高三文科数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本试卷主要命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足（为虚数单位），则复数（ ）
A． B． C． D．
3．某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是（ ）
A．327 B．937 C．387 D．1087
4．摩索拉斯陵墓位于哈利卡纳素斯，在土耳其（TURKEY）的西南方，陵墓由下至上分别是墩座墙、柱子构成的拱廊、四棱锥金字塔以及由四匹马拉着的一架古代战车的雕像，总高度45米，其中墩座墙和柱子围成长、宽、高分别是40米、30米、32米的长方体，长方体的上底面与四棱锥的底面重合，顶点在底面的射影是长方形对角线交点，最顶部的马车雕像高6米，则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为（注：）
15
A．2.77 B．2.43 C．1.73 D．1.35
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
7．长征路公共汽车10分钟一班准时到达红旗车站，假设公共汽车到站后每人都能上车，则任一人在红旗车站等车少于6分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知正项等比数列的前项和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．函数，在上的图象大致为（ ）
15
A． B．
C． D．
10．已知函数，，则（ ）
A． B． C． D．
11．在正方体中，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点.现有以下结论：
①与是异面直线；②过，，三点的正方体的截面是等腰梯形；
③平面平面；④平面.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
12．点为抛物线:的焦点，横坐标为的点为抛物线上一点，过点且与抛物线相切的直线与轴相交于点，则（ ）
15
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题.
13．已知实数，满足则的最大值是______.
14．若单位向量，满足，则与的夹角为______.
15．在数列中，，，则数列中最大项的数值为______.
16．已知双曲线:的右焦点为，为双曲线的右顶点，过点作轴的垂线，与双曲线交于，若直线的斜率是双曲线的一条渐近线斜率的倍，则双曲线的离心率为______.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题
17．在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）求角的大小；
（2）若，，求.
18．西瓜堪称“盛夏之王”，清爽解渴，味甘多汁，是盛夏佳果，西瓜除不含脂肪和胆固醇外，含有大量葡萄糖、苹果酸、果糖、蛋白氨基酸、番茄素及丰富的维生素C等物质，是一种营养丰富、纯净、食用安全的食品.炎热的夏季里，人们都会吃西瓜来消暑解渴，某西瓜种植户统计了2020年6月、7月、8月、9月共计120天天气“炎热”还是“凉爽”使得西瓜销售“畅销”还是“滞销”的列联表如下：
西瓜畅销（单位：天）
西瓜滞销（单位：天）
总计
天气炎热
70
20
15
天气凉爽
20
总计
（1）求实数的值；
（2）完成上述列联表，并判断能否有85%的把握认为西瓜的销量好坏与天气因素有关？
（3）若利用分层抽样的方法在西瓜滞销的天数里，按天气炎热、天气凉爽抽取6天，再从这6天中随机抽出2天，求这2天天气情况不同的概率.
附：，其中.
1.323
2.072
2.701
3.841
0.25
0.15
0.10
0.05
19．如图1中，多边形为平面图形，其中，，，，，将沿边折起，得到如图2所示四棱锥，其中点与点重合.
（1）当时，求证：平面；
（2）当平面平面时，求三棱锥的体积.
20．已知函数.
（1）当时，求的极大值和极小值；
（2））当时判断在区间内零点的个数，并说明理由.
15
21．已知椭圆:的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，且的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作与直线不重合的直线与相交于，两点，若直线和直线相交于点，求证：点在定直线上.
（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）已知是曲线上一点，是直线上位于极轴所在直线上方的一点，若，求面积的最大值.
23．选修4-5：不等式选讲
设，且.
（1）求证：；
（2）用表示为，，，的最大值，求的最小值.
高三文科数学参考答案、提示及评分细则
15
1．C 由，所以，故选C.
2．D .故选D
3．A 依据题意，抽样间隔为25，又237除以25的余数为12，故所抽取的编号为，所以327不符合.故选A.
4．C 根据长、宽分别是40米、30米得金字塔的底面对角线长50米，可算出四棱锥高7米，所以侧棱长为，则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为.故选C.
5．B ，，，有.故选B.
6．A 时，；时，；时，；时，，不满足条件，退出循环，输出.故选A.
7．D 设上一班车离站时刻为，则该人到站的时刻的一切可能为，若在该站等车少于6分钟，则到站的时刻为，所以所求概率为.故选D.
8．B 设公比为，有，，可得，所以.故选B
9．A 由，可知为偶函数，又由当时，.故选A.
15
10．A 由题意有，两式作差得，有，又由，可得，，又由，可得，故有，故选A.
11．B 连接，因为为正方形的中心，所以是的中点，又为线段的中点，所以，从而、、、四点共面，即与共面，则①错误；连接，过作交于点，连接，则四边形是正方体过、、三点的截面（因为，且）.易证四边形为等腰梯形，故②正确；可证平面，结合平面，可得平面平面，则③正确；假设平面，又平面，平面平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，从而，所以是的中位线，即是的中点，这与“为线段上的动点”矛盾，故④错误.
12．B 由抛物线的对称性，不妨设点位于第一象限，可得点的坐标为，设直线的方程为，联立方程，消去后整理为，有，有，解得，可得直线的方程为，令，得，直线与轴的交点的坐标为，所以
15
，又，所以，所以，所以，故选B.
13．6 画出可行域，如图所示，当直线过点时，取得最大值，故.
14． 由，得，即，所以，又，所以.
15．17 当时，，所以数列中最大项的数值为17．
16．2 设焦点的坐标为，双曲线的离心率为，不妨设点位于第一象限，可求得点的坐标为，点的坐标为，直线的斜率为，又由，有，整理为，解得或（舍）.
17．解：（1）由正弦定理，得，
因为，所以，即.
由，得.
15
（2）由题意，得，即，
由余弦定理，得，即，
由及，解得，
由正弦定理，得，即，
所以.
18．解：（1）.
（2）填写列联表如下：
西瓜畅销（单位：天）
西瓜滞销（单位：天）
总计
天气炎热
70
20
90
天气凉爽
20
10
30
总计
90
30
120
，
故没有85%的把握认为西瓜的销量好坏与天气因素有关.
（3）天气炎热的天数为天，分别记作、、、，
天气凉爽的天数为天，分别记作、.
从这6天中随机抽取两天包括的基本事件为、、、、、、、、、、、、、、，共15个.
这2天天气不同的基本事件为、、、、、、、，共8个.
15
故这2天天气情况不同的概率为.
19．（1）证明：由，，，，易求，
所以，所以.
因为，，所以，所以.
又，，平面，
所以平面.
（2）解：如图，取的中点，连.
因为，，所以，.
因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面.
所以为三棱锥的高.
因为为直角三角形，，
所以.
20．解：（1）当时，，则.
由，得；由得或.
所以在和上是增函数，在上是减函数.
15
所以是的极大值点，是的极小值点.
所以的极大值为，的极小值为.
（2），
①当时，恒正，于是，当时，；当时，，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以是的极小值点，且，
又，，
所以在和内各有一个零点，
即当时，在内有两个零点.
②当时，列表如下：
2
+
0
－
0
+
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
考虑到，.
当，即时，因为，所以在内有两个零点；
当，即时，在内有一个零点.
当，即时，在内没有零点.
③当时，，则在上为增函数.
15
所以，故在内没有零点.
④当时，列表如下：
2
+
0
－
0
+
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
考虑到，的极大值，的极小值，所以在内没有零点.
综上，当时，在内有两个零点；当时，在内有一个零点；当时，在内没有零点.
21．（1）解：由题意，得，，且，
则，即，
所以，
故椭圆的方程为.
（2）证明：由（1）及的对称性，得点的坐标为，
设直线的方程为，点、的坐标分别为，.
联立方程消去后整理为，
所以，.
15
直线的斜率为，
直线的方程为，
直线的斜率为，
直线的方程为.
将直线和直线方程作差消去后整理为，
可得，
而由.
可得，解得，即直线和的交点的横坐标恒为4，
所以点在定直线上.
22．解：（1）由的参数方程得的普通方程为，所以的倾斜角为，所以直线的极坐标方程为；
由曲线的参数方程得的普通方程为，又，所以曲线的极坐标方程为.
（2）由，则的极坐标为.
15
设，
则
当，即时，.
23．（1）证明：因为（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），
所以，
由，得（当且仅当时等号成立）.
（2）解：设，则，，，
从而，即.
当且仅当，，即时，
.
15
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