集合问题的类型与解法
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集合问题的类型与解法

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时间:2020-12-23

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资料简介
集合问题的类型与解法 我们知道,集合问题是近几年高考的热点问题之一,基本上是每卷必有集合问题的一个五分 小题;从题型上看为选择题或填空题,难度系数较低。纵观近几年的高考试题,集合问题归 结起来主要包括:①集合元素的问题;②集合与集合的关系问题;③集合的运算问题;④集 合的新概念问题等几种类型。各种类型结构上具有各自的特征,解答方法也各不相同,那么 在解答集合问题时,到底应该如何抓住问题的结构特征,快捷,准确地解答问题呢?下面通 过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题: 1、(1)已知集合 A={(x,y)| + =1},B={(x,y)|y=x},则 A∩B 中元素的个 数为( ) A 3 B 2 C 1 D 0 (2)已知集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则 A∩B 中元素的个数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 【解析】 【知识点】①集合表示的基本方法;②交集的定义,性质与运算方法;③集合元素的定义与 性质。 【解题思路】(1)运用交集的运算方法,结合集合的表示方法,通运算求出 A∩B,利用元 素的性质就可得出选项;(2)运用交集的运算方法,结合集合的表示方法,通运算求出 A∩ B,利用元素的性质就可得出选项。 y 【详细解答】(1)如图, 由 + =1,得 x= , y=x y=x, y= , x 或 x=- , A∩B={( , ),(- ,- )}, y=- , B 正确, 选 B;(2) A∩B={2,4}, B 正确, 选 B。 2、已知集合 A={1,2},B={a, +3},若 A∩B={1},则实数 a 的值为 ; 【解析】 【知识点】①集合表示的基本方法;②交集的定义,性质与运算方法;③集合相等的定义与 性质;④方程的定义与解法。 【解题思路】运用交集的运算方法和集合的表示方法,结合问题条件可知 1 B,由 +3 3,从而得到 a=1。 【详细解答】 A∩B={1}, 1 B, +3 3, a=1。 3、设集合 A={x|1≤x≤5},Z 为整数集,则集合 A∩Z 中元素的个数是( ) 2x 2y  2x 2y 2 2 2 2 2 2 ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ ∴  ⇒ ∴ 2a ∈ 2a ≥  ∴ ∈  2a ≥ ∴ OA 6 B 5 C 4 D 3 【解析】 【知识点】①集合表示的基本方法;②交集的定义,性质与运算方法;③集合元素的定义与 性质。 【解题思路】运用交集的运算方法和集合的表示方法,结合问题条件通过运算求出 A∩Z, 利用元素的性质就可得出选项。 【详细解答】 A={x|1≤x≤5},Z 为整数集, A∩Z={1,2,3,4,5}, B 正确, 选 B。 4、设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的个数为( ) A 3 B 4 C 5 D 6 【解析】 【知识点】①集合表示的基本方法;②集合元素的定义与性质。 【解题思路】运用集合的表示方法,结合问题条件,求出集合 M,利用元素的性质就可得出 选项。 【详细解答】 1+4=5,1+5=6,2+4=6,2+5=7,3+4=7,3+5=8, M={x|x=a+b,a∈A,b∈ B}={5,6,7,8}, B 正确, 选 B。 5、(1)已知集合 M={1,2,zi},i 为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数 z=() A -2i B 2i C -4i D 4i (2)若集合 A={x∈R|a +ax+1=0}中只有一个元素,则 a=() A 4 B 2 C 0 D 0 或 4 【解析】 【知识点】①集合表示的基本方法;②交集的定义,性质与运算方法;③复数的定义与运算; ④一元二次方程的定义与解法;⑤参数分类的原则与方法。 【解题思路】(1)设 Z=a+bi,运用交集的运算方法和集合的表示方法,结合问题条件可得 zi=4,利用复数的运算方法,结合问题条件求出 a,b 的值就可得出选项;(2)运用集合的 表示方法,结合问题条件可知方程 a +ax+1=0 只有一个根,利用参数分类的原则和方法, 分情况求出 a 的值就可得出选项。 【详细解答】(1)Z=a+bi, 集合 M={1,2,zi},i 为虚数单位,N={3,4},M∩N={4}, zi=(a+bi)i=ai+b =-b+ai=4, -b=4,a=0, b=-4,a=0, Z=-4i, C 正确, 选 C;(2) 集合 A={x∈R|a +ax+1=0}中只有一个元素, 方程 a +ax+1=0 只有一 个根,①当 a=0 时,a +ax+1=0 1=0,显然等式不成立,此时无解;②当 a 0 时, 方程 a +ax+1=0 只有一个根, = -4a=0, a=0 或 a=4, a 0, a=4, 综上 所述,当集合 A={x∈R|a +ax+1=0}中只有一个元素时,a=4, A 正确, 选 A。 6、设常数 a∈R,集合 A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若 A∪B=R,则 a 的取值范 围为( ) A (-∞,2) B (-∞,2〕 C (2,+∞) D 〔2,+∞) 【解析】  ∴ ⇒ ∴  ∴ ⇒ ∴ 2x 2x  ∴ 2i ⇒ ⇒ ∴ ⇒ ∴  2x ∴ 2x 2x ⇔ ≠  2x ∴ ∆ 2a ⇒  ≠ ∴ ∴ 2x ⇒ ∴【知识点】①集合表示的基本方法;②并集的定义,性质与运算方法;③不等式的定义与解 法;④参数分类的原则与基本方法。 【解题思路】运用集合的表示方法和并集的运算方法,结合问题条件,得到关于参数 a 的不 等式,利用参数分类原则与基本方法分别求解不等式就可得出选项。 【详细解答】①当 a>1 时,如图, A={x|(x-1)(x-a)≥0} ={x|x 1 或 x≥a}, B={x |x≥a-1}, A∪B=R, 0 a-1 1 a a-1 1, 1

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