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哈三中 2020-2021 学年度高三年级线上学习阶段性考试
文科数学试卷
一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1． 已知集合 2 1M y y x ， lg 1N x x ，则 M N
A． 0,10 B． 1,10 C． 1,10 D．
2． 已知向量 ,a b 满足 0a b ，| | | | 2a b ，则| 2 |a b
A． 0 B． 5 C． 2 5 D． 20
3． 下列说法中正确的是
A．若一组数据1, ,3a 的平均数是 2，则该组数据的方差是 2
3
B．线性回归直线不一定过样本中心点 ( , )x y
C．若两个随机变量的线性相关关系越强，则相关系数 r 的值越接近于 1
D．先把高三年级的 2000 名学生编号：1 到 2000，再从编号为 1 到 50 的 50 名学生中随机抽取 1 名
学生，其编号为 m ，然后抽取编号为 50m + ， 100m + ， 150m + ，…的学生，这样的抽样方
法是分层抽样
4． 函数 2
3log 6f x x x 的单调递减区间为
A． 12, 2
B． 1, 2
C． 1 ,2
D． 1 ,32
5． 《易经》是中国文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾､坤､巽､震､
坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成（ 表示一根阳线，
表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有
3 根阳线的概率为
A． 1
2 B． 3
8 C． 1
4 D． 1
8
6． 已知等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 3 2 15S a a ， 5 4a ，则 1a
A． 1
2 B． 1
2
C． 1
4 D． 1
4
1
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7． 正方体上点 , , ,P Q R S 是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS 异面的图形是
A． B． C． D．
8． 若输入 x 的值为11，则下列程序运行后，输出的结果为
开始
输入 x
15.0 xy
| | 2y x ?
输出 y
结束
是
否
yx
A．
32
51 B.
16
19 C.
8
3 D.
4
5
9． 材料一：已知三角形三边长分别为 , ,a b c ，则三角形的面积为 ( )( )( )S p p a p b p c ，其中
2
a b cp ．这个公式被称为海伦—秦九韶公式；
材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点 1F ，
2F 的距离的和等于常数（大于 1 2F F ）的点的轨迹叫做椭圆．
根据材料一或材料二解答：已知 ABC 中， 4BC ， 8AB AC ，则 ABC 面积的最大值为
A． 2 3 B．3 C． 4 3 D． 6
10．在圆 2 2 5x y x 内，过点 5 3
2 2
， 有 n 条弦的长度成等差数列{ }na ，且最短弦长为首项 1a ，最长弦
长为 na ，若公差 1 1,5 3d
，则项数 n 的取值集合为
A． 3,4,5,6,7 B． 3,4,5,6 C． 4,5,6,7 D． 4,5,6
2
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11．P 为双曲线
2 2
2 2 1 0x y a ba b
左支上一点， 1 2,F F 为其左、右焦点，若
2
2
1
PF
PF
的最小值为10a ，
则双曲线的离心率为
A． 4 5 B． 4 5 C． 4 5 D． 4
12．已知定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( )
( 1) 1 1f x
f x
e
．若 ( )f x 的值域为 (0, ) ，且
( 1) ( ) 1 0f x tf x 恒成立，则实数t
A．最小值是 2 1e B．最大值是 2 1e C．最大值是 e D．最小值是 e
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．函数 2 2( ) cos sinf x x x 的最小正周期为 ．
14．已知 ,x y 是 0,2 上的两个随机数，则 ,x y 满足 2y x 的概率为 ．
15．在梯形 ABCD 中， / /AD BC ，
2ABC ， 1AD ， 2AB BC . 将梯形 ABCD 绕 AB 所在的
直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ．
16．在 ABC 中, , ,a b c 分别是角 , ,A B C 所对的边，若sin 2 sin 2A B ， a b ， 5c ，则 2a b 的
最大值为 ．
三、解答题：共 70 分．第 17、18、19、20、21 题为必考题，每题 12 分．第 22、23 题为选考题，共 10
分，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17．2020 年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，
某校推迟 2020 年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”
的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机
抽取了该校的 100 名学生（男生与女生的人数之比为 1:1）对
线上课程进行评价打分，若评分不低于 80 分视为满意. 其得
分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图
得到的评分不低于 70 分的频率为 0.85.
（1）求b 的值，并估计 100 名学生对线上课程评分的平均值（每组数据用该组的区间中点值为代表）；
（2）结合频率分布直方图，请完成以下 2 2 列联表，并回答能否有 99%的把握认为对“线上教学是
否满意与性别有关”.
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性别 态度 满意 不满意 合计
男生
女生 15
合计 100
附：随机变量
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
.
2
0P K k
0.05 0.01 0.001
0k 3.841 6.635 10.828
18．如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AC BC ， 1AC BC ， 1 2AA ， 1AD AA
.
（1）当 1
2
时，证明： 1DC 平面 BCD；
（2）当 3
4
时，求 1C 到平面 DBC 的距离．
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19．某科技公司准备对一项产品进行技术升级改造，经过市场调研和模拟，得到技术升级改造的总投入
x (单位：百万元)与改造后增加的收入 y (单位：百万元)的一组数据如下表：
总投入 x （百万元） 2 3 5 7 8
增加收入 y （百万元） 5 8 12 14 16
（1）若从所给的五组数据中任取两组，求恰有一组满足 2 25x y 的概率；
（2）根据表中数据，甲、乙两位同学给出的拟合直线方程分别为 1 : 2 1l y x ， 2 : 2l y x ，试用
相关指数 2R （精确到小数点之后两位）判断哪条直线的拟合程度更好.
附：相关指数
2
2 1
2
1
ˆ( )
1
( )
n
i i
i
n
i
i
y y
R
y y
.
20．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 过点 A )2,1( .
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）过点 2( ,0)( 0)M m m 的直线 1l （斜率为正）交抛物线C 于 D E、 两点，且 2DM ME ，过点
( ,0)N m 的直线 2l 与 1l 平行，求证：直线 2l 过定点，并求出该定点坐标.
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21．已知 ( ) ln 0f x x mx m .
（1）若 ( )y f x 在点 1, (1)f 处的切线平行于 x 轴，求 ( )f x 的极值；
（2）若不等式 21( ) 1 2f x x mx 对于任意的 0x 恒成立，求整数 m 的最小值．
（二）选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将所选题号涂黑. 如果多
做，则按所做的第一题记分.
22．已知函数 ( ) 2 1f x x x ．
（1）解不等式 0)( xf ；
（2）若存在实数 x ，使得 axxf )( ，求实数 a 的取值范围．
23．已知在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 1
22 2:
21 2
x t
C
y t
（t 为参数），在以坐标原点 O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2C 的极坐标方程为 4cos ．
（1）写出曲线 1C 的极坐标方程和 2C 的直角坐标方程；
（2）已知 2,1M ，曲线 1C , 2C 相交于 A,B 两点，试求点 M 与弦 AB 的中点 N 的距离．
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