1．下列命题正确的是（ ）
A．空间任意三点确定一个平面
B．两条垂直直线确定一个平面
C．一条直线和一点确定一个平面
D．两条平行线确定一个平面
【答案】D
【解析】对于，若三点共线，则此三点无法确定一个平面，错误；
对于，两条直线垂直，有可能两条直线为异面直线，此时无法确定一个平面，错误；
对于，若点在直线上，则这条直线和这个点无法确定一个平面，错误；
对于，两条平行直线可确定唯一的一个平面，正确.故选：.
2．已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】②中，，而平面，平面，故平面；
①中，平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；
③中，同样平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；
故选：B．
3．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】D
【解析】A选项中，若，，有可能，故A错误；
B选项中，若，，则可能与平行，故B错误；
C选项中，若，，，则，故C错误；
D选项中，若，，则，而，故，故D正确；故选：D．
4．已知，是两个不同的平面，，是平面，外的两条不同的直线，给出下面4个论断：（1）；（2）；（3）；（4）.以其中3
个论断为条件，余下一个做为结论，则正确的命题是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【解析】时：当，，时，此时与相交或平行或，所以是假命题；
时，当，，时，根据面面垂直的判定定理可得，所以是真命题；
时，当，，时，此时与相交或平行或，所以是假命题；
时，当，，时，根据面面垂直的性质定理可得，所以是真命题，故选：B.
5．如图所示，是二面角棱上的一点，分别在平面内引射线，，如果，设二面角的大小为，则（ ）
A．1 B．
C． D．
【答案】D
【解析】过上一点分别在内作的垂线，交于点和点，则即为二面角的平面角，设，
因为，
所以，，
所以，
故选：D
6．在正三棱锥中，底面是边长等于的等边三角形，侧棱，则侧棱与底面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
设点在底面的射影点为点，连接、，则为的外接圆半径，
由正弦定理可得，则，
平面，平面，，，
设该正三棱锥的侧棱与底面所成的角为，则，
，因此，.故选：A.
7．下列命题错误的序号是（ ）
①如果平面内存在一条直线和平面外的一条直线平行，则 ；②如果平面内存在一条直线和平面垂直，则；③如果一条直线和平面内的任意一条直线垂直，则；④如果平面内存在一条直线和平面平行，则
A．①② B．①④ C．④ D．①③
【答案】C
【解析】命题①是线面平行的判定定理，正确；
命题②是面面垂直的判定定理，正确；
命题③是线面垂直的定义，正确；
命题④错误，平面内两条相交直线都和平面平行，则；故选：C.
8．在我国古代数学著作《九章算术》中，把底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱ABC-A1B1C1是一个“堑堵”，其中AB=BC=BB1=2，点D是AC的中点，则异面直线AB1与BD所成角的大小为________.
【答案】
【解析】取的中点，连接，则∥，从而得或其补角为异面直线AB1与BD所成角，
因为AB=BC，D是AC的中点，所以，
因为平面，在平面内，
所以，
因为
所以平面，
所以，所以，
因为AB=BC=BB1=2，所以，
所以，
所以，故答案为：
9．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，现有如下四个结论：
①；②平面平面；③异面直线、所成的角为定值；④三棱锥的体积为定值.
其中正确结论的序号是___________.
【答案】①②④
【解析】①设与相交于，
在正方体中，四边形为正方形，则，
平面，平面，，
，平面，
平面，，①正确；
②在正方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，可得，
平面，平面，平面，
同理可证平面，
，所以，平面平面，即平面平面， ②正确；
③由于正方体的棱长为，所以，，而，
，则，又，所以四边形是平行四边形，
所以，所以是异面直线、所成的角，
因为平面，平面，所以，
所以，其中为定值，长度不固定，
所以不是定值，所以 ③错误；
④由 ①可知平面，
所以为定值，所以 ④正确.
故答案为： ① ② ④.
10．已知正四棱柱的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为，点是的中点，点是球上的任意一点，有以下命题：
①的长的最大值为9;
②三棱锥的体积的最大值是;
③过点的平面截球所得的截面面积最大时，垂直于该截面.
④三棱锥的体积的最大值为20；
其中是真命题的序号是___________
【答案】①④
【解析】外接球半径为：，因为点是的中点，
所以，
故的最大值为，①正确；
，高，故，②错误；
当过点的平面截球所得的截面面积最大时，截面过直线，，故③错误.
，，故，故④正确；
故答案为：①④.
11．已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且，，则直线FH与直线EG（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
【答案】B
【解析】如图所示，连接EF,GH.
四边形是空间四边形，、分别是、的中点，
为三角形的中位线
且
又，
，且，
在四边形中，
即，，，四点共面，且，
四边形是梯形，
直线与直线相交，故选：B
12．在平面四边形中，，将该四边形沿着对角线折叠，得到空间四边形，则异面直线所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取线段的中点，
连接.易得，
从而平面.
因此，
所以异面直线所成的角是故选：D.
13．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的角正切值为______.
【答案】2
【解析】由题意知，水的体积为，
如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱，，，交于，，，，则，
水的体积为，
，即，．
在平面内，过点作，交于，则四边形是平行四边形，，
，
侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角，
即为所求，而，
在△中，，
侧面与桌面所成角的正切值为2．故答案为：2．
14．如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．
（1）证明：平面；
（2）求直线平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明： 由，，，，得，所以，由．
由，，，，得，
由，得，
由，得，所以，
故，又，因此平面．
（2）解 如图，过点作，交直线于点，连接．
由平面，平面，得
平面平面，由，得平面，
所以是与平面所成的角．
由，，
得，，
所以，故．
因此，直线与平面所成的角的正弦值是．
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