咸阳市2021年高考模拟检测（一）
数学（文科）试题
注意事项：
1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；
2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；
3．第I卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数，那么在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（ ）
12
A．86.2米 B．83.6米 C．84.8米 D．85.8米
4．已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
5．中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．设，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量满足，且．则向量与向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图像大致为（ ）
12
A． B． C． D．
9．已知的圆心是坐标原点O，且被直线截得的弦长为3，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．设函数，则在上的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线分别是双曲线C的左右焦点，且．过点作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若的面积取最大值时，双曲线C的离心率为（ ）
A．3 B． C．2 D．
12．已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若满足约束条件则的最大值为__________．
12
14．若偶函数满足，则____________．
15．已知有大小相同的三个正方形并排摆放，如图所示，其中均为锐角，则_____________．
16．已知是两个平面，是两条直线．有下列命题：
①如果，那么； ②如果，那么；
③如果，那么； ④如果，那么．
其中所有真命题的序号是__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
设数列是等差数列，已知．
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求．
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，平面平面是的中点．
12
（I）求证：平面；
（Ⅱ）设点N是的中点，求三棱锥的体积．
19．（本小题满分12分）
随着互联网的飞速发展，我国智能手机用户不断增加，手机在人们日常生活中也占据着越来越重要的地位．
某机构做了一项调查，对某市使用智能手机人群的年龄、日使用时长情况做了统计，将18~40岁的人群称为“青年人”（引用青年联合会对青年人的界定），其余人群称为“非青年人”．根据调查发现“青年人”使用智能手机占比为，“非青年人”使用智能手机占比为；日均使用时长情况如下表：
时长
2小时以内
2～3小时
3小时以上
频率
0.4
0.3
0.3
将日均使用时长在2小时以上称为“频繁使用人群”，使用时长在2小时以内称为“非频繁使用人群”．已知“频繁使用人群”中有是“青年人”．
现对该市“日均使用智能手机时长与年龄的关系”进行调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据上面提供的数据．
（Ⅰ）补全下列列联表；
青年人
非青年人
合计
频繁使用人群
非频繁使用人群
合计
（Ⅱ）根据列联表的独立性检验，判断有多大把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”？
12
附：，其中．
以参考数据：独立性检验界值表
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
20．（本小题满分12分）
设O为坐标原点，抛物线与过点的直线相交于两个点．
（I）求证：；
（Ⅱ）求面积的最小值．
21．（本小题满分12分）
设函数，
（I）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设对于任意，且，都有恒成立，求实数m的取值范围．
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（t为参数）．
（Ⅰ）求直线的普通方程，说明C是哪一种曲线；
12
（Ⅱ）设分别为和C上的动点，求的最小值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）求的解集；
（Ⅱ）若有2个不同的实数根，求实数k的取值范围．
咸阳市2021年高考模拟检测（一）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．D 7．C 8．D 9．C 10．D 11．D 12．C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14 14． 15．1 16．②③
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．解：（I）设等差数列的公差为d，则由题意有，……（2分）
，……（4分）
．……（5分）
（Ⅱ）
12
．……（12分）
18．解：（Ⅰ）∵平面平面，
平面，平面，
是的中点，
，
平面．……（6分）
（Ⅱ）由（I）知平面，
是的中点，到平面的距离是，
平面，，
．（12分）
19．解：（Ⅰ）列联表为：
青年人
非青年人
合计
频繁使用人群
90
30
120
非频繁使用人群
30
50
80
合计
120
80
200
……（6分）
（Ⅱ），
12
故有的把握认为“日均使用智能于机时长与年龄有关”．……（12分）
20．解：（Ⅰ）设直线，设，
联立消去x得，，
．……（3分）
，
，即．……（5分）
（Ⅱ）解法1：由（I）知，所以为直角三角形．
，
由（I）知，
．……（8分）
又，
，
，当且仅当时等号成立．
故面积的最小值为16．……（12分）
解法2：设，代入，得，
化简得，
12
，
，……（8分）
又O到直线的距离为：，
，……（10分）
当k不存在时，直线，则易知，
．……（11分）
综上可知，的最小值为16．……（12分）
21．解：（I）易知的定义域为R，
，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减．
的单调递减区间是，单调递增区间是．……（5分）
（Ⅱ）当时，恒成立，即恒成立，
设，则在上单调递减，
12
即，
，
设，则在上单调递减，
，即．……（12分）
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．
22．解：，……（2分）
，即，所以曲线C是焦点在x轴上的椭圆．……（5分）
（Ⅱ）设，则就是点N到直线的距离，
（由决定）
当时，．……（10分）
23．解：（I），
其图像如图所示，
易知：的解集是或．……（5分）
（Ⅱ）由图易知：，
，即．……（10分）
12
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