双曲线问题的类型与解法
双曲线问题是近几年高考的热点内容之一。可以这样毫不夸张地说,高考试卷中,每卷必有
双曲线问题。从题型上看,不是小题就是大题,难度为中档或高档。纵观近几年高考试卷,
归结起来双曲线问题主要包括:①求双曲线的标准方程;②双曲线定义与几何性质的运用;③
求双曲线离心率的值或取值范围;④与双曲线相关的最值问题;⑤直线与双曲线位置关系问
题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征,解答方法也各不相同。那么在实际解
答双曲线问题时到底应该如何抓住问题的结构特征,快捷,准确的解答问题呢?下面通过典
型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例 1】解答下列问题:
1、已知双曲线 C: =1(a>0,b>0)的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,
则 C 的方程为( )
A =1 B =1 C =1 D =1
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质;②求双曲线标准方程的基本方法。
【解题思路】运用双曲线的性质和求双曲线标准方程的基本方法,结合问题条件求出 ,
的值,从而得到双曲线的标准方程就可得出选项。
【详细解答】 双曲线 C: =1(a>0,b>0)的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近
线上, 2c=10,1= , 25=4 + , =5, =4 5=20,双曲线 C 的方程为:
=1, A 正确, 选 A。
2、已知动圆 M 与圆 : =2 外切,与圆 : =2 内切,求动圆圆
心 M 的轨迹方程;
【解析】
【知识点】①两圆相切的定义与性质;②求点轨迹方程的基本方法。
【解题思路】运用两圆相切的性质和求点轨迹方程的基本方法,结合问题条件就可求出动圆
圆心 M 的轨迹方程。
【详细解答】设动圆圆心为 M(x,y),动圆的半径为 R, |M |= ,|M
|= ,动圆 M 与圆 : =2 外切,与圆 : =2 内
切, |M |= +R,|M |=R- , |M |-|M |=2 , 动圆圆心 M 的轨迹是中
2 2
2 2
x y
a b
−
2 2
20 5
x y−
2 2
5 20
x y−
2 2
80 20
x y−
2 2
20 80
x y−
2a
2b
2 2
2 2
x y
a b
−
∴ 2b
a
⇒ 2b 2b ∴ 2b 2a ×
2 2
20 5
x y− ⇒ ∴
1C 2 2( 4)x y+ + 2C 2 2( 4)x y− +
1C 2 2( 4)x y+ + 2C
2 2( 4)x y− + 1C 2 2( 4)x y+ + 2C 2 2( 4)x y− +
∴ 1C 2 2C 2 ⇒ 1C 2C 2 ∴心在原点,以 , 为焦点的双曲线, 2a=|M |-|M |=2 ,2c=4-(-4)=8,
a= ,c=4, = - =16-2=14, 动圆圆心 M 的轨迹方程为: - =1(-
1, e= , D 正确, 选 D。
2、已知双曲线 C: =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 (-c,0), (c,0),
若双曲线 C 上存在一点 P,使得 = ,则双曲线 C 的离心率的取值范围是( )
A (1,1+ ) B (1,1+ ) C (1, ) D (1, )
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与几何性质;②双曲线离心率的定义与求法;③正弦定理及运用。
【解答思路】题中焦点在 X 轴上已经确定,由问题条件得到关于 a,c 的齐次不等式,从而
化 为 关 于 e 的 一 元 二 次 不 等 式 , 求 解 不 等 式 就 可 求 出 双 曲 线 离 心 率 的 取 值 范 围 。
【详细解答】如图, P 是双曲线上一点,且 y P
= ,在 P 中, = , O x
= = , |P |-|P |=2a, |P |= ,|P |= , 在 P
中, |P |-|P |