 1( , )x y 2 2( , )x y ,A Bd | |AB AB AB= ⋅   2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y= − + − 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 1( , )x y 2 2( , )x y ≠ ⇔ 1 2 2 1 0x y x y⇔ − = ⊥ ≠ ⇔ 1 2 1 2 0x x y y⇔ + = 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y ( , )P x y 1 2PP λ 1 2PP PPλ=  1 2 1 2 1 1 x xx y yy λ λ λ λ + = + + = + ⇔ 1 2 1 OP OPOP λ λ += +   ⇔ 1 2(1 )OP tOP t OP= + −   1 1t λ= + 1 1A(x ,y ) 2 2B(x ,y ) 3 3C(x ,y ) 第 84 页 . 68.点的平移公式 . 注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形 上的对应点为 ，且 的坐标为 . 69.“按向量平移”的几个结论 （1）点 按向量 a= 平移后得到点 . (2) 函 数 的 图 象 按 向 量 a= 平 移 后 得 到 图 象 , 则 的 函 数 解 析 式 为 . (3) 图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,若 的解析式 ,则 的函数解析式为 . (4)曲线 : 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的方程为 . (5) 向量 m= 按向量 a= 平移后得到的向量仍然为 m= . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则 （1） 为 的外心 . （2） 为 的重心 . （3） 为 的垂心 . （4） 为 的内心 . （5） 为 的 的旁心 . 71.常用不等式： （1） (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （2） (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （3） （4）柯西不等式 （5） . 72.极值定理 已知 都是正数，则有 （1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ； （2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 . 推广 已知 ，则有 （1）若积 是定值,则当 最大时, 最大； 当 最小时, 最小. （2）若和 是定值,则当 最大时, 最小； 当 最小时, 最大. 73.一元二次不等式 ，如果 与 同号， 则其解集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两 根之间. ； . 74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时，有 1 2 3 1 2 3( , )3 3 x x x y y yG + + + + ' ' ' ' x x h x x h y y k y y k  = + = − ⇔ = + = −   ' 'OP OP PP⇔ = +  'F ' ' '( , )P x y 'PP ( , )h k ( , )P x y ( , )h k ' ( , )P x h y k+ + ( )y f x= C ( , )h k 'C 'C ( )y f x h k= − + 'C ( , )h k C C ( )y f x= 'C ( )y f x h k= + − C ( , ) 0f x y = ( , )h k 'C 'C ( , ) 0f x h y k− − = ( , )x y ( , )h k ( , )x y O ABC∆ , ,A B C , ,a b c O ABC∆ 2 2 2 OA OB OC⇔ = =   O ABC∆ 0OA OB OC⇔ + + =    O ABC∆ OA OB OB OC OC OA⇔ ⋅ = ⋅ = ⋅      O ABC∆ 0aOA bOB cOC⇔ + + =    O ABC∆ A∠ aOA bOB cOC⇔ = +   ,a b R∈ ⇒ 2 2 2a b ab+ ≥ ,a b R+∈ ⇒ 2 a b ab + ≥ 3 3 3 3 ( 0, 0, 0).a b c abc a b c+ + ≥ > > > 2 2 2 2 2( )( ) ( ) , , , , .a b c d ac bd a b c d R+ + ≥ + ∈ bababa +≤+≤− yx, xy p yx = yx + p2 yx + s yx = xy 2 4 1 s Ryx ∈, xyyxyx 2)()( 22 +−=+ xy || yx − || yx + || yx − || yx + || yx + || yx − || xy || yx − || xy 2 0( 0)ax bx c+ + > a 2ax bx c+ + a 2ax bx c+ + 1 2 1 2 1 2( )( ) 0( )x x x x x x x x x< < ⇔ − − < < 1 2 1 2 1 2, ( )( ) 0( )x x x x x x x x x x< > ⇔ − − > ⇔ > ⇔ > x a< − ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x g x f x g x ≥ > ⇔ ≥  > 2 ( ) 0 ( ) 0( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0( ) [ ( )] f x f xf x g x g x g xf x g x ≥ ≥> ⇔ ≥   或 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] f x f x g x g x f x g x ≥ < ⇔ >  ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ > ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  > 0 1a< < ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ < ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  0< : 0l Ax By C+ + = 0Ax By C+ + > 0< 0B ≠ B Ax By C+ + l B Ax By C+ + l 0B = A Ax By C+ + l A Ax By C+ + l 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + > 0< 1 1 1 2 2 2:( )( ) 0C A x B y C A x B y C+ + + + = 1 2 1 2 0A A B B ≠ 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + > 0< 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + > 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + < 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 2 4D E F+ − cos sin x a r y b r θ θ = +  = + 第 87 页 （ 4 ） 圆 的 直 径 式 方 程 ( 圆 的 直 径 的 端 点 是 、 ). 87. 圆系方程 (1)过点 , 的圆系方程是 ,其中 是直线 的方程,λ是 待定的系数． (2) 过 直 线 : 与 圆 : 的 交 点 的 圆 系 方 程 是 ,λ是待定的系数． (3) 过圆 : 与圆 : 的交点的圆系方程是 ,λ是待定的系数． 88.点与圆的位置关系 点 与圆 的位置关系有三种 若 ，则 点 在圆外; 点 在圆上; 点 在圆内. 89.直线与圆的位置关系 直线 与圆 的位置关系有三种: ; ; . 其中 . 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， ; ; ; ; . 91.圆的切线方程 (1)已知圆 ． ①若已知切点 在圆上，则切线只有一条，其方程是 . 当 圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线， 注意不要漏掉平行于 y 轴的切线． ③斜率为 k 的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 b，必有两条切线． (2)已知圆 ． ①过圆上的 点的切线方程为 ; ②斜率为 的圆的切线方程为 . 92.椭圆 的参数方程是 . 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y− − + − − = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2( )( ) ( )( ) [( )( ) ( )( )] 0x x x x y y y y x x y y y y x xλ− − + − − + − − − − − = 1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( ) 0x x x x y y y y ax by cλ⇔ − − + − − + + + = 0ax by c+ + = AB l 0Ax By C+ + = C 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 2 ( ) 0x y Dx Ey F Ax By Cλ+ + + + + + + = 1C 2 2 1 1 1 0x y D x E y F+ + + + = 2C 2 2 2 2 2 0x y D x E y F+ + + + = 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y Fλ+ + + + + + + + + = 0 0( , )P x y 222 )()( rbyax =−+− 2 2 0 0( ) ( )d a x b y= − + − d r> ⇔ P d r= ⇔ P d r< ⇔ P 0=++ CByAx 222 )()( rbyax =−+− 0 相离rd 0=∆⇔⇔= 相切rd 0>∆⇔⇔< 相交rd 22 BA CBbAad + ++= dOO =21 条公切线外离 421 ⇔⇔+> rrd 条公切线外切 321 ⇔⇔+= rrd 条公切线相交 22121 ⇔⇔+ > )( 2 1 c axePF += )( 2 2 xc aePF −= 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ + < 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ + > 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 0 0( , )P x y 0 0 2 2 1x x y y a b + = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 0 0( , )P x y 0 0 2 2 1x x y y a b + = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 0Ax By C+ + = 2 2 2 2 2A a B b c+ = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 1 | ( ) |aPF e x c = + 2 2 | ( ) |aPF e xc = − 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ − > 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ − < 12 2 2 2 =− b y a x ⇒ 2 2 2 2 0x y a b − = ⇔ xa by ±= xa by ±= ⇔ 0=± b y a x ⇒ λ=− 2 2 2 2 b y a x 12 2 2 2 =− b y a x λ=− 2 2 2 2 b y a x 0>λ 0 > 0 0( , )P x y 0 0 2 2 1x x y y a b − = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 0 0( , )P x y 0 0 2 2 1x x y y a b − = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 0Ax By C+ + = 2 2 2 2 2A a B b c− = pxy 22 = 2 2 ( 0)y px p= > 0 2 pCF x= + 第 89 页 过焦点弦长 . 101.抛物线 上的动点可设为 P 或 P ，其中 . 102.二次函数 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为 ；（2）焦点的坐标为 ；（3）准线方程是 . 103.抛物线的内外部 (1)点 在抛物线 的内部 . 点 在抛物线 的外部 . (2)点 在抛物线 的内部 . 点 在抛物线 的外部 . (3)点 在抛物线 的内部 . 点 在抛物线 的外部 . (4) 点 在抛物线 的内部 . 点 在抛物线 的外部 . 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 上一点 处的切线方程是 . （2）过抛物线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 . （3）抛物线 与直线 相切的条件是 . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 , 的交点的曲线系方程是 ( 为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 ,其中 .当 时, 表示椭圆; 当 时,表示双曲线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 （ 弦 端 点 A ，由方程 消去 y 得到 ， , 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率）. 107.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线 关于点 成中心对称的曲线是 . （2）曲线 关于直线 成轴对称的曲线是 . 108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 即得方程 ，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方 pxxpxpxCD ++=+++= 2121 22 pxy 22 = ),2( 2   yp y 或)2,2( 2 ptptP ( , )x y  2 2y px=   2 2 2 4( )2 4 b ac by ax bx c a x a a −= + + = + + ( 0)a ≠ 24( , )2 4 b ac b a a −− 24 1( , )2 4 b ac b a a − +− 24 1 4 ac by a − −= 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 ( 0)y px p⇔ < > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 ( 0)y px p⇔ > > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)y px p= − > 2 2 ( 0)y px p⇔ < − > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)y px p= − > 2 2 ( 0)y px p⇔ > − > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)x py p= > 2 2 ( 0)x py p⇔ < > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)x py p= > 2 2 ( 0)x py p⇔ > > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)x py p= > 2 2 ( 0)x py p⇔ < > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)x py p= − > 2 2 ( 0)x py p⇔ > − > pxy 22 = 0 0( , )P x y 0 0( )y y p x x= + pxy 22 = 0 0( , )P x y 0 0( )y y p x x= + 2 2 ( 0)y px p= > 0Ax By C+ + = 2 2pB AC= 1( , ) 0f x y = 2 ( , ) 0f x y = 1 2( , ) ( , ) 0f x y f x yλ+ = λ 2 2 2 2 1x y a k b k + =− − 2 2max{ , }k a b< 2 2min{ , }k a b> 2 2 2 2min{ , } max{ , }a b k a b< < 2 2 1 2 1 2( ) ( )AB x x y y= − + − 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2(1 )( ) | | 1 tan | | 1 tAB k x x x x y y coα α= + − = − + = − + ),(),,( 2211 yxByx    = += 0)y,x(F bkxy 02 =++ cbxax 0∆ > α AB k ( , ) 0F x y = 0 0( , )P x y 0 0(2 - ,2 ) 0F x x y y− = ( , ) 0F x y = 0Ax By C+ + = 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( )( , ) 0A Ax By C B Ax By CF x yA B A B + + + +− − =+ + 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = 0x x 2x 0y y 2y 0 0 2 x y xy+ xy 0 2 x x+ x 0 2 y y+ y 0 0 0 0 0 0 02 2 2 x y xy x x y yAx x B Cy y D E F + + ++ ⋅ + + ⋅ + ⋅ + = 第 90 页 程均是此方程得到. 109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a． (2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为 始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 )，a∥b 存在实数λ使 a=λb． 三点共线 . 、 共线且 不共线 且 不共线. 118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 存在实数对 ,使 ． 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 存在有序实数对 ,使 ， 或对空间任一定点 O，有序实数对 ，使 . 119.对空间任一点 和不共线的三点 A、B、C，满足 （ ），则 当 时，对于空间任一点 ，总有 P、A、B、C 四点共面；当 时，若 平面 ABC，则 P、A、B、 C 四点共面；若 平面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共面． 四点共面 与 、 共面 （ 平面 ABC）. 120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使 p＝ xa＋yb＋zc． 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使 ⇔ P A B、 、 ⇔ ||AP AB ⇔ AP t AB=  ⇔ (1 )OP t OA tOB= − +   ||AB CD ⇔ AB CD AB CD、 ⇔ AB tCD=  AB CD、 ⇔ ,x y p ax by= + ⇔ ,x y MP xMA yMB= +   ,x y OP OM xMA yMB= + +    O OP xOA yOB zOC= + +    x y z k+ + = 1k = O 1k ≠ O∈ O∉ C A B、 、 、D ⇔ AD AB AC ⇔ AD xAB yAC= +   ⇔ (1 )OD x y OA xOB yOC= − − + +    O∉ 第 91 页 . 121.射影公式 已知向量 =a 和轴 ，e 是 上与 同方向的单位向量.作 A 点在 上的射影 ，作 B 点在 上的射影 ，则 〈a，e〉=a·e 122.向量的直角坐标运算 设 a＝ ，b＝ 则 (1)a＋b＝ ； (2)a－b＝ ； (3)λa＝ (λ∈R)； (4)a·b＝ ； 123.设 A ，B ，则 = . 124．空间的线线平行或垂直 设 ， ，则 ； . 125.夹角公式 设 a＝ ，b＝ ，则 cos〈a，b〉= . 推论 ，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角 四面体 中, 与 所成的角为 ,则 . 127．异面直线所成角 = （其中 （ ）为异面直线 所成角， 分别表示异面直线 的方向向量） 128.直线 与平面所成角 ( 为平面 的法向量). 129.若 所在平面若 与过若 的平面 成的角 ,另两边 , 与平面 成的角分别 是 、 , 为 的两个内角，则 . 特别地,当 时,有 . 130.若 所在平面若 与过若 的平面 成的角 ,另两边 , 与平面 成的角分别是 OP xOA yOB zOC= + +    AB l l l l 'A l 'B ' ' | | cosA B AB=  1 2 3( , , )a a a 1 2 3( , , )b b b 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b+ + + 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b− − − 1 2 3( , , )a a aλ λ λ 1 1 2 2 3 3a b a b a b+ + 1 1 1( , , )x y z 2 2 2( , , )x y z AB OB OA= −   2 1 2 1 2 1( , , )x x y y z z− − − 1 1 1( , , )a x y z= 2 2 2( , , )b x y z= a b   ⇔ ( 0)a b bλ= ≠    ⇔ 1 2 1 2 1 2 x x y y z z λ λ λ =  =  = a b⊥  ⇔ 0a b⋅ =  ⇔ 1 2 1 2 1 2 0x x y y z z+ + = 1 2 3( , , )a a a 1 2 3( , , )b b b 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a a a b b b + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3( ) ( )( )a b a b a b a a a b b b+ + ≤ + + + + ABCD AC BD θ 2 2 2 2| ( ) ( ) |cos 2 AB CD BC DA AC BD θ + − += ⋅ cos | cos , |a bθ =   1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 | || | | | | | x x y y z za b a b x y z x y z + +⋅ = ⋅ + + ⋅ + +     θ 0 90θ< ≤  a b, ,a b  a b, AB sin | || | AB marc AB m β ⋅=     m α ABC∆ β AB α θ AC BC α 1 θ 2 θ A B、 ABC∆ 2 2 2 2 2 1 2sin sin (sin sin )sinA Bθ θ θ+ = + 90ACB∠ =  2 2 2 1 2sin sin sinθ θ θ+ = ABC∆ β AB α θ AC BC α 第 92 页 、 , 为 的两个内角，则 . 特别地,当 时,有 . 131.二面角 的平面角 或 （ ， 为平面 ， 的法向量）. 132.三余弦定理 设 AC 是α内的任一条直线，且 BC⊥AC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成的角为 ，AB 与 AC 所成的角为 ，AO 与 AC 所成的角为 ．则 . 133. 三射线定理 若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 , ,与二面角的棱所成的 角是θ，则有 ; (当且仅当 时等号成立). 134.空间两点间的距离公式 若 A ，B ，则 = . 135.点 到直线 距离 (点 在直线 上，直线 的方向向量 a= ，向量 b= ). 136.异面直线间的距离 ( 是两异面直线，其公垂向量为 ， 分别是 上任一点， 为 间的距离). 137.点 到平面 的距离 （ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ）. 138.异面直线上两点距离公式 . . （ ）. (两条异面直线 a、b 所成的角为θ，其公垂线段 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、F， , , ). 139.三个向量和的平方公式 140. 长 度 为 的 线 段 在 三 条 两 两 互 相 垂 直 的 直 线 上 的 射 影 长 分 别 为 ， 夹 角 分 别 为 ,则有 . （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理 . (平面多边形及其射影的面积分别是 、 ，它们所在平面所成锐二面角的为 ). 1 θ 2 θ ' 'A B、 ABO∆ 2 2 2 ' 2 ' 2 1 2tan tan (sin sin ) tanA Bθ θ θ+ = + 90AOB∠ =  2 2 2 1 2sin sin sinθ θ θ+ = lα β− − cos | || | m narc m n θ ⋅=     cos | || | m narc m n π ⋅−     m n α β 1 θ 2 θ θ 1 2cos cos cosθ θ θ= ϕ 1 θ 2 θ 2 2 2 2 1 2 1 2sin sin sin sin 2sin sin cosϕ θ θ θ θ θ ϕ= + − 1 2 1 2| | 180 ( )θ θ ϕ θ θ− ≤ ≤ − + 90θ =  1 1 1( , , )x y z 2 2 2( , , )x y z ,A Bd | |AB AB AB= ⋅   2 2 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z z= − + − + − Q l 2 21 (| || |) ( )| |h a b a ba = − ⋅ P l l PA PQ | | | | CD nd n ⋅=    1 2,l l n C D、 1 2,l l d 1 2,l l B α | | | | AB nd n ⋅=    n α AB α A α∈ 2 2 2 2 cosd h m n mn θ= + +  2 2 2 '2 cos ,d h m n mn EA AF= + + −   2 2 2 2 cosd h m n mn ϕ= + + − 'E AA Fϕ = − − 'AA 'A E m= AF n= EF d= 2 2 22( ) 2 2 2a b c a b c a b b c c a+ + = + + + ⋅ + ⋅ + ⋅            2 2 2 2 | | | | cos , 2 | | | | cos , 2 | | | | cos ,a b c a b a b b c b c c a c a= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅               l 1 2 3l l l、 、 1 2 3 θ θ θ、 、 2 2 2 2 1 2 3l l l l= + + 2 2 2 1 2 3cos cos cos 1θ θ θ⇔ + + = 2 2 2 1 2 3sin sin sin 2θ θ θ⇔ + + = ' cos SS θ= S 'S θ 第 93 页 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 ,侧面积和体积分别是 和 ,它的直截面的周长和面积分别是 和 ,则 ① . ② . 143．作截面的依据 三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点 到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积 的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方 比． 145.欧拉定理(欧拉公式) (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). （1） =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 的多边形，则面数 F 与棱数 E 的关系： ； （2）若每个顶点引出的棱数为 ，则顶点数 V 与棱数 E 的关系： . 146.球的半径是 R，则 其体积 , 其表面积 ． 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外 接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为 . 148．柱体、锥体的体积 （ 是柱体的底面积、 是柱体的高）. （ 是锥体的底面积、 是锥体的高）. 149.分类计数原理（加法原理） . 150.分步计数原理（乘法原理） . 151.排列数公式 = = .( ， ∈N*，且 )． 注:规定 . 152.排列恒等式 (1） ; （2） ; （3） ; l S斜棱柱侧 V斜棱柱 1c 1S 1S c l=斜棱柱侧 1V S l=斜棱柱 2V F E+ − = E n 1 2E nF= m 1 2E mV= 34 3V Rπ= 24S Rπ= a 6 12 a 6 4 a 1 3V Sh=柱体 S h 1 3V Sh=锥体 S h 1 2 nN m m m= + + + 1 2 nN m m m= × × × m nA )1()1( +−− mnnn  ！ ！ )( mn n − n m m n≤ 1!0 = 1( 1)m m n nA n m A −= − + 1 m m n n nA An m −= − 1 1 m m n nA nA − −= 第 94 页 （4） ; （5） . (6) . 153.组合数公式 = = = ( ∈N*， ，且 ). 154.组合数的两个性质 (1) = ; (2) + = . 注:规定 . 155.组合恒等式 （1） ; （2） ; （3） ; （4） = ; （5） . (6) . (7) . (8) . (9) . (10) . 156.排列数与组合数的关系 . 157．单条件排列 以下各条的大前提是从 个元素中取 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有 种；②某（特）元不在某位有 （补集思想） （着 眼位置） （着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴： 个元在固定位的排列有 种. ②浮动紧贴： 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有 k、h 个（ ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近 的所有排列数有 种. （3）两组元素各相同的插空 个大球 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当 时，无解；当 时，有 种排法. 1 1 n n n n n nnA A A+ += − 1 1 m m m n n nA A mA − + = + 1! 2 2! 3 3! ! ( 1)! 1n n n+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ = + − m nC m n m m A A m mnnn ××× +−−   21 )1()1( ！！ ！ )( mnm n −⋅ n m N∈ m n≤ m nC mn nC − m nC 1−m nC m nC 1+ 10 =nC 11m m n n n mC Cm −− += 1 m m n n nC Cn m −= − 1 1 m m n n nC Cm − −= ∑ = n r r nC 0 n2 1 121 + +++ =++++ r n r n r r r r r r CCCCC  nn n r nnnn CCCCC 2210 =++++++  1420531 2 −+++=+++ n nnnnnn CCCCCC  1321 232 −=++++ nn nnnn nnCCCC  r nm r n r mn r mn r m CCCCCCC + − =+++ 0110  n n n nnnn CCCCC 2 2222120 )()()()( =++++  m m n nA m C= ⋅！ n m 1 1 − − m nA 1 1 − −− m n m n AA 1 1 1 1 − −−= m nn AA 1 1 1 11 − −−− += m nm m n AAA )( nmkk ≤≤ km kn k k AA − − n k k kn kn AA 1 1 +− +− 1+≤ hk k h h h AA 1+ m n 1+> mn 1+≤ mn n mn n n m CA A 1 1 + + = 第 95 页 （4）两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为 . 158．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的 、 个物件等分给 个人，各得 件，其分配方法数共有 . （2）(平均分组无归属问题)将相异的 · 个物体等分为无记号或无顺序的 堆，其分配方法数共有 . （3）(非平均分组有归属问题)将相异的 个物体分给 个人，物件必须被分完， 分别得到 ， ，…， 件，且 ， ，…， 这 个数彼此不相等，则其分配方法数共有 . （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的 个物体分给 个人，物件必须被分 完，分别得到 ， ，…， 件，且 ， ，…， 这 个数中分别有 a、b、c、…个相等，则其分 配方法数有 . （5）(非平均分组无归属问题)将相异的 个物体分为任意的 ， ，…， 件无 记号的 堆，且 ， ，…， 这 个数彼此不相等，则其分配方法数有 . （6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的 个物体分为任意的 ， ，…， 件无记号的 堆，且 ， ，…， 这 个数中分别有 a、b、c、…个相等，则其分配方法数有 . （7）(限定分组有归属问题)将相异的 （ ）个物体分给甲、乙、丙，……等 个 人，物体必须被分完，如果指定甲得 件，乙得 件，丙得 件，…时，则无论 ， ，…， 等 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 . 159．“错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 封信与 个信封全部错位的组合数为 . 推广: 个元素与 个位置,其中至少有 个元素错位的不同组合总数为 . 160．不定方程 的解的个数 (1)方程 （ ）的正整数解有 个. (2) 方程 （ ）的非负整数解有 个. (3) 方程 （ ）满足条件 ( , )的非负整数解有 个. n nmC + m n m n m n n n n n nmn n nmn n mn n mnCCCCCN )!( )!( 22 =⋅⋅⋅⋅⋅= −−  m n m m n n n n n nmn n nmn n mn nm mn m CCCCCN )!(! )!( ! ... 22 =⋅⋅⋅⋅= −− )1 2 mP(P=n +n + +n m 1n 2n mn 1n 2n mn m !!...! !!!... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn mpmCCCN m m =⋅⋅= − )1 2 mP(P=n +n + +n m 1n 2n mn 1n 2n mn m !...!! !...2 1 1 cba mCCCN m m n n n np n p ⋅⋅= − 1 2 ! ! ! !... !( ! ! !...)m p m n n n a b c = )1 2 mP(P=n +n + +n 1n 2n mn m 1n 2n mn m !!...! ! 21 mnnn pN = )1 2 mP(P=n +n + +n 1n 2n mn m 1n 2n mn m !...)!!(!!...! ! 21 cbannn pN m = p 2 mp n n n= 1+ + + m 1n 2n 3n 1n 2n mn m !!...! !... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn pCCCN m m =⋅= − n n 1 1 1 1( ) ![ ( 1) ]2! 3! 4! ! nf n n n = − + − + − n n m 1 2 3 4( , ) ! ( 1)! ( 2)! ( 3)! ( 4)! ( 1) ( )! ( 1) ( )! m m m m p p m m m m f n m n C n C n C n C n C n p C n m = − − + − − − + − − + − − + + − −  1 2 3 4 1 2 2 4![1 ( 1) ( 1) ] p m p mm m m m m m p m n n n n n n C C C C C Cn A A A A A A = − + − + − + − + + −  2 nx x x m=1+ + + 2 nx x x m=1+ + + ,n m N ∗∈ 1 1 m nC − − 2 nx x x m=1+ + + ,n m N ∗∈ 1 1 n m nC + − − 2 nx x x m=1+ + + ,n m N ∗∈ ix k≥ k N ∗∈ 2 1i n≤ ≤ − 1 1 ( 2)( 1)m n n kC + − − − − 第 96 页 (4) 方程 （ ）满足条件 ( , ) 的正整数解有 个. 161.二项式定理 ; 二项展开式的通项公式 . 162.等可能性事件的概率 . 163.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 164. 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 165.独立事件 A，B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1） ; （2） . 169.数学期望 170.数学期望的性质 （1） . （2）若 ～ ,则 . (3) 若 服从几何分布,且 ，则 . 171.方差 172.标准差 = . 173.方差的性质 (1) ； (2）若 ～ ，则 . (3) 若 服从几何分布,且 ，则 . 174.方差与期望的关系 . 175.正态分布密度函数 ，式中的实数μ， （ >0）是参数，分别表示个体的平均 数与标准差. 176.标准正态分布密度函数 . 2 nx x x m=1+ + + ,n m N ∗∈ ix k≤ k N ∗∈ 2 1i n≤ ≤ − 1 2 2 2 2 3 2 1 ( 2) 1 1 1 2 1 2 2 1( 1)n m n m n k n m n k n m n k n n n n n nC C C C C C C+ − − + − − − + − − − + − − − − − − − −− + − + − nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ −−−  222110)( rrnr nr baCT − + =1 )210( nr ，，， = ( ) mP A n = n ( ) (1 ) .k k n k n nP k C P P −= − 0( 1,2, )iP i≥ =  1 2 1P P+ + = 1 1 2 2 n nE x P x P x Pξ = + + + +  ( ) ( )E a b aE bξ ξ+ = + ξ ( , )B n p E npξ = ξ 1( ) ( , ) kP k g k p q pξ −= = = 1E p ξ = ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 2 2 n nD x E p x E p x E pξ ξ ξ ξ= − ⋅ + − ⋅ + + − ⋅ +  σξ ξD ( ) 2D a b a Dξ ξ+ = ξ ( , )B n p (1 )D np pξ = − ξ 1( ) ( , ) kP k g k p q pξ −= = = 2 qD p ξ = ( )22D E Eξ ξ ξ= − ( ) ( ) ( ) 2 2261 , , 2 6 x f x e x µ π −− = ∈ −∞ +∞ σ σ ( ) ( ) 2 21 , , 2 6 x f x e xπ −= ∈ −∞ +∞ 第 97 页 177.对于 ，取值小于 x 的概率 . . 178.回归直线方程 ，其中 . 179.相关系数 . |r|≤1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小. 180.特殊数列的极限 （1） . （2） . （3） （ 无穷等比数列 ( )的和）. 181. 函数的极限定理 . 182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x)，g(x)，h(x)在点 x0 的附近满足： （1） ; （2） （常数）, 则 . 本定理对于单侧极限和 的情况仍然成立. 183.几个常用极限 （1） ， （ ）； （2） ， . 184.两个重要的极限 2( , )N µ σ ( ) xF x µ σ − = Φ   ( ) ( ) ( )12201 xxPxxPxxxP