圆方程问题的类型与解法
圆方程问题是近几年高考的热点内容之一。纵观近几年的高考试卷,归结起来圆方程问题主
要包括:①求圆的标准方程;②圆的标准方程,一般方程,参数方程之间的关系及运用;③
圆的切线方程问题;④圆的最值问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征,解
答方法也各不相同。那么在实际处理圆方程问题时,到底应该如何抓住问题的结构特征,快
捷准确地给予解答呢?下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例 1】解答下列问题:
1、圆心在抛物线 =2y(x>0)上,并且与抛物线的准线及 Y 轴都相切的圆的方程是( )
A -x-2y+1=0 B -2x-y+1=0 C -x-2y+ =0 D -2x-y+ =0
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质;②求圆方程的基本方法。
【解题思路】运用抛物线的性质,求圆方程的基本方法,结合问题条件求出圆的方程就可得
出选项。
【详细解答】设圆的方程为: +Dx+Ey+F=0, +Dx+Ey+F=0,
+ = ,圆心在抛物线 =2y(x>0)上,并且与抛物线的准线及 Y 轴
都相切, =2 (- ), D=-2, 圆的方程为: -2x-y+ =0,
= ,E=-1 D 正确, 选 D。
= , F=
2、若一三角形的三边所在的直线方程分别为:x+2y-5=0,y-2=0,x+y-4=0,则能够覆盖此
三角形且面积最小的圆的方程为 ;
【解析】
【知识点】①求圆方程的基本方法;②三角形的定义与性质;③求两条直线交点坐标的基本
方法。
【解题思路】运用求两条直线交点坐标的基本方法,结合问题条件求出三角形三个顶点的坐
标,从而得到三角形是一个钝角三角形,根据覆盖钝角三角形最小圆是以钝角的对边为直径
的圆就可求出圆的方程。
【详细解答】 由 x+2y-5=0,得 x=1, x+2y-5=0,得 x= 3,y-2=0, 得 x=2, 三角
y-2=0, y=2, x+y-4=0, y=1,x+y-4=0, y=2, 形三个
顶点的坐标分别为 A(1,2),B(3,1),C(2,2), |AB|= = ,|AC|=
=1,
|BC|= = , |AB| =5>|AC| +|BC| =1+2=3, ABC 是以 AB 为最大边的钝角
2x
2 2+x y 2 2+x y 2 2+x y 1
4
2 2+x y 1
4
2 2+x y
2 2+x y ⇔ 2)2
D(x+
2)2
E(y+
2 2 4
4
D E F+ − 2x
∴
2
4
D ×
2
E ⇒ ∴ 2 2+x y 1
4
2 2 4
4
D E F+ − 21)2 2
E +(- ⇒ ∴
2 2 4
4
D E F+ − 2
4
D 1
4
∴
⇒ 4 1+ 5 1 0+
1 1+ 2
2 2 2 ∴ ∆三角形, 能够覆盖此三角形且面积最小的圆是以|AB|为直径的圆, 能够覆盖此三角形
且面积最小的圆的方程为: + = 。
3、求以 C(1,3)为圆心,且与直线 3x-4y-7=0 相切的圆的标准方程;
【解析】
【知识点】①圆标准方程的定义与性质;②求圆标准方程的基本方法;③点到直线的距离公
式及运用。
【解题思路】运用圆标准方程的性质,求圆标准方程的基本方法,结合问题条件求出圆的半
径 R 得到圆的坐标方程就可得出选项。
【详细解答】设圆的标准方程为: + = , 圆与直线 3x-4y-7=0 相切,
R= = , 以 C(1,3)为圆心,且与直线 3x-4y-7=0 相切的圆的标准方
程为: + = 。
4、已知圆与 x 轴相切,圆心在直线 3x-y=0 上,且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 ,求圆
的标准方程;
【解析】
【知识点】①圆标准方程的定义与性质;②求圆标准方程的基本方法;③直径三角形的定义
与性质。
【解题思路】运用直径三角形的性质,圆标准方程的性质,求圆标准方程的基本方法,结合
问题条件得到关于圆心坐标,圆半径的方程组,求解方程组求出圆的圆心坐标和半径就可求
出圆的标准方程。
【详细解答】设圆的标准方程为: + = , 圆与 x 轴相切,圆心在直线
3x-y=0 上,且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 , |b|=R, a= 1,
3a-b=0, b= 3,
( ) +7= , =9,
圆的标准方程为: + =9 或 + =9。
4、已知圆经过 A(5,1),B(4,4),C(1,3)三点,求圆的标准方程。
【解析】
【知识点】①圆标准方程的定义与性质;②求圆标准方程的基本方法。
【解题思路】运用圆标准方程的性质,求圆标准方程的基本方法,结合问题条件得到关于圆
心坐标,圆半径的方程组,求解方程组求出圆的圆心坐标和半径就可求出圆的标准方程。
【详细解答】设圆的标准方程为: + = , 圆经过 A(5,1)、B(4,4)、C
(1,
⇒ ∴
2)(x- 2 23)2
(y- 5
4
2)(x- 1 2)(y- 3 2R ∴
| 3 1 4 3 7 |
9 16
× − × −
+
16
5
⇒
2)(x- 1 2)(y- 3 256
25
7
2)(x- a 2)b(y- 2R
7 ∴ ⇒ ±
±
| |
1 1
a b−
+
2 2R 2R
∴ 2)(x- 1 2)(y- 3 2)(x+1 2)(y+3
2)(x- a 2)b(y- 2R 3)三点, + = , a=3, 过 A(5,1),B(4,4),C(1,3)三点
+ = , b=2,圆的方程为: + =5。
+ = , , =5,
『思考问题 1』
(1)【典例 1】是求圆方程的问题,解答这类问题的基本原则是:①如果从条件中容易求出
圆心坐标和半径或需要用圆心坐标列方程,则选用圆的标准方程;②如果条件与圆心坐标和
半径没有直接关系,则选用圆的一般方程;
(2)求圆方程常用的方法是:①定义法;②待定系数法;
(3)当已知圆的圆心坐标求圆的标准方程一般用定义法,这时只需根据问题条件件求出圆
的半径,问题就可以解决;
(4)当圆心坐标、圆的半径都没有给出求圆的标准方程一般用待定系数法,这时需要根据
问题条件,求出圆心坐标和圆的半径才能解决问题;
(5)待定系数法求圆方程的基本方法是:①根据题意选择圆的标准方程或一般方程;②根
据问题条件列出关于圆心坐标,圆半径或一次项系数和常数项的方程组;③ 解方程组求出
圆心坐标,圆半径或一次项系数和常数项;④ 把求出的结果代入假设式;
(6)求圆方程时常用的有关圆的几何性质:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆
心在圆任一弦的垂直平分线线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点在同一直线上;
④圆心到弦的距离、圆的半径、弦长的一半构成一个直角三角形。
〔练习 1〕解答下列问题:
1、求圆心 M 在 Y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的标准方程;
2、已知圆的圆心在原点,且与直线 4x+3y-70=0 相切,求圆的标准方程;
3、已知圆的半径为 ,圆心在直线 y=2x 上,且被直线 x-y=0 截得的弦长为 4 ,求圆
的标准方程。
4、求过直线 2x+y+4=0 和圆 +2x-4y+1=0 的交点,且面积最小的圆的方程;
5、求过圆 +2x-4y+1=0 和圆 +2x-6y-4=0 交点,且与直线 2x-y+4=0 相切的圆的
方程。
【典例 2】解答下列问题:
1、已知一曲线是到两个定点 O(0,0),A(3,0)的距离之比为 的点的轨迹,求该曲线的
方程,若曲线是圆,求出圆的半径和圆心坐标。
【解析】
【知识点】①点轨迹方程的定义与求法;②圆一般方程化标准方程的基本方法。
【解题思路】运用求点轨迹方程的基本方法,结合问题条件求出曲线的方程,根据圆一般方
程化标准方程的基本方法把圆方程化成圆的标准方程,就可求出圆心坐标和圆的半径。
【详细解答】设动点 P(x,y), |PO|= ,|PA|= , = ,
∴ 2)(5- a 2)(1- b 2R ⇒ ∴
2)(4- a 2)(4- b 2R 2)(x- 3 2)(y- 2
2)(1- a 2)(3- b 2R 2R
10 2
2 2+x y
2 2+x y 2 2+x y
1
2
2 2x y+ 2 2( 3)x y− + | |
| |
PO
PA
1
22 = , +2x-3=0, 该曲线的方程为: +2x-3=0,
是一个圆; +2x-3=0, + =4, 圆的半径 R=2,圆心坐标为(-1,0)。
2、已知方程 -2(m+3)x+2(1-4 )y+16 +9=0 表示一个圆。
(1)求实数 m 的取值范围;
(2)求该圆半径 r 的取值范围;
(3)求圆心的轨迹方程。
【解析】
【知识点】①圆一般方程化标准方程的基本方法;②点轨迹方程的定义与求法;方程表示一
个圆的充分必要条件;④参数方程化普通方程的基本方法。
【解题思路】(1)运用圆一般方程化标准方程的基本方法,结合问题条件得到圆的标准方程,
根据方程表示一个圆的充分必要条件得到关于实数 m 的不等式,求解不等式就可求出实数
m 的取值范围;(2)由(1)得到半径关于 m 的函数,根据实数 m 的取值范围求出函数的
值域就可求出圆半径的取值范围;(3)由(1)得到圆心轨迹关于参数 m 的参数方程,利
用参数方程化普通方程的基本方法就可得到圆心的轨迹方程。
【 详 细 解 答 】( 1 ) -2 ( m+3 ) x+2(1-4 )y+16 +9=0 , +
=
1+6m-7 表示一个圆, 1+6m-7 >0, - 0;②表示一个点
的充分必要条件是 + -4F=0;③当 + -4F sin , A 错误;②设 P(x,y)在弧 CD 上, cos = =x,sin = =y,
tan = , tan > sin > cos , B 错误;③设 P(x,y)在弧 EF 上, cos
= =x,sin = =y,tan = , sin > cos > tan , C 正确;④设 P
(x,y)在弧 GH 上, cos = =x cos > sin , D 错误, C 正确, 选 C。
3、设抛物线 =4x 的焦点为 F,准线为 l,则以 F 为圆心,且与 l 相切的圆的方程为 ;
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质;②求圆方程的基本方法。
【解题思路】运用抛物线的性质,结合问题条件得到圆心 F 的坐标,从而求出圆半径 R 的
值,就可得出符合题意的圆的方程。
【详细解答】 F 是抛物线 =4x 的焦点, F(1,0), l 是抛物线 =4x 的准线,圆与
直线 l 相切, R=1+1=2, 符合题意的圆的方程为: + =4。
4、已知圆 C: -2x-4y+1=0 上存在两点关于直线 l:x+my+1=0 对称,则实数 m= 。
【解析】
【知识点】①圆标准方程与一般方程互化的基本方法;②圆的定义与性质。
【解题思路】运用圆标准方程与一般方程互化的基本方法,结合问题条件把圆的方程化为标
准方程,从而得到圆心的坐标,根据圆的性质可知直线 l:x+my+1=0 过圆心,得到关于 m
β AOBS扇形 π 2
2
β
π β ⇒ S阴影 AOPS∆ BOPS∆ AOBS扇形 β β ∴
β β ⇒ ∴
2 2+x y
α α α α
α α α
α
| |
x
OP
α
| |
y
OP
∴ α
α ⇒ α
| |
x
OP
α
| |
y
OP
α y
x
∴ α α α ⇒ α
| |
x
OP
α
| |
y
OP
α y
x
∴ α α α ⇒
α
| |
x
OP
α
| |
y
OP
α y
x
∴ α
α α ⇒ ⇒ ∴
2y
2y ∴
2y
∴ ⇒ 2( 1)x − 2y
2 2+x y的方程,求解方程就可得出 m 的值。
【详细解答】 圆 C: -2x-4y+1=0 , + =4, 圆心 C(1,2),
圆 C: -2x-4y+1=0 上存在两点关于直线 l:x+my+1=0 对称, 直线 l 过点 C(1,2),
1+2m+1=0, m=-1。
『思考问题 5』
(1)【典例 5】是近几高考或高三的诊断考试中与圆方程相关的问题,解答这类问题需要注
意圆常见几种方程之间的联系;
(2)纵观近几年的高考试题,与圆方程相关的问题主要包括:①给定条件,求圆的方程;②
圆标准方程与一般方程和参数方程的互化;③求圆的切线方程;④与圆相关的最值问题等几
种类型。
〔练习 5〕解答下列问题:
1、已知 A,B 是圆 O: =4 上两个动点,| |=2, = - ,若 M 是线段
AB 的中点,则 . 的值为( )
A 3 B 2 C 2 D -3
2、圆 -4x+6y=0 的圆心坐标是( )
A (2,3) B (-2,3) C (-2,-3) D (2,-3)
3、如图,将一块半径为 2 的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状,下底 AB 是半圆的直径,
上底 CD 的端点在半圆上,则所得梯形的最大面积为 ;
4、若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是 。
2 2+x y ⇔ 2( 1)x − 2( 2)y − ∴
2 2+x y ∴
⇒ ∴
2 2+x y AB OC 5
3 OA 2
3 OB
OC OM
3
2 2+x y