直线方程问题的类型与解法
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直线方程问题的类型与解法

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直线方程问题的类型与解法 大家知道,直线方程问题是近几年高考的热点内容之一,可以这样毫不夸张地说,每年高考 试卷中,圆锥曲线的大题基本上都会涉及到直线方程的相关内容。纵观近几年高考试卷,归 结起来直线方程问题主要包括:①直线的倾斜角和斜率;②直线方程的求法等几种类型。各 种类型问题结构上具有一定的特征,解答思路与方法也各不相同。那么在具体解答直线方程 问题时,到底应该如何抓住问题的结构特征,快捷准确地解答问题呢?下面通过典型例题的 详细解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题: 1、直线 y= x+1 的倾斜角为( ) A B C D 【解析】 1、【知识点】①直线方程的定义与常见形式;②确定一般式直线方程斜率的基本方法;③直 线倾斜角的定义与性质;④正切函数的图像与性质。 【解题思路】运用确定一般式直线方程斜率的基本方法,结合问题条件求出直线的斜率,利 用正切函数的图像与性质求出直线的倾斜角理科得出选项。 【详细解答】设直线的倾斜角为 , 直线 y= x+1, k=tan = , ≤ < , = , C 正确, 选 C; 2、已知直线 l 的倾斜角为 ,且 ≤ < ,直线 L 的斜率的取值范围是( ) A 〔0,+∞) B (-∞,+∞) C (-1,+∞) D (-∞,-1)∪〔0,+∞) 【解析】 【知识点】①直线倾斜角的定义与性质;②已知直线倾斜角求直线斜率的方法;③正切函数 的图像与性质。 【解题思路】运用已知直线倾斜角求直线斜率的方法,正切 y 函数的图像与性质,问题条件求出直线斜率的取值范围,就 1 可得出选项。 【详细解答】 直线 L 的倾斜角为 ,且 ≤ < , 0 x 函数 y=tanx,x [ , )的图像如图所示,由图 -1 k=tan 的取值范围为(-∞,-1)∪〔0,+∞), D 正确, 选 D。 3、直线 l 经过 A(2,1),B(1, )(m R)两点,那么直线 L 的倾斜角 的取值范围 是( ) A 0≤ < B 0≤ ≤ 或 < < C 0≤ ≤ D ≤ < 或 < < 【解析】 【知识点】①直线倾斜角的定义与性质;②已知直线上两点的坐标,求直线斜率的基本方法; ③求函数值域的基本方法,④正切函数的图像与性质。 3 .30 .45 .60 135。 α  3 ∴ α 3  0。 α 180。 ∴α .60 ⇒ ∴ α 0。 α 135。  α 0。 α 135。 2 π 3 4 π π ∴ ∈ 0。 135。 α ⇒ ∴ 2m ∈ α α π α 4 π 2 π α π α 4 π 4 π α 2 π 2 π α π【解题思路】运用已知直线上两点的坐标,求直线斜率的基本方法,结合问题条件得到直线 斜率关于参数 m 的函数,根据求函数值域的基本方法求出直线斜率的取值范围,利用正切函 数的图像与性质确定直线倾斜角的取值范围就可得出选项。 【详细解答】 直线 l 经过 A(2,1),B(1, )两点, k=tan = =1- , m R, k=tan =1- 1, 0≤ ≤ 或 < < , B 正确, 选 B。 4、已知直线 PQ 的斜率为- ,将直线绕点 P 顺时针旋转 所得直线的斜率是( ) A 0 B C D - 【解析】 【知识点】①直线倾斜角的定义与性质;②已知直线倾斜角,求直线斜率的基本方法;③已 知直线斜率,确定直线倾斜角的基本方法;④直线绕定点旋转的定义与性质。 【解题思路】运用已知直线斜率,确定直线倾斜角的 y 基本方法确定直线旋转前的倾斜角,根据直线绕定点 旋转的性质确定直线旋转后的倾斜角,利用已知直线 倾斜角,求直线斜率的基本方法求出直线的斜率就可 O P x 得出选项。 【详细解答】 直线 PQ 的斜率为- , 直线 PQ 的倾斜角为 ,设直线 PQ 与 X 轴相 较于点 P,如图当直线 PQ 绕点 P 顺时针旋转 时,直线 P 的倾斜角为 , k=tan = , C 正确, 选 C。 5、如果直线 l 沿 X 轴负方向平移 3 个单位,再沿 Y 轴正方向平移 1 个单位后又回到原来的 位置,求直线 l 的斜率 k; 【解析】 【知识点】①直线方程的定义与常见形式;②直线平移的定义与性质;③待定系数法及运用。 【解题思路】不失一般性设直线 l 的方程为:y=kx+b,运用直线平移的性质,结合问题条件 得到平移后直线的方程,利用待定系数法的基本方法得到关于 k,b 的方程组,求解方程组 就可求出 k 的值。 【详细解答】不失一般性设直线 l 的方程为:y=kx+b, =k(x+3)+b+1=kx+3k+b+1= kx+b, 3k+b+1=b, k=- 。 6、已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),直线 L 的倾斜角是直线 AB 的倾斜角的一半,求直 线 L 的斜率 k; 【解析】 【知识点】①已知直线上两点坐标,求直线斜率的基本方法;②三角函数二倍角公式及运用。  2m ∴ α 21 m 2 1 − − 2m  ∈ ∴ α 2m ≤ ⇒ α 4 π 2 π α π ⇒ ∴ 3 60。 3 3 3 3 .120 .60  3 ∴ .120 .60 Q′ .60 ∴ .60 3 ⇒ ∴  y′ ∴ ⇒ 1 3【解题思路】运用已知直线上两点坐标,求直线斜率的基本方法,结合问题条件求出直线 AB 的斜率,利用三角函数二倍角公式得到关于直线 l 斜率 k 的方程,求解方程,结合问题条件 就可求出 k 的值。 【详细解答】设直线 l 的倾斜角为 , A(-1,-5),B(3,-2), 直线 AB 的斜率为 = , k=tan ,直线 L 的倾斜角是直线 AB 的倾斜角的一半, = , 3 +8k-3=0, k=-3 或 k= , < < , k= 。 7、设 M(2,-5),N(-3,,2),直线 L 过点 P(1,1),若 L 与线段 MN 有交点,则斜率 k 的取值范围是多少?倾斜角 的取值范围是多少? 【解析】 【知识点】①已知直线上两点坐标,求直线斜率的基本方法;②过定点的直线与相等相交的 定义与性质;③正切函数的图像与性质。 【解题思路】运用已知直线上两点坐标,求直线斜率的基本方法,结合问题条件分别求出直 线 PM,PN 的斜率,利用定点的直线与相等相交的性质,结合正切函数的图像与性质就可求 出直线 l 斜率的取值范围,从而得出直线 k 倾斜角 的取值范围。 【详细解答】如图, 直线 PM,PN 的斜率分别 N(-3,2)y 为: =-6, =- ,直线 L 过点 P(1, P(1,1) 1),且与线段 MN 有交点, k -6 或 k - , 0 x 直线 l 倾斜角 的取值范围是[0,arctan(-6)] [ arctan(- ), )。 8、已知函数 f(x)=asinx-bcosx 的图像的一条对称轴方程是 x= ,求直线 ax-by+c=0 的倾斜 角的正切值; 【解析】 【知识点】①三角函数辅助角公式及运用;②正弦函数的图像与性质;③求直线方程一般式 斜率的基本方法。 【解题思路】运用三角函数辅助角公式,结合问题条件得到正弦型函数,根据正弦型函数处 理的基本方法,结合正弦函数的图像与性质求出 的值,利用求直线方程一般式斜率的基 本方法就可求出直线倾斜角的正切值。 【详细解答】设直线 ax-by+c=0 的倾斜角为 , f(x)=asinx-bcosx= sin(x- )(tan = )的图像的一条对称轴方程是 x= , x- =k + , =- k - (k Z), tan = =tan(- k - )=-tan =-1, tan =k= =-1, 直线 ax-by+c=0 的倾斜 角为 的正切值为-1。 10、设直线 L 的方程为 2x+By-1=0,倾斜角为 。 (1)试将 的正切值表示为 B 的函数; α  ∴ 5 2 1 3 − − − − − ( ) 3 4  α ∴ 2 2k 1 k− 3 4 ⇒ 2k ∴ 1 3  .0 α .90 ∴ 1 3 α α  5 1 2 1 − − − 2 1 3 1 − − − 1 4 ∴ ≤ ≥ 1 4 ⇒ α  1 4 π 4 π b a α  2 2a b+ ϕ ϕ b a 4 π ∴ ϕ π 2 π ⇒ ϕ π 4 π ∈ ∴ ϕ b a π 4 π 4 π  α a b ∴ α α α(2)若 < < ,试求 B 的取值范围; (3)若 B∈(-∞,-2)∪(2,+∞),求 的取值范围。 【解析】 【知识点】①求直线方程一般式斜率的基本方法;②已知直线倾斜角,求直线斜率的基本方 法;③已知直线斜率,求直线倾斜角的基本方法;④求函数值域的基本方法。 【解题思路】(1)运用求直线方程一般式斜率的基本方法,结合问题条件就可求出直线倾斜 角正切值关于 B 的函数;(2)运用已知直线倾斜角,求直线斜率的基本方法,结合问题条 件求出直线斜率的取值范围,根据直线斜率公式就可求出 B 的取值范围;(3)利用求函数 值域的基本方法,结合(1)的函数式求出直线斜率的取值范围,从而就可求出直线倾斜角 的取值范围。 【详细解答】(1) 直线 l 的斜率 k= tan =- , 直线倾斜角 的正切值表示为 B 的 函数是 tan =- ;(2) < < , k= tan =- 的取值范围为(- ,- ) ( ,+ ), B 的取值范围为(-2 ,0) (0, );(3) B∈ (-∞,-2)∪(2,+∞), k= tan =- 的取值范围为(-1,0) (0,1), 直线 l 倾斜角 的取值范围为(0, ) ( , )。 『思考问题 1』 (1)【典例 1】是与直线倾斜角,直线斜率相关的问题,解答这类问题需要理解直线倾斜角 的定义,掌握求直线斜率的公式和基本方法; (2)直线的倾斜角是 X 轴绕直线与 X 轴的交点(条件是直线与 X 轴相交)按逆时针方向 旋转到与直线重合时转动的最小正角,求倾斜角的取值范围的基本方法是:①根据问题条件, 运用求直线斜率的基本方法求出直线斜率的取值范围;②利用正切函数的图像和性质确定直 线倾斜角的取值范围; (3)直线的倾斜角有两个特殊情况:①直线与 X 轴平行或重合时,倾斜角 =0;②直线与 Y 轴平行或重合时,倾斜角 = ; (4)已知直线的倾斜角 ,求直线的斜率可直接运用公式 k=tan ,但应注意这个故事的 条件是 ; (5)在求直线的斜率时,应根据题给的条件选用恰当的公式和方法,常用求直线斜率的基 本方法有:①已知直线倾斜角,运用公式 k=tan ( );②已知直线上两点的坐标 A ( , ),B( , ),运用公式 k= ( 0);③已知直线的方向向量 =(m,n),运用公式 k= (n 0);④已知直线的一般式方程 Ax+By+C=0,运用公式 k=- 6 π α 2 3 π α  α 2 B ∴ α α 2 B  6 π α 2 3 π ∴ α 2 B ∞ 3  3 3 ∞ ⇒ 3  2 3 3  ∴ α 2 B  ⇒ α 4 π  3 4 π π α α 2 π α α α ≠ 2 π α α ≠ 2 π 1x 1y 2x 2y 2 1 2 1 y y x x − − 2 1x x− ≠ a m n ≠(B 0)。 〔练习 1〕解答下列问题: 1、直线 x+3y+1=0 的倾斜角是( ) A B C D 2、直线 2x-y-2=0 绕它与 Y 轴的交点逆时针方向旋转 所得的直线方程是( ) A -x+2y-4=0 B x+2y-4=0 C -x+2y+4=0 D x+2y-4=0 3、若点 A(2,-3)是直线 x+ y+ =0 和 x+ y+ =0( = =1)的公共点,则相异两点 ( , )和( , )所确定的直线方程是( ) A 2x-3y+1=0 B 3x-2y+1=0 C 2x-3y-1=0 D 3x-2y-1=0 4、过点 P(-1,2),且方向向量为 =(-1,2)的直线方程是( ) A 2x+y=0 B x-2y+5=0 C x-2y=0 D x+2y-5=0 5、直线 Ax+By+C=0 的倾斜角是 ,则 A=( ) A B B - B C B D - B 6、设点 A(-2,3),B(-3,2),若直线 y=ax+2 与线段 AB 有公共点,则 a 的取值范围是 ; 7、已知直线 L 的方向向量是 =(-1, ),求直线 L 的斜率与倾斜角; 8、方程(x-2a)(2x+ay-2)=0 表示什么曲线?如果是直线,求直线的斜率和倾斜角。 【典例 2】解答下列问题: 1、过点(3,1)且与直线 x-2y-3=0 垂直的直线方程是( ) A 2x+y-7=0 B x+2y-5=0 C x-2y-1=0 D 2x-y-5=0 【解析】 【知识点】①直线点斜式方程及运用;②求直线一般式方程斜率的基本方法;③两条直线垂 直的充分必要条件。 【解题思路】运用求直线一般式方程斜率的基本方法,结合问题条件求出已知直线的斜率, 根据两条直线垂直的充分必要条件求出所求直线的斜率,利用直线的点斜方程就可求出所求 直线的方程。 【详细解答】设直线 x-2y-3=0 的斜率为 ,所求直线的斜率为 , =- = ,所求 直线与直线 x-2y-3=0 垂直, . =-1, =-2, 过点(3,1)且与直线 x-2y-3=0 垂 直的直线方程是:y-1=-2(x-3),即 2x+y-7=0, A 正确, 选 A。 2、过,点 P(1,1)的直线将圆形区域 分为两部分,使得这两部分的面 积之差最大,则该直线方程为( ) A B ≠ 3 .30 .60 .120 .150 2 π 1a 1b 1c 2a 2b 2c 1c 2c 1a 1b 2a 2b a 120。 3 3 1 3 1 3 a 3 1k 2k  1k 1 2− 1 2 ∴ 1k 2k ⇒ 2k ∴ ⇒ ∴ { }2 2, )| 4y+ ≤(x y xA x+y-2=0 B y-1=0 C x-y=0 D x+3y-4=0 【解析】 【知识点】①直线点斜式方程及运用;②圆的定义与性质;③两条直线垂直的充分必要条件。 【解题思路】运用圆的性质,两条直线垂直的充分必要条件,结合问题条件求出所求直线的 斜率,利用直线的点斜方程就可求出所求直线的方程。 【详细解答】如图,设过点 P(1,1)和点(0,0)直线 y 的斜率为 ,所求直线的斜率为 , = =1, . =-1, =-1, 过,点 P(1,1)的直线将圆形区域 x 分为两部分,使得这两部分的面积之差 最大,则该直线方程为:y-1=-(x-1),即 x+y-2=0, A 正确, 选 A。 3、直线 L 经过点 P(3,0),且它夹在两直线 :2x-y-2=0 与 :x+y+3=0 之间的线段 AB 恰好被点 P 平分,求直线 L 的方程; 【解析】 【知识点】①直线点斜式方程及运用;②求两条直线交点坐标的基本方法;③线段中点的定 义与性质。 【解题思路】运用求两条直线交点坐标的基本方法,结合问题条件求出所求直线已知两条直 线的交点坐标,根据线段中点的性质求出所求直线的斜率,利用直线的点斜方程就可求出所 求直线的方程。 A 【详细解答】如图,设所求直线的斜率为 k, y 直线 l 过点 P(3,0), 直线 l 的方程为:kx-y -3k=0,由 kx-y-3k=0, kx-y-3k=0,得 A( , 0 1 2 3 x 2x-y-2=0, x+y+3=0, ),B ( , ),线段 AB 恰好被点 P 平分, B + =0, k=0 或 k= ,k=0 时,与题意不符应舍去, k= , 直线 l 的 方程为:4x-5y-12=0。 4、已知点 P 到两个定点 M(-1,0),N(1,0)距离的比为 ,点 N 到直线 PM 的距离为 1, 求直线 PN 的方程; 【解析】 【知识点】①直线点斜式方程及运用;②两点之间的距离的定义与性质;③点到直线的距离 的定义与性质;④余弦定理及运用;②正切的和角公式及运用。 【解题思路】设直线 PN 的斜率为 ,如图,运用直角三角形的性质,结合问题条件求出 AMN 的值,根据余弦定理,结合问题条件得到关于|PN|的方程,求解方程求出|PN|的值, 从而求出 tan MPN 的值,由正切的和和角公式求出 的值,利用直线的点斜式方程就 1k 2k  1k 1 0 1 0 − − 1k 2k ∴ 2k ⇒ { }2 2, )| 4y+ ≤(x y x ⇒ ∴ 1L 2L ∴ 3 2 2 k k − − 4 2 k k − 3( 1) 1 k k − + 6 1 k k + ∴ 4 2 k k − 6 1 k k + ⇒ 4 5 ∴ 4 5 ⇒ 2 1k ∠ ⇒ ∠ 1k P(1,1) O 可求出直线 PN 的方程。 【详细解答】设直线 PN 的斜率为 ,如图, 点 N y P 到直线 PM 的距离为 1,|MN|=2, |NA|=1, MA A N= , AMN= , 点 P 到两个定点 M(-1, M 0 N x 0),N(1,0)距离的比为 , |PN| =4+2|PN| -2 2 |PN| , |PN|= ( +1), sin MPN= = = , tan MPN=2- , = tan( MPN+ AMN)= =1, 直线 PN 的方程为:x-y-1=0。 5、已知两直线 x+ y+1=0 和 x+ y+1=0 的交点为 P(2,3),求过两点 ( , ) 和 ( , )( ≠ )的直线方程; 【解析】 【知识点】①直线两点式方程及运用;②两条直线交点的定义与性质。 【解题思路】运用求直线一般式方程斜率的基本方法,结合问题条件求出已知直线的斜率, 根据两条直线垂直的充分必要条件求出所求直线的斜率,利用直线的点斜方程就可求出所求 直线的方程。 【详细解答】 两直线 x+ y+1=0 和 x+ y+1=0 的交点为 P(2,3), 2 +3 +1=0, 2 +3 +1=0, 2( - )+3( - )=0, =- , y- =- (x- ), 3y-3 =-2x+2 =0 , 过 两 点 ( , ) 和 ( , )( ≠ ) 的 直 线 方 程 为 : 2x+3y+1=0。 6、过点 M(1,-2)作直线 L,使点 B(2,1)到直线 L 的距离等于 1,求直线 L 的方程; 【解析】 【知识点】①直线点斜式方程及运用;②点到直线的距离公式及运用。 【解题思路】设直线 l 的斜率为 k,运用点到直线的距离公式,结合问题条件求出所求直线 的斜率,利用直线的点斜方程就可求出所求直线的方程。 【详细解答】设直线 l 的斜率为 k, 直线 l 过点 M(1,-2), 直线 l 的方程为:y+2=k (x-1), kx-y-k-2=0, 点 B(2,1)到直线,l 的距离等于 1, =1, 1k  ∴ ∠ .90 ⇒ ∠ .30  2 ∴ 2 2 × × 2 × 3 2 ⇒ 2 3 ∴ ∠ | | | | AN PN 1 2( 3 1)+ 2( 3 1) 4 − ⇒ ∠ 3 ∴ 1k ∠ ∠ 6 3 3 3 3 2 3 3 − + − + ∴ 1a 1b 2a 2b 1Q 1a 1b 2Q 2a 2b 1a 2a  1a 1b 2a 2b ∴ 1a 1b 2a 2b ⇒ 1a 2a 1b 2b ∴ 1 2 1 2 b b a a − − 2 3 1b 2 3 1a ⇒ 1b 1a ∴ 1Q 1a 1b 2Q 2a 2b 1a 2a  ∴ ⇒  ∴ 2 | 2 1 2 | 1 k k k − − − + ⇒K= , 直线 l 的方程是:4x-3y-10=0。 7、直线 L 过点 M(2,1),且分别于 X 轴、Y 轴正半轴相交于 A、B 两点,O 为坐标原点。 (1)当 的面积最小时,求直线 L 的方程; (2)当|MA|.|MB|最小时,求直线 L 的方程。 【解析】 【知识点】①直线点斜式方程及运用;②三角形面积公式及运用;③两点之间距离公式及运 用;④求函数最值的基本方法。 【解题思路】(1)如图,运用三角形的面积公式,结合问题条件得到 面积关于参数 a,b 的表示式,根据求函数最值的基本方法求出 a,b 的值就可求出所求直线的方程;(2) 运用两点之间的距离公式,结合问题条件得到|MA|.|MB|关于参数 a,b 的表示式,根据求函 数最值的基本方法求出 a,b 的值就可求出所求直线的方程。 【详细解答】(1)如图,设直线 AB 的斜率为 k, y 直线 AB 过点 M(2,1), 直线 AB 的方程为:y-1 =k(x-2), kx-y-2k+1=0, A(2- ,0),B(0, B M(2,1) 1-2k), = |OA|.|OB|= (2- )(1-2k)= 0 A x (4-4k- ) 2+2 2+4=6,当且仅当-4k=- ,即 k= 时,等号成立, k

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