直线方程问题的类型与解法
大家知道,直线方程问题是近几年高考的热点内容之一,可以这样毫不夸张地说,每年高考
试卷中,圆锥曲线的大题基本上都会涉及到直线方程的相关内容。纵观近几年高考试卷,归
结起来直线方程问题主要包括:①直线的倾斜角和斜率;②直线方程的求法等几种类型。各
种类型问题结构上具有一定的特征,解答思路与方法也各不相同。那么在具体解答直线方程
问题时,到底应该如何抓住问题的结构特征,快捷准确地解答问题呢?下面通过典型例题的
详细解析来回答这个问题。
【典例 1】解答下列问题:
1、直线 y= x+1 的倾斜角为( )
A B C D
【解析】
1、【知识点】①直线方程的定义与常见形式;②确定一般式直线方程斜率的基本方法;③直
线倾斜角的定义与性质;④正切函数的图像与性质。
【解题思路】运用确定一般式直线方程斜率的基本方法,结合问题条件求出直线的斜率,利
用正切函数的图像与性质求出直线的倾斜角理科得出选项。
【详细解答】设直线的倾斜角为 , 直线 y= x+1, k=tan = , ≤ <
, = , C 正确, 选 C;
2、已知直线 l 的倾斜角为 ,且 ≤ < ,直线 L 的斜率的取值范围是( )
A 〔0,+∞) B (-∞,+∞) C (-1,+∞) D (-∞,-1)∪〔0,+∞)
【解析】
【知识点】①直线倾斜角的定义与性质;②已知直线倾斜角求直线斜率的方法;③正切函数
的图像与性质。
【解题思路】运用已知直线倾斜角求直线斜率的方法,正切 y
函数的图像与性质,问题条件求出直线斜率的取值范围,就 1
可得出选项。
【详细解答】 直线 L 的倾斜角为 ,且 ≤ < , 0 x
函数 y=tanx,x [ , )的图像如图所示,由图 -1
k=tan 的取值范围为(-∞,-1)∪〔0,+∞), D 正确, 选 D。
3、直线 l 经过 A(2,1),B(1, )(m R)两点,那么直线 L 的倾斜角 的取值范围
是( )
A 0≤ < B 0≤ ≤ 或 < < C 0≤ ≤ D ≤ < 或 < <
【解析】
【知识点】①直线倾斜角的定义与性质;②已知直线上两点的坐标,求直线斜率的基本方法;
③求函数值域的基本方法,④正切函数的图像与性质。
3
.30 .45 .60 135。
α 3 ∴ α 3 0。 α
180。 ∴α .60 ⇒ ∴
α 0。 α 135。
α 0。 α 135。
2
π 3
4
π π
∴ ∈ 0。 135。
α ⇒ ∴
2m ∈ α
α π α
4
π
2
π α π α
4
π
4
π α
2
π
2
π α π【解题思路】运用已知直线上两点的坐标,求直线斜率的基本方法,结合问题条件得到直线
斜率关于参数 m 的函数,根据求函数值域的基本方法求出直线斜率的取值范围,利用正切函
数的图像与性质确定直线倾斜角的取值范围就可得出选项。
【详细解答】 直线 l 经过 A(2,1),B(1, )两点, k=tan = =1- ,
m R, k=tan =1- 1, 0≤ ≤ 或 < < , B 正确, 选 B。
4、已知直线 PQ 的斜率为- ,将直线绕点 P 顺时针旋转 所得直线的斜率是( )
A 0 B C D -
【解析】
【知识点】①直线倾斜角的定义与性质;②已知直线倾斜角,求直线斜率的基本方法;③已
知直线斜率,确定直线倾斜角的基本方法;④直线绕定点旋转的定义与性质。
【解题思路】运用已知直线斜率,确定直线倾斜角的 y
基本方法确定直线旋转前的倾斜角,根据直线绕定点
旋转的性质确定直线旋转后的倾斜角,利用已知直线
倾斜角,求直线斜率的基本方法求出直线的斜率就可 O P x
得出选项。
【详细解答】 直线 PQ 的斜率为- , 直线 PQ 的倾斜角为 ,设直线 PQ 与 X 轴相
较于点 P,如图当直线 PQ 绕点 P 顺时针旋转 时,直线 P 的倾斜角为 , k=tan
= , C 正确, 选 C。
5、如果直线 l 沿 X 轴负方向平移 3 个单位,再沿 Y 轴正方向平移 1 个单位后又回到原来的
位置,求直线 l 的斜率 k;
【解析】
【知识点】①直线方程的定义与常见形式;②直线平移的定义与性质;③待定系数法及运用。
【解题思路】不失一般性设直线 l 的方程为:y=kx+b,运用直线平移的性质,结合问题条件
得到平移后直线的方程,利用待定系数法的基本方法得到关于 k,b 的方程组,求解方程组
就可求出 k 的值。
【详细解答】不失一般性设直线 l 的方程为:y=kx+b, =k(x+3)+b+1=kx+3k+b+1=
kx+b, 3k+b+1=b, k=- 。
6、已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),直线 L 的倾斜角是直线 AB 的倾斜角的一半,求直
线 L 的斜率 k;
【解析】
【知识点】①已知直线上两点坐标,求直线斜率的基本方法;②三角函数二倍角公式及运用。
2m ∴ α
21 m
2 1
−
−
2m
∈ ∴ α 2m ≤ ⇒ α
4
π
2
π α π ⇒ ∴
3 60。
3
3 3 3
.120
.60
3 ∴ .120
.60 Q′ .60 ∴ .60
3 ⇒ ∴
y′
∴ ⇒ 1
3【解题思路】运用已知直线上两点坐标,求直线斜率的基本方法,结合问题条件求出直线 AB
的斜率,利用三角函数二倍角公式得到关于直线 l 斜率 k 的方程,求解方程,结合问题条件
就可求出 k 的值。
【详细解答】设直线 l 的倾斜角为 , A(-1,-5),B(3,-2), 直线 AB 的斜率为
= , k=tan ,直线 L 的倾斜角是直线 AB 的倾斜角的一半, = ,
3 +8k-3=0, k=-3 或 k= , < < , k= 。
7、设 M(2,-5),N(-3,,2),直线 L 过点 P(1,1),若 L 与线段 MN 有交点,则斜率 k
的取值范围是多少?倾斜角 的取值范围是多少?
【解析】
【知识点】①已知直线上两点坐标,求直线斜率的基本方法;②过定点的直线与相等相交的
定义与性质;③正切函数的图像与性质。
【解题思路】运用已知直线上两点坐标,求直线斜率的基本方法,结合问题条件分别求出直
线 PM,PN 的斜率,利用定点的直线与相等相交的性质,结合正切函数的图像与性质就可求
出直线 l 斜率的取值范围,从而得出直线 k 倾斜角 的取值范围。
【详细解答】如图, 直线 PM,PN 的斜率分别 N(-3,2)y
为: =-6, =- ,直线 L 过点 P(1, P(1,1)
1),且与线段 MN 有交点, k -6 或 k - , 0 x
直线 l 倾斜角 的取值范围是[0,arctan(-6)]
[ arctan(- ), )。
8、已知函数 f(x)=asinx-bcosx 的图像的一条对称轴方程是 x= ,求直线 ax-by+c=0 的倾斜
角的正切值;
【解析】
【知识点】①三角函数辅助角公式及运用;②正弦函数的图像与性质;③求直线方程一般式
斜率的基本方法。
【解题思路】运用三角函数辅助角公式,结合问题条件得到正弦型函数,根据正弦型函数处
理的基本方法,结合正弦函数的图像与性质求出 的值,利用求直线方程一般式斜率的基
本方法就可求出直线倾斜角的正切值。
【详细解答】设直线 ax-by+c=0 的倾斜角为 , f(x)=asinx-bcosx= sin(x- )(tan
= )的图像的一条对称轴方程是 x= , x- =k + , =- k - (k
Z), tan = =tan(- k - )=-tan =-1, tan =k= =-1, 直线 ax-by+c=0 的倾斜
角为 的正切值为-1。
10、设直线 L 的方程为 2x+By-1=0,倾斜角为 。
(1)试将 的正切值表示为 B 的函数;
α ∴
5 2
1 3
− − −
− −
( ) 3
4 α ∴ 2
2k
1 k−
3
4
⇒ 2k ∴ 1
3
.0 α .90 ∴ 1
3
α
α
5 1
2 1
− −
−
2 1
3 1
−
− −
1
4
∴ ≤ ≥ 1
4
⇒ α
1
4
π
4
π
b
a
α
2 2a b+ ϕ
ϕ b
a 4
π ∴ ϕ π
2
π ⇒ ϕ π
4
π ∈
∴ ϕ b
a
π
4
π
4
π
α a
b
∴
α
α
α(2)若 < < ,试求 B 的取值范围;
(3)若 B∈(-∞,-2)∪(2,+∞),求 的取值范围。
【解析】
【知识点】①求直线方程一般式斜率的基本方法;②已知直线倾斜角,求直线斜率的基本方
法;③已知直线斜率,求直线倾斜角的基本方法;④求函数值域的基本方法。
【解题思路】(1)运用求直线方程一般式斜率的基本方法,结合问题条件就可求出直线倾斜
角正切值关于 B 的函数;(2)运用已知直线倾斜角,求直线斜率的基本方法,结合问题条
件求出直线斜率的取值范围,根据直线斜率公式就可求出 B 的取值范围;(3)利用求函数
值域的基本方法,结合(1)的函数式求出直线斜率的取值范围,从而就可求出直线倾斜角
的取值范围。
【详细解答】(1) 直线 l 的斜率 k= tan =- , 直线倾斜角 的正切值表示为 B 的
函数是 tan =- ;(2) < < , k= tan =- 的取值范围为(- ,-
) ( ,+ ), B 的取值范围为(-2 ,0) (0, );(3) B∈
(-∞,-2)∪(2,+∞), k= tan =- 的取值范围为(-1,0) (0,1), 直线 l
倾斜角
的取值范围为(0, ) ( , )。
『思考问题 1』
(1)【典例 1】是与直线倾斜角,直线斜率相关的问题,解答这类问题需要理解直线倾斜角
的定义,掌握求直线斜率的公式和基本方法;
(2)直线的倾斜角是 X 轴绕直线与 X 轴的交点(条件是直线与 X 轴相交)按逆时针方向
旋转到与直线重合时转动的最小正角,求倾斜角的取值范围的基本方法是:①根据问题条件,
运用求直线斜率的基本方法求出直线斜率的取值范围;②利用正切函数的图像和性质确定直
线倾斜角的取值范围;
(3)直线的倾斜角有两个特殊情况:①直线与 X 轴平行或重合时,倾斜角 =0;②直线与
Y 轴平行或重合时,倾斜角 = ;
(4)已知直线的倾斜角 ,求直线的斜率可直接运用公式 k=tan ,但应注意这个故事的
条件是 ;
(5)在求直线的斜率时,应根据题给的条件选用恰当的公式和方法,常用求直线斜率的基
本方法有:①已知直线倾斜角,运用公式 k=tan ( );②已知直线上两点的坐标 A
( , ),B( , ),运用公式 k= ( 0);③已知直线的方向向量
=(m,n),运用公式 k= (n 0);④已知直线的一般式方程 Ax+By+C=0,运用公式 k=-
6
π α 2
3
π
α
α 2
B
∴ α
α 2
B 6
π α 2
3
π ∴ α 2
B
∞
3
3
3
∞ ⇒ 3
2 3
3
∴ α 2
B ⇒
α
4
π
3
4
π π
α
α
2
π
α α
α ≠
2
π
α α ≠
2
π
1x 1y 2x 2y 2 1
2 1
y y
x x
−
− 2 1x x− ≠
a m
n
≠(B 0)。
〔练习 1〕解答下列问题:
1、直线 x+3y+1=0 的倾斜角是( )
A B C D
2、直线 2x-y-2=0 绕它与 Y 轴的交点逆时针方向旋转 所得的直线方程是( )
A -x+2y-4=0 B x+2y-4=0 C -x+2y+4=0 D x+2y-4=0
3、若点 A(2,-3)是直线 x+ y+ =0 和 x+ y+ =0( = =1)的公共点,则相异两点
( , )和( , )所确定的直线方程是( )
A 2x-3y+1=0 B 3x-2y+1=0 C 2x-3y-1=0 D 3x-2y-1=0
4、过点 P(-1,2),且方向向量为 =(-1,2)的直线方程是( )
A 2x+y=0 B x-2y+5=0 C x-2y=0 D x+2y-5=0
5、直线 Ax+By+C=0 的倾斜角是 ,则 A=( )
A B B - B C B D - B
6、设点 A(-2,3),B(-3,2),若直线 y=ax+2 与线段 AB 有公共点,则 a 的取值范围是
;
7、已知直线 L 的方向向量是 =(-1, ),求直线 L 的斜率与倾斜角;
8、方程(x-2a)(2x+ay-2)=0 表示什么曲线?如果是直线,求直线的斜率和倾斜角。
【典例 2】解答下列问题:
1、过点(3,1)且与直线 x-2y-3=0 垂直的直线方程是( )
A 2x+y-7=0 B x+2y-5=0 C x-2y-1=0 D 2x-y-5=0
【解析】
【知识点】①直线点斜式方程及运用;②求直线一般式方程斜率的基本方法;③两条直线垂
直的充分必要条件。
【解题思路】运用求直线一般式方程斜率的基本方法,结合问题条件求出已知直线的斜率,
根据两条直线垂直的充分必要条件求出所求直线的斜率,利用直线的点斜方程就可求出所求
直线的方程。
【详细解答】设直线 x-2y-3=0 的斜率为 ,所求直线的斜率为 , =- = ,所求
直线与直线 x-2y-3=0 垂直, . =-1, =-2, 过点(3,1)且与直线 x-2y-3=0 垂
直的直线方程是:y-1=-2(x-3),即 2x+y-7=0, A 正确, 选 A。
2、过,点 P(1,1)的直线将圆形区域 分为两部分,使得这两部分的面
积之差最大,则该直线方程为( )
A
B
≠
3
.30 .60 .120 .150
2
π
1a 1b 1c 2a 2b 2c 1c 2c
1a 1b 2a 2b
a
120。
3 3 1
3
1
3
a 3
1k 2k 1k 1
2−
1
2
∴ 1k 2k ⇒ 2k ∴
⇒ ∴
{ }2 2, )| 4y+ ≤(x y xA x+y-2=0 B y-1=0 C x-y=0 D x+3y-4=0
【解析】
【知识点】①直线点斜式方程及运用;②圆的定义与性质;③两条直线垂直的充分必要条件。
【解题思路】运用圆的性质,两条直线垂直的充分必要条件,结合问题条件求出所求直线的
斜率,利用直线的点斜方程就可求出所求直线的方程。
【详细解答】如图,设过点 P(1,1)和点(0,0)直线 y
的斜率为 ,所求直线的斜率为 , = =1, .
=-1, =-1, 过,点 P(1,1)的直线将圆形区域 x
分为两部分,使得这两部分的面积之差
最大,则该直线方程为:y-1=-(x-1),即 x+y-2=0, A 正确, 选 A。
3、直线 L 经过点 P(3,0),且它夹在两直线 :2x-y-2=0 与 :x+y+3=0 之间的线段 AB
恰好被点 P 平分,求直线 L 的方程;
【解析】
【知识点】①直线点斜式方程及运用;②求两条直线交点坐标的基本方法;③线段中点的定
义与性质。
【解题思路】运用求两条直线交点坐标的基本方法,结合问题条件求出所求直线已知两条直
线的交点坐标,根据线段中点的性质求出所求直线的斜率,利用直线的点斜方程就可求出所
求直线的方程。 A
【详细解答】如图,设所求直线的斜率为 k, y
直线 l 过点 P(3,0), 直线 l 的方程为:kx-y
-3k=0,由 kx-y-3k=0, kx-y-3k=0,得 A( , 0 1 2 3 x
2x-y-2=0, x+y+3=0, ),B
( , ),线段 AB 恰好被点 P 平分, B
+ =0, k=0 或 k= ,k=0 时,与题意不符应舍去, k= , 直线 l 的
方程为:4x-5y-12=0。
4、已知点 P 到两个定点 M(-1,0),N(1,0)距离的比为 ,点 N 到直线 PM 的距离为 1,
求直线 PN 的方程;
【解析】
【知识点】①直线点斜式方程及运用;②两点之间的距离的定义与性质;③点到直线的距离
的定义与性质;④余弦定理及运用;②正切的和角公式及运用。
【解题思路】设直线 PN 的斜率为 ,如图,运用直角三角形的性质,结合问题条件求出
AMN 的值,根据余弦定理,结合问题条件得到关于|PN|的方程,求解方程求出|PN|的值,
从而求出 tan MPN 的值,由正切的和和角公式求出 的值,利用直线的点斜式方程就
1k 2k 1k 1 0
1 0
−
− 1k
2k ∴ 2k ⇒
{ }2 2, )| 4y+ ≤(x y x
⇒ ∴
1L 2L
∴
3 2
2
k
k
−
−
4
2
k
k −
3( 1)
1
k
k
−
+
6
1
k
k +
∴ 4
2
k
k −
6
1
k
k + ⇒ 4
5
∴ 4
5
⇒
2
1k ∠
⇒ ∠ 1k
P(1,1)
O
可求出直线 PN 的方程。
【详细解答】设直线 PN 的斜率为 ,如图, 点 N y P
到直线 PM 的距离为 1,|MN|=2, |NA|=1, MA A
N= , AMN= , 点 P 到两个定点 M(-1, M 0 N x
0),N(1,0)距离的比为 , |PN| =4+2|PN| -2 2 |PN| , |PN|= (
+1),
sin MPN= = = , tan MPN=2- , = tan(
MPN+ AMN)= =1, 直线 PN 的方程为:x-y-1=0。
5、已知两直线 x+ y+1=0 和 x+ y+1=0 的交点为 P(2,3),求过两点 ( , )
和 ( , )( ≠ )的直线方程;
【解析】
【知识点】①直线两点式方程及运用;②两条直线交点的定义与性质。
【解题思路】运用求直线一般式方程斜率的基本方法,结合问题条件求出已知直线的斜率,
根据两条直线垂直的充分必要条件求出所求直线的斜率,利用直线的点斜方程就可求出所求
直线的方程。
【详细解答】 两直线 x+ y+1=0 和 x+ y+1=0 的交点为 P(2,3), 2 +3 +1=0,
2 +3 +1=0, 2( - )+3( - )=0, =- , y- =- (x- ), 3y-3
=-2x+2 =0 , 过 两 点 ( , ) 和 ( , )( ≠ ) 的 直 线 方 程 为 :
2x+3y+1=0。
6、过点 M(1,-2)作直线 L,使点 B(2,1)到直线 L 的距离等于 1,求直线 L 的方程;
【解析】
【知识点】①直线点斜式方程及运用;②点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】设直线 l 的斜率为 k,运用点到直线的距离公式,结合问题条件求出所求直线
的斜率,利用直线的点斜方程就可求出所求直线的方程。
【详细解答】设直线 l 的斜率为 k, 直线 l 过点 M(1,-2), 直线 l 的方程为:y+2=k
(x-1), kx-y-k-2=0, 点 B(2,1)到直线,l 的距离等于 1, =1,
1k
∴ ∠
.90 ⇒ ∠ .30
2 ∴ 2 2 × × 2 × 3
2
⇒ 2 3
∴ ∠ | |
| |
AN
PN
1
2( 3 1)+
2( 3 1)
4
− ⇒ ∠ 3 ∴ 1k ∠
∠ 6 3 3 3
3 2 3 3
− +
− +
∴
1a 1b 2a 2b 1Q 1a 1b
2Q 2a 2b 1a 2a
1a 1b 2a 2b ∴ 1a 1b
2a 2b ⇒ 1a 2a 1b 2b ∴ 1 2
1 2
b b
a a
−
−
2
3 1b 2
3 1a ⇒
1b
1a ∴ 1Q 1a 1b 2Q 2a 2b 1a 2a
∴
⇒ ∴
2
| 2 1 2 |
1
k k
k
− − −
+
⇒K= , 直线 l 的方程是:4x-3y-10=0。
7、直线 L 过点 M(2,1),且分别于 X 轴、Y 轴正半轴相交于 A、B 两点,O 为坐标原点。
(1)当 的面积最小时,求直线 L 的方程;
(2)当|MA|.|MB|最小时,求直线 L 的方程。
【解析】
【知识点】①直线点斜式方程及运用;②三角形面积公式及运用;③两点之间距离公式及运
用;④求函数最值的基本方法。
【解题思路】(1)如图,运用三角形的面积公式,结合问题条件得到 面积关于参数
a,b 的表示式,根据求函数最值的基本方法求出 a,b 的值就可求出所求直线的方程;(2)
运用两点之间的距离公式,结合问题条件得到|MA|.|MB|关于参数 a,b 的表示式,根据求函
数最值的基本方法求出 a,b 的值就可求出所求直线的方程。
【详细解答】(1)如图,设直线 AB 的斜率为 k, y
直线 AB 过点 M(2,1), 直线 AB 的方程为:y-1
=k(x-2), kx-y-2k+1=0, A(2- ,0),B(0, B M(2,1)
1-2k), = |OA|.|OB|= (2- )(1-2k)= 0 A x
(4-4k- ) 2+2 2+4=6,当且仅当-4k=- ,即 k= 时,等号成立,
k