直线和圆,圆和圆位置关系问题的类型与解法
直线和圆,圆和圆位置关系问题是近几年高考的热点内容之一。纵观近几年的高考数学试卷,
归结起来直线和圆,圆和圆的位置关系问题主要包括:①判定直线与圆的位置关系;②已知
直线与圆的位置关系,求直线方程或圆方程中参数的值或取值范围;③判定圆与圆的位置关
系;④已知圆与圆的位置关系,求圆方程中参数的值或取值范围等几种类型。各种类型问题
结构上具有一定的特征,解答方法也各不相同,那么在实际解答直线和圆,圆和圆位置关系
问题时,到底应该如何抓住问题的结构特征,快捷,准确地给予解答呢?下面通过典型例题
的详细解析来回答这个问题。
【典例 1】解答下列问题:
1、设直线 kx-y+1=0 被圆 O: =4 所截弦的中点的轨迹为 C,则曲线 C 与直线
x+y-1=0 的位置关系为( )
A 相交 B 相切 C 相离 D 不确定
【解析】
【知识点】①求点轨迹方程的基本方法;②判定直线与圆位置关系的基本方法。
【解题思路】运用求点轨迹方程的基本方法求出曲线 C 的方程,利用判定直线与圆位置关
系的基本方法就可得出选项。
【详细解答】 直线 kx-y+1=0 过定点(0,1),把点(0,1)代入圆 O: =4 可知点
(0,1)在圆 O 内, 所截弦中点与点(0,1)的连线垂直过弦中点的直径, 所截弦的
中点的轨迹 C 是以点(0,0)和点(0,1)为直径的圆, 曲线 C 的方程为: +
= ,
点(0, )到直线 x+y-1=0 的距离 d= = < , 曲线 C 与直线 x+y-1=0
相交, A 正确, 选 A。
2、与曲线 =(y-1)(3-y)相切,且在两坐标轴上的截距相等的直线共有 条;
【解析】
【知识点】①判定直线与圆位置关系的基本方法;②求直线方程的基本方法。
【解题思路】设直线的方程为 x+y=a,运用直线与曲线相切的性质得到关于参数 a 的方程,
求解方程求出参数 a 的值,从而得到符合问题条件的直线方程就可得出结论。
【详细解答】设直线的方程为 x+y=a, 直线与曲线 =(y-1)(3-y)相切, (0,2)到
直线 x+y=a 的距离为:d= = =1, a=2- 或 a=2+ , 当 a=0 时,
有两条直线与曲线 =(y-1)(3-y)相切, 符合问题条件的直线有 4 条。
3、已知直线 l:2mx-y-8m-3=0 和圆 C: -6x+12y+20=0。
2 2x y+
2 2x y+
∴ ⇒
∴ 2x 21( )2y −
1
4
1
2
1| 0 1|2
1 1
+ −
+
2
4
1
2
∴
⇒ ∴
2x
2x ∴
| 0 2 |
1 1
a+ −
+
| 2 |
2
a− ⇒ 2 2
2x ∴
2 2x y+(1)m R 时,证明:l 与 C 总相交;
(2)m 取何值时,l 被 C 截得的弦长最短?求此时弦长。
【解析】
【知识点】①判定直线与圆位置关系的基本方法;②点到直线的距离公式及运用;③圆的定
义与性质。
【解题思路】(1)运用判定直线与圆位置关系的基本方法,结合问题条件就可证明结论;
(2)运用点到直线的距离公式和圆的性质得到关于参数 m 的方程,求解方程求出 m 的值,
从而求出此时的弦长。
【详细解答】(1) 圆 C: -6x+12y+20=0 + =25,直线 l:
2mx-y-8m-3=0 过定点(4,-3),把点(4,-3)代入圆的方程得:1+9=10