双曲线问题的类型与解法
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双曲线问题的类型与解法

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时间:2020-12-23

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资料简介
双曲线问题的类型与解法 双曲线问题是近几年高考的热点内容之一。可以这样毫不夸张地说,高考试卷中,每卷必有 双曲线问题。从题型上看,不是小题就是大题,难度为中档或高档。纵观近几年高考试卷, 归结起来双曲线问题主要包括:①求双曲线的标准方程;②双曲线定义与几何性质的运用;③ 求双曲线离心率的值或取值范围;④与双曲线相关的最值问题;⑤直线与双曲线位置关系问 题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征,解答方法也各不相同。那么在实际解 答双曲线问题时到底应该如何抓住问题的结构特征,快捷,准确的解答问题呢?下面通过典 型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题: 1、已知双曲线 C: =1(a>0,b>0)的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上, 则 C 的方程为( ) A =1 B =1 C =1 D =1 【解析】 【知识点】①双曲线的定义与性质;②求双曲线标准方程的基本方法。 【解题思路】运用双曲线的性质和求双曲线标准方程的基本方法,结合问题条件求出 , 的值,从而得到双曲线的标准方程就可得出选项。 【详细解答】 双曲线 C: =1(a>0,b>0)的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近 线上, 2c=10,1= , 25=4 + , =5, =4 5=20,双曲线 C 的方程为: =1, A 正确, 选 A。 2、已知动圆 M 与圆 : =2 外切,与圆 : =2 内切,求动圆圆 心 M 的轨迹方程; 【解析】 【知识点】①两圆相切的定义与性质;②求点轨迹方程的基本方法。 【解题思路】运用两圆相切的性质和求点轨迹方程的基本方法,结合问题条件就可求出动圆 圆心 M 的轨迹方程。 【详细解答】设动圆圆心为 M(x,y),动圆的半径为 R, |M |= ,|M |= ,动圆 M 与圆 : =2 外切,与圆 : =2 内 切, |M |= +R,|M |=R- , |M |-|M |=2 , 动圆圆心 M 的轨迹是中 2 2 2 2 x y a b − 2 2 20 5 x y− 2 2 5 20 x y− 2 2 80 20 x y− 2 2 20 80 x y− 2a 2b  2 2 2 2 x y a b − ∴ 2b a ⇒ 2b 2b ∴ 2b 2a × 2 2 20 5 x y− ⇒ ∴ 1C 2 2( 4)x y+ + 2C 2 2( 4)x y− +  1C 2 2( 4)x y+ + 2C 2 2( 4)x y− + 1C 2 2( 4)x y+ + 2C 2 2( 4)x y− + ∴ 1C 2 2C 2 ⇒ 1C 2C 2 ∴心在原点,以 , 为焦点的双曲线, 2a=|M |-|M |=2 ,2c=4-(-4)=8, a= ,c=4, = - =16-2=14, 动圆圆心 M 的轨迹方程为: - =1(- 1, e= , D 正确, 选 D。 2、已知双曲线 C: =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 (-c,0), (c,0), 若双曲线 C 上存在一点 P,使得 = ,则双曲线 C 的离心率的取值范围是( ) A (1,1+ ) B (1,1+ ) C (1, ) D (1, ) 【解析】 【知识点】①双曲线的定义与几何性质;②双曲线离心率的定义与求法;③正弦定理及运用。 【解答思路】题中焦点在 X 轴上已经确定,由问题条件得到关于 a,c 的齐次不等式,从而 化 为 关 于 e 的 一 元 二 次 不 等 式 , 求 解 不 等 式 就 可 求 出 双 曲 线 离 心 率 的 取 值 范 围 。 【详细解答】如图, P 是双曲线上一点,且 y P = ,在 P 中, = , O x = = , |P |-|P |=2a, |P |= ,|P |= , 在 P 中, |P |-|P |

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