2021高一数学寒假作业同步练习题：函数的应用

‎1．函数零点所在的区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】，，，‎ ‎，‎ ‎ 零点所在区间为故选：C.‎ ‎2．函数的零点是（ ）‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【详解】当时，令，则，解得，不满足，舍去；‎ 当时，令，则，解得，满足.‎ 所以，函数的零点是.故选：A.‎ ‎3．下列函数中，在内有零点且单调递增的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】对于A，，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；‎ 对于B，，在上为减函数，不符合题意；‎ 对于C，，其定义域为，在上没有定义，不符合题意；‎ 对于D，，在上有零点，且在为增函数，符合题意；故选：D ‎4．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】由题可知当时，；当时，，‎ ‎，解得，‎ 则当时，.‎ 故选：C.‎ ‎5．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，若使提价后的销售总收入不低于20万元，则提价后的价格至多是（ ）‎ A．4元 B．5元 C．3元 D．6元 ‎【答案】A ‎【详解】设提价后价格是元（），则销售量为（万本）‎ 销售总收入为，‎ 由，得，∴‎ ‎∴提价后至多为每本4元．‎ 故选：A．‎ ‎6．已知关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】依题意，方程即，即有两个不等实根，则函数与直线和共有两个不同的交点，如图所示：‎ ‎ ‎ 则需，即，故实数的取值范围是.‎ 故选：A.‎ ‎7．为预防流感病毒，我校每天定时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药物含量超过0.25mg时能有效杀灭病毒.已知教室内每立方米空气中的含药量（单位：mg）随时间（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为：（为常数），则下列说法不正确的是（ ）‎ A．当时，‎ B．当时，‎ C．教室内持续有效杀灭病毒时间为小时 D．喷洒药物3分钟后开始进行有效灭杀病毒 ‎【答案】C ‎【详解】A. 在药物释放过程中，与成正比,设,当， 时， ，所以，故正确；‎ B. 因为药物释放完毕后，与的函数关系式为：（为常数），当， ，所以，故正确；‎ C. 当时，，解得，持续时间为；‎ 当时，，解得 ，持续时间为 ，所以总持续时间为，故错误；‎ D. 因为当时，，解得小时，即喷洒药物3分钟后开始进行有效灭杀病毒，故正确；‎ 故选：C ‎8．用二分法求方程在区间上零点的近似值，先取区间中点，则下一个含根的区间是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【详解】在上单调递增，，，，因为，则，所以，则，所以下一个含根区间应该为．‎ 故答案为：‎ ‎9．函数的零点均是正数，则实数b的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【详解】因为函数的零点均是正数，‎ 故方程的根都是正根，‎ 故当时，需满足 解得.‎ 当时，解得，此时方程为，‎ 方程的根满足题意.‎ 综上所述：.‎ 故答案为：.‎ ‎10．已知是上的奇函数，且当时，，则函数在上的零点的个数是______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【详解】时,令，解得，；‎ 根据奇函数的对称性，当时，的零点是，；‎ 又，所以在上共有5个零点.‎ 故答案为：5.‎ ‎11．设函数，若互不相等的实数、、，满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】设，作出函数的图象如下图所示：‎ ‎ ‎ 设，‎ 当时，，‎ 由图象可知，，则，可得，‎ 由于二次函数的图象的对称轴为直线，所以，，‎ 因此，.‎ 故选：C.‎ ‎12．流行病学基本参数：基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：（其中是开始确诊病例数）描述累计感染病例随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T满足，有学者估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当时，t的值为（）（ ）‎ A．1.2 B．1.7 C．2.0 D．2.5‎ ‎【答案】B ‎【详解】把代入，得，解得，‎ 所以，‎ 由，得，则，‎ 两边取对数得，，得，‎ 故选：B ‎13．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在（），满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点.已知是上的平均值函数，则它的均值点为__；若函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是__.‎ ‎【答案】0 ‎ ‎【详解】对于，，故它的均值点为0.‎ ‎∵是上的平均值函数，，‎ ‎∴关于的方程在内有实数根，‎ 即在内有实数根.‎ 解得方程的根为，或，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ 故答案为：0，.‎ ‎14.某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商品一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为正常数），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：‎ ‎/天 ‎10‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎/件 ‎110‎ ‎120‎ ‎125‎ ‎120‎ 已知第10天的日销售收入为121元.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）给出以下四种函数模型：①，②，③，④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的变化关系，并求出该函数的解析式.‎ ‎（3）求该小物品的日销售收入（单位：元）的最小值.‎ ‎【解析】（1）依题意知第10天的日销售收入为，得； ‎ ‎（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②，‎ ‎，‎ 从表中任意取两组值代入可得，，解得，‎ ‎； ‎ ‎（3）由（2）知，‎ 所以，‎ 当时，在上是减函数，在是增函数，‎ 所以. ‎ 当时，为减函数，‎ 所以.‎ 综上所述，当时，取得最小值，‎