椭圆问题的类型与解法
椭圆问题是近几年高考的热点内容之一。可以这样毫不夸张地说,高考试卷中,每卷必有椭
圆问题。从题型上看,不是小题就是大题,难度为中档或高档。纵观近几年高考试卷,归结
起来椭圆问题主要包括:①求椭圆的标准方程;②椭圆定义与几何性质的运用;③求椭圆离
心率的值或取值范围;④与椭圆相关的最值问题;⑤直线与椭圆位置关系问题等几种类型。
各种类型问题结构上具有一定的特征,解答方法也各不相同。那么在实际解答椭圆问题时到
底应该如何抓住问题的结构特征,快捷,准确的解答问题呢?下面通过典型例题的详细解析
来回答这个问题。
【典例 1】解答下列问题: D
1、如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点, M
M 是圆周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹
平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 相交于点 P,则点 P
的轨迹是( )
A 椭圆 B 双曲线 C 抛物线 C D 圆
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质;②圆的定义与性质;③求点的轨迹方程的基本方法。
【解题思路】设点 P(x,y),运用椭圆的定义与性质,结合问题条件可知点 P 的轨迹是一
个椭圆,从而得出选项。
【详细解答】设点 P(x,y), 纸片折叠后 M 与 F 重合,折痕为 CD,CD 与 OM 相交于
点 P, |PM|=|PF|, |PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|是圆 O 的半径为一个定值, 点 P 的轨迹
是以 2c=|OF|,2a=|OM|的椭圆, A 正确, 选 A。
2、根据下列条件求椭圆的标准方程:
(1)焦点在 x 轴上,且过点(2,0)和点(0,1);
(2)焦点在 y 轴上,与 y 轴的一个交点为 P(0,-10),P 到它较近一个焦点的距离等于 2;
(3)已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别是 和 ,
过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;
(4)已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍,且过点 A(3,0),并且以坐标轴为对称轴,求椭
圆的标准方程。
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质;②求椭圆标准方程的基本方法。
【解题思路】(1)由题意设椭圆的标准方程为: + =1(a>b>0),根据问题条件得到关
于 , 的方程组,求解方程组求出 , 的值就可求出椭圆的标准方程;(2)由题意
设椭圆的标准方程为: + =1(a>b>0),根据问题条件得到关于 a,c 的方程组,求解
方程组求出 a,c 的值,运用椭圆的性质求出 b 的值就可求出椭圆的标准方程;(3)问题没
有确定椭圆焦点在哪个坐标轴上,应该分焦点在 X 轴上或在 Y 轴上两种情况考虑,分别求
出相应椭圆的标准方程;(4)问题没有确定椭圆焦点在哪个坐标轴上,可设椭圆的方程为:
A +B =1,(A>0,B>0,A B),根据问题条件得到关于 A,B 的方程组,求解方程
∴ ⇒ ∴
⇒ ∴
4 53
2 53
2
2
x
a
2
2
y
b
2a 2b 2a 2b
2
2
y
a
2
2
x
b
2x 2y ≠
P
O
F组求出 A,B 的值,代入假设式得到椭圆的方程,再把方程化为椭圆标准方程。
【详细解答】(1)由题意设椭圆的标准方程为: + =1(a>b>0), 椭圆过点(2,0)
和点(0,1), +0=1, =4, 所求椭圆的标准方程为: + =1;(2)由题
0+ =1, =1,意设椭圆的标准方程为: + =1(a>b>0),
椭圆与 y 轴的一个交点为 P(0,-10),P 到它较近一个焦点的距离等于 2,
a=10, a=10, = - =100-64=36, 所求椭圆的标准方程为: + =1;
a-c=2, c=8,(3)①当焦点在 X 轴上时,设椭圆的标准方程为: + =1(a>b>0),
点 P 到两焦点的距离分别是 和 ,过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,
2a= + =2 , a= , = - =5- = , 所求椭圆的标准方程为:
2c= = , c= , + =1;②当焦点在 Y 轴上时,设椭圆的标
准方程为: + =1(a>b>0),由①知所求椭圆的标准方程为: + =1;(4)由题
意设椭圆的方程为:A +B =1,(A>0,B>0,A B), 椭圆的长轴长是短轴长的 3
倍,且过点 A(3,0), 9A+0=1, A= ,①若 A>B,则 =9 =81, B= ;②
若 Ab>0), e= = , =2,
a= ,c=1, = - =2-1=1, 所求椭圆的标准方程为: + =1。
4、椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= ,椭圆上各点到直线 L:x-y+ +
=0 的最短距离为 1,求椭圆的方程。
【解析】
【知识点】①椭圆离心率的定义与性质;②求椭圆标准方程的基本方法;③点到直线的距离
公式及运用。
【解题思路】如图,运用椭圆离心率的定义与性质,结合问题条件得到关于 a,b 的等式,
根据椭圆上各点到直线 L:x-y+ + =0 的最短距离为 1 求出点 P 的坐标,由点 P 在椭
圆上得到关于 , 的方程,联立之前的等式求出 , 的值就可得出椭圆的标准方程。
【详细解答】如图,由题意设椭圆的标准方程为: y B x-y+ + =0
+ =1(a>b>0), e= = ,
= , = - = , 设 A x
点 P(acos ,bsin )是椭圆上任意一点,
点 P 到直线 l:x-y+ + =0 的最短距离为 1, d=
= ( 其 中 tan = ),
=1,
= , + =5 或 + =13+4 , =4, =1 或
= , = , < =7+2 , =4, =1,
所求椭圆的标准方程为: + =1。
5、若椭圆 a +b =1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点,M 为 AB 的中点,直线 OM(O 为
2
2
x
a
2
2
y
b
c
a
2
2
2a
c
∴ 2 ⇒ 2b 2a 2c ∴
2
2
x 2y
3
2 5 2
5 2
2a 2b 2a 2b
5 2
2
2
x
a
2
2
y
b
c
a
3
2
∴
2c 3
4
2a ⇒ 2b 2a 2c 1
4
2a
α α
5 2 ∴ | cos sin 5 2 |
1 1
a bα α− + +
+
2 2| sin( ) 5 2 |
2
a b α ϕ− + − + + ϕ a
b
⇒
2 2| 5 2 |
2
a b− + + +
∴ 2 2 5 2a b− + + + ± 2 ⇒ 2a 2b 2a 2b 10 ∴ 2a 2b
2a 52 16 10
5
+ 2b 13 4 10
5
+
2a 2( 5 2)+ 10 ∴ 2a 2b ⇒
2
4
x 2y
2x 2y
O坐标原点)的斜率为 ,且 OA⊥OB,求椭圆的方程;
【解析】
【知识点】①直线与椭圆相交的定义与性质;②已知直线上两点的坐标,求直线斜率的基本
方法。
【解题思路】设 A( , ),B( , ),M( , ),由椭圆方程与直线方程联立
消去 y 得到关于 x 的一元二次方程,运用韦达定理,结合问题条件求出 , 关于 a,b 的
表达式,从而得出点 M 的坐标,利用已知直线上两点的坐标,求直线斜率的基本方法,结
合问题条件得到关于 a,b 的方程组,求解方程组得出 a,b 的值就可求出椭圆的方程。
【详细解答】设 A( , ),B( , ),M( , ), 由 a +b =1,得:
x+y=1,(a+b) -2bx
+b-1=0, + = , . = , + =2-( + )=2- = ,
= = , = = , M( , ), OM(O 为坐标原点)
的斜率为 ,且 OA⊥OB, = , . = . + . =2 . -( + )+1
= - +1= =0, a=2( -1),b=2(2- ), 椭圆的方程为:2
( -1) +2(2- ) =1,即: + =1·。
『思考题 1』
(1)【典例 1】是求椭圆的标准方程的问题,解答这类问题应该注意掌握求椭圆标准方程常
用的基本方法:①定义法;②待定系数法;
(2)采用定义法,需要注意 2a>2c 这一条件,【典例 1】中的 1 是通过求点的轨迹方程来求
椭圆标准方程的问题,在实际解答问题时,运用椭圆的定义,采用定义法会使解答更简捷。
(3)【典例 1】中的 2 求椭圆的方法称为待定系数,待定系数法的基本步骤是:①作判断,
判断椭圆焦点所在的坐标轴;②设方程, =1(a>b>0)或 =1(a
>b>0)或 A +B =1,(A>0,B>0,A B);③找关系建立方程或方程组;④解方程
或方程组,将结果代入假设方程;其中设椭圆方程时可以按照如下思路进行:①如果明确椭
圆的焦点在 X 轴上,方程设为 =1(a>b>0);②如果明确椭圆的焦点在 Y 轴上,
2
2
1x 1y 2x 2y 0x 0y
0x 0y
1x 1y 2x 2y 0x 0y
2x 2y
2x
∴ 1x 2x 2b
a b+ 1x 2x 1b
a b
−
+ ⇒ 1y 2y 1x 2x 2b
a b+
2a
a b+ 0x
1 2
2
x x+ b
a b+ 0y 1 2
2
y y+ a
a b+ ∴ b
a b+
a
a b+
2
2
∴ a
b
2
2 OA OB
1x 2x 1y 2y 1x 2x 1x 2x
2 2b
a b
−
+
2b
a b+
2a b
a b
+ −
+ ⇒ 2 2 ∴
2 2x 2 2y
2
2 1
2
x
+
2
2 2
4
y
+
2 2
2 2
x y
a b
+
2 2
2 2
y x
a b
+
2x 2y ≠
2 2
2 2
x y
a b
+方程设为 =1(a>b>0);③如果椭圆中心在原点,焦点位置不确定在 X 轴上还是在 Y
轴上,方程设为 A +B =1,(A>0,B>0,A B);
(4)【典例 1】中的 3,4,5 是利用椭圆的定义及几何性质求椭圆方程的问题,解答基本方
法是:①根据动点满足等式的几何意义设出椭圆的标准方程;②建立关于 a、b、c、e 的
方程或方程组;③求解方程或方程组求出 a,b 的值;④将结果代入假设方程。
〔练习 1〕解答下列问题:
1、已知圆 A: =36,圆 A 内一点 B(2,0),圆 P 过点 B 且与圆 A 内切,求圆心
P 的轨迹方程;
2、一动圆与已知圆 : + =1 外切,与圆 : + =81 内切,求动圆圆
心的轨迹方程;
3、⊿ABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别是(-6,0)、(6,0),边 AC、BC 所在直线的斜率之积
等于- ,求顶点 C 的轨迹方程;
4、根据下列条件求椭圆的标准方程:
(1)两准线间的距离为 ,焦距为 2 ;
(2)和椭圆 =1 共准线,且离心率为 ;
(3)和椭圆 + =1 共准线,且离心率为 。
5、已知椭圆的离心率为 ,一条准线方程为 x=16 求椭圆的方程。
【典例 2】解答下列问题:
1、椭圆 + =1 的焦距是( )
A 4 B 8 C 2 D 与 m 有关
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质;②求椭圆焦距的基本方法。
【解题思路】运用椭圆的定义与性质,结合问题条件求出 ,从而求出 c 的值,利用椭圆
焦距的定义求出椭圆的焦距就可得出选项。
【详细解答】 椭圆 + =1, = +12, = -4, = - =
+12
2 2
2 2
y x
a b
+
2x 2y ≠
2 2( 2)x y+ +
1O 2( 3)x + 2y 2O 2( 3)x − 2y
4
9
18 55 3
2 2
24 20
x y+ 2
2
2
24
x 2
20
y 1
2
1
2
2
2 12
x
m +
2
2 4
y
m −
2
2c
2
2 12
x
m +
2
2 4
y
m − ∴ 2a 2m 2b 2m ⇒ 2c 2a 2b
2m-( -4)=16, c=4, 2c=8, B 正确, 选 B。
2、已知椭圆 +(m+3) =m(m>0)的离心率是 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴
的长,焦点和顶点的坐标;
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质;②椭圆离心率的定义与性质;③求椭圆长轴,短轴,焦距
和顶点坐标的基本方法。
【解题思路】运用椭圆的定义与性质,结合问题条件求出 , , ,从而求出 a,b,c
的值,利用椭圆长轴,短轴,焦距,顶点坐标的定义就可求出椭圆的长轴,短轴,焦距和顶
点的坐标。
【详细解答】 椭圆 +(m+3) =m , + =1,m>0, =m, =
, = - =m- = , 椭圆的离心率 e= = , = =
= = , m=1, a=1,b= ,c= , 椭圆的长轴为 2a=2,短轴为 2b=1,焦距
为 2c= ,顶点坐标分别为:(-1,0),(1,0),(0, ),(0,- )。
3、已知 F 是椭圆 5 +9 =45 的左焦点,P 是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点。
(1)求|PA|+ |PF|的最小值,并求出 P 点的坐标;
(2)求|PA|+|PF|的最大值和最小值。
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质;②椭圆离心率的定义与性质;③三角形三边关系定理及运
用。
【解题思路】(1)如图,运用椭圆的定义与性质,椭圆离心率的定义与性质得到|PA|+
|PF|=|PA|+ =|PA|+|PQ|,就可求出|PA|+ |PF|的最小值和 P 点的坐标;(2)如图,取
椭圆的右焦点 ,连接 P ,A ,根据椭圆的定义得到|P |=6-|PF|,利用三角形三边关
系定理得到关于|PA|+|PF|的不等式,求解不等式就可求出|PA|+|PF|的最大值和最小值。
【详细解答】(1)如图, 椭圆 5 +9 =45, y
2m ⇒ ∴ ⇒ ∴
2x 2y 3
2
2a 2b 2c
2x 2y ⇔
2x
m
2
3
y
m
m +
∴ 2a 2b
3
m
m + ⇒ 2c 2a 2b 3
m
m +
( 2)
3
m m
m
+
+
c
a
3
2
∴ 2e
2
2
c
a
( 2)
( 3)
m m
m m
+
+
2
3
m
m
+
+
3
4
⇒ 1
2
3
2
∴
3 1
2
1
2
2x 2y
3
2
3
2
| |PF
e
3
2
1F 1F 1F 1F
2x 2y ⇔+ =1, =9, =5, = - =9-5 P
=4, a=3,c=2, e= = , |PA|+ |PF| x
=|PA|+ =|PA|+|PQ|, 当 P,A,Q 三点共线
时,|PA|+ |PF|=|PA|+ =|PA|+|PQ|=|AQ|=1+ = 为|PA|+ |PF|的最小值,此时点 P
的坐标为(- ,1),(2)如图,取椭圆的右焦点 ,连接 P ,A , |PF|+|P |=6,
|A |= = , |P |=6-|PF| , 在 AP 中 , ||PA|-|P
||=||PA|+|PF|-6|
|A | , 6- |PA|+|PF| 6+ , |PA|+|PF|的最大值为 6+ ,最小值为
6- 。
4、如图设曲线 C: =1(a>b>0)的焦点为 y P
, ,且 P∈C, =2 。 x
求证: 的面积 。
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质;②余弦定理及运用;③三角形面积公式及运用。
【解题思路】运用椭圆的定义与性质,余弦定理,结合问题条件得到关于|P |,||P |的等
式,从而求出|P |.||P |关于 的三角函数式,利用三角形的面积公式通过运算就可证明结
论。
【详细解答】 曲线 C: =1(a>b>0)的焦点为 , ,且 P∈C, =2 ,
|P | +||P | -2|P |.||P |cos2 =| | , -2|P |.||P |(cos2
+1 ) =4 , |P |.||P |= = = , = |P |.||P
|son2
2
9
x 2
5
y ∴ 2a 2b ⇒ 2c 2a 2b
∴ ⇒ c
a
2
3
3
2
| |PF
e
∴
3
2
| |PF
e
9
2
11
2
3
2
6 5
5 1F 1F 1F 1F
1F 2 2(2 1) (0 1)− + − 2 ∴ 1F ∆ 1F 1F
≤ 1F ≤ 2 ⇒ 2 ≤ ≤ 2 ∴ 2
2
2 2
2 2
x y
a b
+
1F 2F 1 2F PF∠ θ
1 2F PF∆
1
2 tanF PFS b θ∆ =
1F 2F
1F 2F θ
2 2
2 2
x y
a b
+ 1F 2F 1 2F PF∠ θ
∴ 1F 2
2F 2
1F 2F θ 1F 2F 2 ⇒ 2
1 2(| | | |)P PF F+ 1F 2F
θ
2c ∴ 1F 2F
2 24( )
2(cos2 1)
a c
θ
−
+
2
2
4
4cos
b
θ
2
2cos
b
θ ⇒
1F PFS∆
1
2 1F 2F
1F o 2F
1F 0 2F
A
F O 1F
1F 0 2F = sin cos = 。
『思考题 2』
(1)【典例 2】涉及到椭圆上的点到焦点或准线距离的问题,解决这类问题常常可直接利
用椭圆的定义与性质;
(2)运用椭圆的定义与性质解答问题时,需要认真理解椭圆的两个定义,注意两个定义
之间的相互关系;
(3)在实际解答该类问题时,应该根据题给的条件和问题的特征正确选择椭圆两个定义
中的某一个或两个。
〔练习 2〕解答下列问题:
1、如图所示,已知椭圆 C: + =1, y D N
的左右焦点分别为 , ,点 M 与 C
的焦点不重合,分别延长 M ,M 到 x
P、Q,使得 = , = , Q
D 是椭圆 C 上一点,延长 MD 到 N,若 = + ,则|PN|+|QN|=( )
A 10 B 5 C 6 D 3
2、设椭圆 =1 上一点 P 到左准线的距离为 10,F 是该椭圆的左焦点,若点 M 满足
= ,则| |= ;
3、已知 P 是椭圆 =1 上的一点, 、 是两个焦点,且 ,求
的面积;
【典例 3】解答下列问题:
1、已知 、 是椭圆两个焦点,过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若
AB 是正三角形,则这个椭圆的离心率是( )
A B C D
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质;②正三角形的定义与性质;③勾股定理及运用。
【解题思路】运用椭圆的定义与性质,正三角形的定义与性质,结合问题条件得到|A |,||A
θ
2
2cos
b
θ θ θ 2 t nb a θ
2
4
x 2y
1F 2F
1F 2F
1MF 2
3 1F P
2MF 2
3 2F Q
QD 3
5 QM 2
3 QN
2 2
25 16
x y+
OM 1 ( )2 OP OF+ OM
2 2
25 16
x y+ 1F 2F 1 2 30F PF∠ = 。
1 2F PF∆
1F 2F 1F ∆
2F
2
2
2
3
3
3
3
2
1F
M
1F O 2F
P |关于 a 的式子,利用勾股定理得到关于 a,c 的等式,从而求出椭圆的离心率就可得出选
项。
【详细解答】如图, 、 是椭圆两个焦点,过 y
且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点, AB A
是正三角形, |A |= a,||A |= a, 在 Rt A x
中, |A | +||A | =| | , +4 = , B
= = , e= , C 正确, 选 C。
2、椭圆 =1(a>b>0)的右焦点 F,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点
P,满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是( )
A (0, 〕 B (0, 〕 C 〔 -1,1) D 〔 ,1)
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质;②椭圆离心率的定义与求法;③线段垂直平分线的定义与
性质;
【解答思路】题中焦点在 X 轴上已经确定,由问题条件得到关于 a,c 的齐次不等式,进一
步化为关于 e 的一元二次(或一元一次)不等式,然后求解不等式,根据椭圆离心率的取值
范围得出结果;
【详细解答】如图,连接 PF, 线段 PA 的垂直平分线过 y P
点 F, |PF|=|FA|, |PF|+|OF|=|OF|+|FA|=|OA|= , A x
P 是椭圆上一点, a-c |PF| a+c, a |PF|+|OF|
=|OF|+|FA|=|OA| a+2c, a a+2c, ac ac+2 , e 1 2 +e,
e -1 或 e 1, 椭圆离心率 e 满足:09- = , 的取值范围是( ,+ )。
『思考题 5』
(1)【典例 5】是椭圆与直线相交的综合问题,解答这类问题需要理解直线和椭圆相交的定
义,掌握直线方程和椭圆方程的求法,明确处理直线与椭圆相交问题的基本思路是联立直线
PE PF•
PE PF•
2 2( 2)x y+ + 2 2( 2)x y− +
2 2 2( 2)x y− + 2 2 ∴
3 ⇒ 3 ∴ ⇒
3
2 2b 2a 2c ∴ 2
3
x 2y 3 ≤ ≤ 3
1x 1y 2x 2y
2
3
x 2y 2m 2y 2m 2m
1y
2y
2
2
4
3
m
m + 1y 2y
2
2
4 3
3
m
m
−
+
∴
1x 2x 2m 1y 2y 2m 1y 2y 2m
4 2
2
4 3
3
m m
m
−
+
4
2
8
3
m
m +
4 2
2
4 12
3
m m
m
+
+
2
2
9
3
m
m + PE
1x 1y PF
2x 2y ∴
PE PF•
1x 2x 1y 2y 1y 2y
2
2
9
3
m
m +
2
2
4 3
3
m
m
−
+
2
2
8
3
m
m +
2
2
4 12
3
m
m
+
+
2
2
9 9
3
m
m
+
+ 2
18
3m +
∴ ∆ 4m 4m 2m 2m ⇒ 2m ∴ PE PF•
2
18
3m +
9
2
9
2
∴ PE PF• 9
2
∞方程和椭圆方程消去 y(或 x)得到关于 x(或 y)的一元二次方程,再运用设而不求,整体
代入数学思想;
(2)如果问题中涉及到过定点的直线时,注意需要对直线的斜率存在还是不存在的两种情
况分别考虑;在实际解答该类问题时,为避免直线的斜率存在还是不存在分别考虑的繁杂过
程,也可以直接设过定点的直线方程为:x=my+n。
〔练习 5〕解答下列问题:
1、直线 l 过点 M(1,1)与椭圆 =1 相交于 A、B 两点,若 AB 的中点是 M,求直线
l 的方程;
2、动椭圆 C 以坐标原点为左焦点,以直线 x=-8 为左准线,点 B 是椭圆 C 的短轴的一个端
点,线段 BO 的中点为 M。
(1)求点 M 的轨迹方程;
(2)已知 k∈R, =(1,0), =(0,1)经过点(-1,0))且以 +k 为方向向量的直线 L
与 M 的轨迹相交于 E、F 两点,又点 D 的坐标为(1,0)若 为钝角,求 k 的取值范
围。
【典例 6】解答下列问题:
1、(1)设椭圆 C: =1(a>b>0)的左,右顶点为 A,B,P 是椭圆上不同于 A,B
的一点,设直线 AP,BP 的斜率分别为 m,n,则当 (3- )+ +3(ln|m|+ln|n|)取得
最小值时,椭圆 C 的离心率为( )
A B C D
(2)设椭圆 C: =1(a>b>0)的左,右顶点为 A,B,P 是椭圆上不同于 A,B 的
一点,设直线 AP,BP 的斜率分别为 m,n,则当 +ln|m|+ln|n|取得最小值时,椭圆 C 的离心
率为( )
A B C D
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质;②直线斜率的定义与求法;③对数的定义与运算;④函数最
值的定义与求法;⑤椭圆离心率的定义与求法;
【解题思路】(1)根据已知直线上两点的坐标,求直线斜率的公式,分别求出直线 AP,BP
的斜率 m,n,把求出的 m,n 代入式子得到关于 a,b 的函数,由该函数取最小值时满足的
条件求出 a,b 的比值,从而得到 a,c 之间的关系,然后求出椭圆的离心率;(2)根据已
知直线上两点的坐标,求直线斜率的公式,分别求出直线 AP,BP 的斜率 m,n,把求出的 m,
2 2
4 3
x y+
i j i j
EDF∠
2 2
2 2
x y
a b
+
a
b
2
3mn
2
mn
1
5
2
2
4
5
3
2
2 2
2 2
x y
a b
+
a
b
1
5
2
2
4
5
3
2n 代入式子得到关于 a,b 的函数,由该函数取最小值时满足的条件求出 a,b 的比值,从而
得到 a,c 之间的关系,然后求出椭圆的离心率。
【详细解答】(1)如图,设 P(x,y)是椭圆 C 上的一点, y
A(-a,0),B(a,0), m= = ,n= P
= , mn= . = , 点 P A B x
(x,y)在椭圆 C: + =1(a>b>0)上, = , mn=- , (3+
)- +3ln ,设 t= ,t (1,+ ),f(t)=t(2+ )-2 +3ln = -2 +3t-3ln
, (t)=2 -4t+3- = ,设 g(t)= , (t)=6
-8t+3>0 在(1,+ )上恒成立, g(t)在(1,+ )上单调递增, g(2)=2 8-4 4+3
2-6=0, g(t) 在(1,+ )上存在唯一零点 t=2, (t) 在(1,+ )上存在唯一零
点 t=2, t (1,2)时, (t) 0, f(t)在(1,2)上单减,
在(2,+ )
上单增, 当 t= =2,即 a=2b 时, (3+ )- +3ln 取得最小 =4 -
=3 ,
= = , e= , D 正确, 选 D;
(2)如图,设 P(x,y)是椭圆 C 上的一点, A(-a,0),B(a,0), m= = ,
n= = , mn= . = , 点 P y
(x,y)在椭圆 C: + =1(a>b>0)上, A B x
= , mn=- , +ln|m|+ln|n|
∴ PAk y
x a+ PBk
y
x a− ⇒ y
x a+
y
x a−
2
2 2
y
x a−
2
2
x
a
2
2
y
b
∴ 2y
2 2 2
2
( )b a x
a
− ⇒
2
2
b
a
⇒ a
b
2
2
2
3
a
b
2
2
2a
b
2
2
b
a
a
b
∈ ∞ 2
3
2t 2t 2
1
t
2
3
3t 2t
2t f ′ 2t 6
t
3 22 4 3 6t t t
t
− + − 3 22 4 3 6t t t− + − g′ 2t
∞ ∴ ∞ × ×
× ∴ ∞ ⇒ f ′ ∞
∈ f ′ ∈ ∞ f ′ ∴
∞
⇒ a
b
a
b
2
2
2
3
a
b
2
2
2a
b
2
2
b
a
⇒ 2c 2b 2b
2b
⇒ 2e
2
2
c
a
3
4
∴ 3
2
⇒ ∴
∴ PAk y
x a+
PBk y
x a− ⇒ y
x a+
y
x a−
2
2 2
y
x a−
2
2
x
a
2
2
y
b
∴
2y
2 2 2
2
( )b a x
a
− ⇒
2
2
b
a
⇒ a
b
O
P
O= +ln ,设 t= ,t (1,+ ),f(t)=t+ln =t-ln , (t)=1- = ,令 (t)=0
得 t=2, 当 t (1,2)时, (t) 0, f(t)在(1,
2)上单减,在(2,+ )上单增, 当 t= =2,即 a=2b 时, +ln 取得最小值,
=4 - =3 , = = , e= , D 正确, 选 D。
2、已知曲线 C: x=2cos ,( 为参数),若点 P 在曲线 C 上运动,点 Q 为直线 l:x+2y-4
y=sin ,=0 上的动点,则|PQ|的最小值为 。
【解析】
【考点】①曲线参数方程的定义与性质;②点到直线的距离公式与求法;③求三角函数最值
的基本方法。
【解题思路】运用曲线参数方程的性质和点到直线的距离公式,结合问题条件得到|PQ|的三
角函数表示式,利用求三角函数最值的基本方法就可求出|PQ|的最小值。
【详细解答】 点 P 在曲线 C 上运动,点 Q 为直线 l:x+2y-4 =0 上的动点, |PQ|
= = , 当 =2k + ,即 =2k
+
(k Z)时, |PQ|= = 为最小, |PQ|的最小值为 。
3、(1)如图,在 ABC 中,已知 BAC= ,其内切圆与 AC 边相切于点 D,延长 BA
到 E,使 BE=BC,连接 CE,设 以 E,C 为焦 B
点且经过点 A 的椭圆的离心率为 ,以 E,
C 为焦点且经过点 A 的双曲线的离心率为 D A
,则当 + 取最大值时, 的值为 ; C E
(2)如图,在 ABC 中,已知 BAC= ,其内切圆与 AC 边相切于点 D,AD:
DC=1:5,延长 BA 到 E,使 BE=BC,连接 CE,设以 E,C 为焦点且经过点 A 的椭圆的离
心率为 ,以 E,C 为焦点且经过点 A 的双曲线的离心率为 ,则 + 的值为 。
a
b
2
2
b
a
a
b
∈ ∞ 2
1
t
2t f ′ 2
t
2t
t
−
f ′
∈ f ′ ∈ ∞ f ′ ∴
∞ ⇒ a
b
a
b
2
2
b
a
⇒ 2c
2b 2b 2b ⇒ 2e
2
2
c
a
3
4
∴ 3
2
⇒ ∴
θ θ
2
θ
2 ∴
| 2cos 2sin 4 2 |
1 4
θ θ+ −
+
| 2 2 sin( ) 4 2 |4
5
πθ + −
⇒
4
πθ + π
2
π θ π
4
π ∈ 2 2
5
2 10
5
∴ 2 10
5
∆ ∠ .120
1e
2e
1
2
e 2
1
e
AD
DC
∆ ∠ .120
1e 2e 1e 2e【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质;②双曲线的定义与性质;③直线与圆相切的定义与性质;④
余弦定理及运用;⑤求椭圆离心率的基本方法;⑥求双曲线离心率的基本方法。
【解题思路】(1)设 AD=1, = ,运用直线与圆相切的性质,余弦定理,结合问题条
件分别求出 CD,AC,AE,CE 关于参数 k 的式子,从而求出 c, , 关于参数 k 的式子,利
用求椭圆和双曲线离心率的基本方法分别求出 , 关于参数 k 的式子,得到 + 关于
参数 k 的函数,利用求函数最值的基本方法就可求出 的值;(2)设 AD=1,运用直线与
圆相切的性质,余弦定理,结合问题条件分别求出 CD,AC,AE,CE 的值,从而求出 c, ,
的值,利用求椭圆和双曲线离心率的基本方法分别求出 , 的值就可求出 + 的值。
【详细解答】(1)设 AD=1, = (k>1), ABC 的内切圆与 AC 边相切于点 D,
BE=BC, CD=k,AC=k+1,AE=k-1, BAC= , BAC+ EAC= , EAC
= , = + -2AC.AEcos = +2k+1+ -2k+1-2 (k+1)(k-1) = +3,
CE= , c= , =k , =1 , = = , = =
,
+ = + ,设 k= ttan , ( , ), f( )=4sin +
cos
= sin( + )(其中 tan = ), 当且仅当 sin( + )=1,即 2 sin +cos
= , sin = ,cos = ,k= ttan =6 时,f( )=4sin + cos
取最大值, + 取最大值时, = 。
(2)设 AD=1, ABC 的内切圆与 AC 边相切于点 D,BE=BC,AD:DC=1:5,
CD=5,AC=1+5=6,AE=5-1=4, BAC= , BAC+ EAC= , EAC
AD
DC
1
k
1a 2a
1e 2e
1
2
e 2
1
e
AD
DC
1a 2a
1e 2e 1e 2e
AD
DC
1
k ∆
∴ ∠ .120 ∠ ∠ .180 ∴ ∠
.60 ⇒ 2CE 2AC 2AE .60 2k 2k × × 1
2
2k
⇒ 2 3k + ∴
2 3
2
k +
1a 2a ⇒ 1e
1
c
a
23 1
2
k
k
+
2e
2
c
a
2 3
2
k +
∴
1
2
e 2
1
e 2
4
3
k
k + 2
2
3k + 3 α α ∈
6
π
2
π
α α 2 3
3
α
2 38
3
α ϕ ϕ 3
6
∴ α ϕ 3 α α
13 ⇒ α 2 39
13
α 13
13 3 α α α 2 3
3
α
∴
1
2
e 2
1
e
AD
DC
1
6
∆ ∴
∠ .120 ∠ ∠ .180 ∴ ∠= , = + -2AC.AEcos =36+16-2 6 4 =28 , CE=2 , c=
, =5, =1, = = , = = , + = + = 。
『思考题 6』
(1)【典例 6】是近几年高考或高三诊断考试有关椭圆的问题,解答这类问题需要抓住问题
结构的特征,采用相应类型问题解答的基本方法去解答问题;
(2)纵观近几年高考试卷,归结起来椭圆问题主要包括:①求椭圆的标准方程;②椭圆定
义与几何性质的运用;③求椭圆离心率的值或取值范围;④与椭圆相关的最值问题;⑤直线
与椭圆位置关系问题等几种类型。解答时应该注意各种类型问题结构上的特征,采用恰当的
方法给予解答。
〔练习 6〕解答下列问题:
1、“4<k<6”是“ + =1 为椭圆方程”的( )
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
2、在平面内,已知理定点 A,B 间的距离为 2,动点 P 满足|PA|+|PB|=4,若 APB= ,
则 APB 的面积为( )
A B C 2 D 3
3、(1)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C: + =1 相交于 A,B 两点,若线段 AB 的中
点为 M(-1,1),则 k 的值是 ;
(2)已知斜率为 k 的直线 l 与双曲线 C: - =1 相交于 A,B 两点,若线段 AB 的中点
为 M(2,1),则 k 的值是 。
4、已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点 F 在 X 轴上,抛物线 C 上一点 P(4,m)到焦
点 F 的距离为 。
(1)求抛物线 C 的标准方程;
(2)设点 M(-2,1),过点 N(2,0)的直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点,记直线 AM
与直线 MB 的斜率分别为 , ,证明: + 为定值。
5、已知椭圆 C 的焦点 (-1,0), (1,0),都 P(1, )在椭圆 C 上。
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)若斜率为 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,点 Q 满足 =2 ,求 ABQ
面积的最大值。
.60 ⇒ 2CE 2AC 2AE .60 × × × 1
2
∴ 7 ∴
7 1a 2a ⇒ 1e
1
c
a
7
5 2e
2
c
a 7 ∴ 1e 2e 7
5 7 6 7
5
2
6
x
k−
2
4
y
k −
∠ .60
∆
3
2 3 3 3
2
6
x 2
3
y
2
2
x 2
3
y
9
2
1k 2k 1k 2k
1F 2F 3
2
1
2 PQ
2QF ∆