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2020-2021 学年安徽名校第一学期期末联考
高三文科数学参考答案
题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案 B A C B D B C C A A C D
1.【解析】由题意可知 1 3A x x ， 2 4B x x ，利用数轴可得，A B 1 4x x .
2.【解析】因为 (2 i) iz ，所以
i 1 2i
2 i 5z .
3. 【 解 析 】 由
1 1 2 1( )3 3 3 3AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC
, 所 以
22 1 2 1( )3 3 3 3AD AB AB AC AB AB AC AB
22 1 2 1 21 cos90 3 03 3 3 3 3AC AB
4.【解析】由题意知，平均值为
20 26 32 34 38 42 326
，从六场比赛成绩选出一场比赛成
绩的事件总数为 6，满足条件的基本事件为 3 个，所以所求的概率为
3 1
6 2
.
5.【解析】由图像可得 1,0 1a b ，所以可得 0b a ， 2 1b a ，经验证，除 D 不正确，其余
均正确.
6.【解析】因为
4 5 1
6 1
2 7 0,
5 3,
a a d
a
a
a d
，所以
1 7
2
a
d
，
，
7
7(7 1)( 7) 7 2 72S .
7.【解析】取 D1C1 中点 H,连接 HF,则 HF//PE,即 GFH 为异面直线 GF 与 PE 所成的角，可得 2HF ，
2GH ,所以 6GF ，从而得到
2 3cos 36
.
8.【解析】函数 2sin 46 (0 )xf x
的周期为 ，所以 2 ，所以
2sin 2 6xf x
，可以判断 ( )3f 为最大值所以 C 正确，其余均不正确.
9.【解析】小李的年龄比律师大，故小李不是律师，小杨和医生不同岁，故小杨不是医生，医生的年
龄小于小王的年龄，故小王不是医生；若小杨是教师，则小李是医生，小王是律师，此时，由小李
1
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的年龄比律师大，小李的年龄大于小王，由医生的年龄小于小王的年龄，所以小李的年龄小于小王
的年龄，出现矛盾，故小杨是律师，小李是医生，小王是教师.
10.【解析】如图，在 ABD 中，
3A ， 5AD ， 7BD ，由余弦定理可得，
2 2 2 2 cos 3BD AD AB AB AD ，得 8AB ，因为
sin cos 2
Cc B b ，由正弦定理得sin sin sin cos 2
CC B B ,得
sin cos 2
CC ,得 2sin cos cos2 2 2
C C C ，得 1sin 2 2
C ，所以
2 6
C ，
3C ,所以三角形 ABC 为等边三角形，即 BC=8.
11.【解析】当 0a 时， ( ) 1f a ，得 ( ( )) (1) 2f f a f ，当 0a 时， (0) 1f ，
( ( )) (1) 2f f a f ，成立， 0a ， ( ) 1f a a ，得 ( ( )) ( 1) 1 1 2f f a f a a ，得 0a ，
不成立；所以 0a .
12. 【解析】如图，过点 M 做 MD 垂直于准线 l,由抛物线定
义得 MF=MD,因为 PF FM
，所以 PM=2MD,所以 30DPM ,
则直线 MN 方程为 3( 1)x y ，联立
2
3( 1),
4 ,
x y
x y
消去 x 得，
23 10 3 0y y ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ， 所 以
1 2 1 2
10 , 13y y y y
，得 1 2
10 162 23 3MN y y
.
13.【答案】2【解析】由约束条件可得，当 2, 0x y 时， z x y 取得最大值为 2.
14.【答案】
24
25
【解析】因为
2sin( )4 10
，得
1sin cos 5
，所以
1sin 2 1 25
，得
4in2 2s 2
5
.
15.【答案】 10
2
【解析】因为以点 F 为圆心，以 2 为半径的圆与双曲线的一条渐近线的交点为 M,N，
且△ MNF 为等边三角形，圆 F 与渐近线相交所得弦长 2MN ，因为焦点 F 到渐近线的距离为 b ，
2
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所以 3b ，而 5c ，所以 2 2 2 1a c b ，得 2a ，所以双曲线C 的离心率 5 10
22
e .
16.【答案】32【解析】如图，取 AB 与 1 1A B 中点 , 'O O ,连接 , ', ' 'CO OO C O ,
则 可 得 2 2, ' ' 2CO C O ， 所 以 在 直 角 梯 形 ' 'C O OC 中 可 求 得
' 6O O ，由题意可知，该三棱台外接球的外接球的球心必在直线 'O O 上，
设 球 的 半 径 为 R, 球 心 为 D, 则
2 2 2 2( ' ' ) ' 'O D O O OC O D O C ， 得
' 6O D ，所以球心恰好为点 O，所以求的半径为 2 2 ，所以该三棱台外接
球的表面积为 4 (2 2) 32 .
17.【解析】（1）由题意得
5 15 10 5 50,
5 15 3,50 5
m n
m
……………………………………………2 分
解得 10m ， 5n ；……………………………………………………………………………………4 分
（2）由以上统计数据填写下面 2 2 列联表，如下
年龄低于 45 岁的人数 年龄不低于 45 岁的人数 合计
使用消费券人数 27 10 37
未使用消费券人数 3 10 13
合计 30 20 50
……………………………………………………………………………………………………8 分
根据公式计算
2
2 50 10 27 10 3 9.98 6.63537 13 30 20K ，………………………………………10 分
所以有 99%的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关. …………………………………………12 分
18.【解析】（1）选择①，因为 *
1 2 3
( 1) ( )2n
n nb b b b n N ，
当 1n 时， 1 1b ，……………………………………………………………………………………1 分
当 2n 时， ( 1) ( 1)
2 2n
n n n nb n ， 1n 时也成立，故 nb n ，…………………………3 分
3
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所以 2n
na ，
1
1 2 22
n
n
n
n
a
a
，………………………………………………………………………5 分
所以数列 na 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列．………………………………………………6 分
若选择②，设数列 nb 公差为 d ，
由题意 1
1 1
2,
2 4 7,
b d
b b d
得 1 1,
1,
b
d
得 nb n ，……………………………………………………3 分
即 2log na n ，得 2n
na ，所以
1
1 2 22
n
n
n
n
a
a
. …………………………………………………5 分
所以数列 na 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列． ………………………………………………6 分
（2）若选择条件①，则 2n
na ，………………………………………………………………………7 分
所以 1c 对应的区间为 (0,2) ，则 1 1c ； 2c 对应的区间为 (0,4) ，则 2 3c ；
3c 对应的区间为 (0,8) ，则 3 7c ；……； mc 对应的区间为 (0,2 )m ，则 2 1m
mc ；………10 分
所以 1 2 12(1 2 )2 1 2 1 2 1 2 21 2
m
m m
mT m m . ……………………………12 分
若选择条件②，则 2n
na ，……………………………………………………………………………7 分
所以 1c 对应的区间为 (0,2) ，则 1 1c ； 2c 对应的区间为 (0,4) ，则 2 3c ；
3c 对应的区间为 (0,8) ，则 3 7c ；……； mc 对应的区间为 (0,2 )m ，则 2 1m
mc ； ………10 分
所以 1 2 12(1 2 )2 1 2 1 2 1 2 21 2
m
m m
mT m m . ……………………………12 分
（19 题 2 个答案都算对）
19.证明：如图，取 AB,AD 中点为 M,N,连接 MN,则点 F 则线段 MN 上,证明如下：
连接 EM,EN, ……………………………………………1 分
因为 E 为 PA 中点.M 为 AB 中点，
所以 //EM PB ,因为 E 为 PA 中点.N 为 AD 中点，
所以 //EN PD ,……………………………………………3 分
又 EM EN E ,所以 //PBD EMN平面 平面 ,………4 分
4
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EF EMN 平面 ,所以 //EF PBD平面 ，……………5 分
所以点 F 的轨迹为线段 MN,在三角形 ABD 中，因为 60BAC ，所以 120BAC ，
所以 1 32MN BD ; …………………………………………………………………6 分
(2)连接 AF 延长交 BD 于点 O,因为 //PBD EMN平面 平面 ,
且 , ,APO EMN EF APO PBD PO 平面 平面 平面 平面
所以 //EF PO ，…………………………………………………8 分
因为 EF ABD 平面 ,所以 PO ABD 平面
又 PO PBD 平面 ，所以 PBD ABD平面 平面 ,………10 分
可得 PO 为三棱锥 P ABD 的高，且 1PO ，
1 1 1 32 3 1 .3 3 2 3P ABD ABDV S PO ………………………………………12 分
19.【解析】证明：如图，取 AB,AD 中点为 M,N,连接 MN,则点 F 则线段 MN 上,
证明如下：连接 EM,EN, ………………………………………1 分
因为 E 为 PA 中点.M 为 AB 中点，
所以 //EM PB ,因为 E 为 PA 中点.N 为 AD 中点，
所以 //EN PD ,………………………………………………3 分
又 EM EN E ,所以 //PBD EMN平面 平面 ,…………4 分
EF EMN 平面 ,所以 //EF PBD平面 ，……………………………………………………………5 分
所以点 F 的轨迹为线段 MN，所以点 F 的轨迹为线段 MN=1； ………………………………………6 分
(2)连接 AF 延长交 BD 于点 O,因为 //PBD EMN平面 平面 ,
且 , ,APO EMN EF APO PBD PO 平面 平面 平面 平面
所以 //EF PO ，………………………………………………8 分
因为 EF ABD 平面 ,所以 PO ABD 平面
又 PO PBD 平面 ，所以 PBD ABD平面 平面 ,……10 分
可得 PO 为三棱锥 P ABD 的高，
5
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1 1 1 2 3 3 1.3 3 2P ABD ABDV S PO
………………………………………………12 分
20.【解析】(1) 因为椭圆C 过点 4 21, 3P
,所以
2 2
1 32 19a b
，…………………………………1 分
因为离心率为 5
3
，所以 5
3
c
a ，……………………………………………………………………2 分
又 2 2 2a b c ，所以得
2 2
19 4
x y ；………………………………………………………………4 分
(2)（i）当 MN 斜率存在时，设 MN 与圆 O 的切线为 y kx n ，
要使四边形 OMQN 的面积最大，则 Q 到 MN 距离要最大，此时过 Q 点 MN 的平行线必与椭圆 C 相
切，设为 y kx m , 易得 Q 到 MN 距离与 O 到 MN 距离之和等于 O 到直线 y kx m 的距离，
设 O 到直线 y kx m 的距离记为 d ,则
21
md
k
，……………………………………………5 分
联立 2 2
,
1,9 4
y kx n
x y
消去 y 得 2 2 2(9 4) 18 9( 4) 0k x knx n ，
设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ， 1 2 2
18
9 4
knx x k
，
2
1 2 2
9( 4)
9 4
nx x k
，
所以
2 2 2
2
1 2 2
12 1 9 41 9 4
k k nMN k x x k
，………………………………………7 分
因为 y kx n 与圆 O 相切,所以
2
1
1
n
k
，
因为 y kx m 与椭圆相切，所以 2 29 4k m ，
OMN QMNOMQNS S S 四边形
1
2 MN d
2 2 2
2
1 12 1 9 4
2 9 4
k k n
k
21
m
k
=6
2 2
2
9 4
9 4
k n
k
=
2 2
2
2
388 36 6 49 4 9
k k
k
k
，………………………………………………………9 分
可得 OMQNS四边形 随 k 的增大而增大，即 4 2OMQNS 四边形 . ………………………………………10 分
6
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（ii）当 MN 斜率不存在时，不妨取 4 2(1, )3M , 4 2(1, )3N ,此时 Q（3,0）,
4 2OMQNS 四边形 .综上所得四边形 OMQN 的面积的最大值为 4 2 . …………………………12 分
21.【解析】（1）由题意知 (0, )x ，因为 ' 2( ) 2 2f x x m x , ……………………………2 分
所以 ' (1) 4 2f m ， (1) 1 3f m ， ………………………………………………………………3 分
所以所求切线方程为 (1 3 ) (4 2 )( 1)y m m x ，即(4 2 ) 3 0m x y m ； …………4 分
（2）当 1n 时， mxmxxxf ln22)( 2 ，
所以
x
mxx
xmxxf )1(2222)(
2 ，………………………………………………………5 分
所以 21, xx 是方程 012 mxx 的两个根，所以 1, 2121 xxmxx ， )1(
2
2 xxm ，…6 分
易得 12 x ，所以
1
12 )(
x
xxf =
2
122
2
2
1
ln22
x
xmxmxx
3 2
2 2 2 2 2 22 2 ln ( 1)x x x x x x ，………………………………………………………………8 分
3 2
2 2 2 2 2 2 2( ) 2 2 ln ( 1)g x x x x x x x ， )(ln23)( 22
2
22 xxxxg ，…………………9 分
易证明 22ln xx ， ……………………………………………………………………………………10 分
所以 0)( 2 xg ， )( 2xg 在 (1, )x 上单调递减， 4)1()( 2 gxg ，………………………11 分
从而
1
12 )(
x
xxf 的取值范围为 )4,( . …………………………………………………………12 分
22.【解析】（1）由直线 l 的参数方程可得直角坐标方程为 2x y ，……………………………1 分
代入 cos , sinx y ，得直线 l 的极坐标方程为 (sin cos ) 2 ，
即 sin( ) 24
， ………………………………………………………………………………3 分
将 cos , sinx y 代入 2 2( 2) 4x y ，
得曲线C 的极坐标方程为 4cos ；………………………………………………………………5 分
（2）由已知可设 1 2( , ), ( , )4 4M N ，
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则 1
2 2
sin cos4 4
， 2 4cos 2 24
， ………………………………………………8 分
2 1 2MN ， ……………………………………………………………………………10 分
23.【解析】（1）因为 ( )f x x a x b ( ) ( )x a x b a b a b ，…3 分
当且仅当 bxa 时等号成立， ( )f x 的最小值为 ,a b 所以 4a b ； ………………5 分
（2）由（1）知 4a b 且 1a ，得 3b ，………………………………………………………6 分
所以 1 3 5x x ，
当 1x 时，得 1 3 5x x ，即 3
2x ，所以 3 12 x ； …………………………7 分
当 1 3x 时，得 1 3 5x x ，即 4 5 ，所以 1 3x ； ……………………………8 分
当 3x 时，得 1 3 5x x ，即 7
2x ，所以 73 2x ； ……………………………………9 分
综上所述，不等式 ( ) 5f x 的解集为 3 7
2 2x x
.……………………………………………10 分
8
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