集合问题的类型与解法
我们知道,集合问题是近几年高考的热点问题之一,基本上是每卷必有集合问题的一个五分
小题;从题型上看为选择题或填空题,难度系数较低。纵观近几年的高考试题,集合问题归
结起来主要包括:①集合元素的问题;②集合与集合的关系问题;③集合的运算问题;④集
合的新概念问题等几种类型。各种类型结构上具有各自的特征,解答方法也各不相同,那么
在解答集合问题时,到底应该如何抓住问题的结构特征,快捷,准确地解答问题呢?下面通
过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例 1】解答下列问题:
1、(1)已知集合 A={(x,y)| + =1},B={(x,y)|y=x},则 A∩B 中元素的个
数为( )
A 3 B 2 C 1 D 0
(2)已知集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则 A∩B 中元素的个数为( )
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法;②交集的定义,性质与运算方法;③集合元素的定义与
性质。
【解题思路】(1)运用交集的运算方法,结合集合的表示方法,通运算求出 A∩B,利用元
素的性质就可得出选项;(2)运用交集的运算方法,结合集合的表示方法,通运算求出 A∩
B,利用元素的性质就可得出选项。 y
【详细解答】(1)如图, 由 + =1,得 x= , y=x
y=x, y= , x
或 x=- , A∩B={( , ),(- ,- )},
y=- , B 正确, 选 B;(2) A∩B={2,4}, B 正确, 选 B。
2、已知集合 A={1,2},B={a, +3},若 A∩B={1},则实数 a 的值为 ;
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法;②交集的定义,性质与运算方法;③集合相等的定义与
性质;④方程的定义与解法。
【解题思路】运用交集的运算方法和集合的表示方法,结合问题条件可知 1 B,由 +3
3,从而得到 a=1。
【详细解答】 A∩B={1}, 1 B, +3 3, a=1。
3、设集合 A={x|1≤x≤5},Z 为整数集,则集合 A∩Z 中元素的个数是( )
2x 2y
2x 2y 2
2
2
2
2
2
∴ 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
⇒ ∴ ⇒ ∴
2a
∈ 2a ≥
∴ ∈
2a ≥ ∴
OA 6 B 5 C 4 D 3
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法;②交集的定义,性质与运算方法;③集合元素的定义与
性质。
【解题思路】运用交集的运算方法和集合的表示方法,结合问题条件通过运算求出 A∩Z,
利用元素的性质就可得出选项。
【详细解答】 A={x|1≤x≤5},Z 为整数集, A∩Z={1,2,3,4,5}, B 正确,
选 B。
4、设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的个数为( )
A 3 B 4 C 5 D 6
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法;②集合元素的定义与性质。
【解题思路】运用集合的表示方法,结合问题条件,求出集合 M,利用元素的性质就可得出
选项。
【详细解答】 1+4=5,1+5=6,2+4=6,2+5=7,3+4=7,3+5=8, M={x|x=a+b,a∈A,b∈
B}={5,6,7,8}, B 正确, 选 B。
5、(1)已知集合 M={1,2,zi},i 为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数 z=()
A -2i B 2i C -4i D 4i
(2)若集合 A={x∈R|a +ax+1=0}中只有一个元素,则 a=()
A 4 B 2 C 0 D 0 或 4
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法;②交集的定义,性质与运算方法;③复数的定义与运算;
④一元二次方程的定义与解法;⑤参数分类的原则与方法。
【解题思路】(1)设 Z=a+bi,运用交集的运算方法和集合的表示方法,结合问题条件可得
zi=4,利用复数的运算方法,结合问题条件求出 a,b 的值就可得出选项;(2)运用集合的
表示方法,结合问题条件可知方程 a +ax+1=0 只有一个根,利用参数分类的原则和方法,
分情况求出 a 的值就可得出选项。
【详细解答】(1)Z=a+bi, 集合 M={1,2,zi},i 为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},
zi=(a+bi)i=ai+b =-b+ai=4, -b=4,a=0, b=-4,a=0, Z=-4i, C 正确,
选 C;(2) 集合 A={x∈R|a +ax+1=0}中只有一个元素, 方程 a +ax+1=0 只有一
个根,①当 a=0 时,a +ax+1=0 1=0,显然等式不成立,此时无解;②当 a 0 时,
方程 a +ax+1=0 只有一个根, = -4a=0, a=0 或 a=4, a 0, a=4, 综上
所述,当集合 A={x∈R|a +ax+1=0}中只有一个元素时,a=4, A 正确, 选 A。
6、设常数 a∈R,集合 A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若 A∪B=R,则 a 的取值范
围为( )
A (-∞,2) B (-∞,2〕 C (2,+∞) D 〔2,+∞)
【解析】
∴ ⇒ ∴
∴
⇒ ∴
2x
2x
∴ 2i ⇒ ⇒ ∴ ⇒ ∴
2x ∴ 2x
2x ⇔ ≠
2x ∴ ∆ 2a ⇒ ≠ ∴ ∴
2x ⇒ ∴【知识点】①集合表示的基本方法;②并集的定义,性质与运算方法;③不等式的定义与解
法;④参数分类的原则与基本方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和并集的运算方法,结合问题条件,得到关于参数 a 的不
等式,利用参数分类原则与基本方法分别求解不等式就可得出选项。
【详细解答】①当 a>1 时,如图, A={x|(x-1)(x-a)≥0}
={x|x 1 或 x≥a}, B={x |x≥a-1}, A∪B=R, 0 a-1 1 a
a-1 1, 1