高三理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.“，”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是（ ）
A.1087 B.937 C.387 D.327
5.若单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6.摩索拉斯陵墓位于哈利卡纳素斯，在土耳其（）的西南方，建筑的底面是长为40米，宽为30米的长方形，总高45米，其中墩座墙高20米，柱高12米，金字塔高7米，最顶部的马车雕像高6米，建筑物被墩座墙围住，旁边以石像作装饰，顶部的雕像是四匹马拉着一架古代战车，若摩索拉斯陵墓可视为一个长方体与一个正四棱锥的组合体，且长方体的上底面与正四棱锥的底面重合，则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为（参考数据：）
A.2.77 B.2.43 C.1.73 D.1.35
7.若，，，则（ ）
17
A. B. C. D.
8.函数在区间上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
9.在面积为的中，角的对边分别为，若，则（ ）
A.1 B. C.2 D.3
10.已知函数，，则（ ）
A. B. C. D.
11.点为抛物线的焦点，横坐标为的点为抛物线上一点，过点且与抛物线相切的直线与轴相交于点，则（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
17
13.已知实数满足约束条件，则的最小值为__________.
14.已知，则___________.
15.已知双曲线的右焦点为，为双曲线的右顶点，过点作轴的垂线，与双曲线交于，若直线的斜率是双曲线的一条渐近线斜率的倍，则双曲线的离心率为__________.
16.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，当的面积最大时，四棱锥的高为____________，四棱锥外接球的表面积为___________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
18.如图1中，多边形为平面图形，其中，，，，，将沿边折起，得到如图2所示四棱锥，其中点与点重合.
（1）当时，求证：平面；
17
（2）当二面角为时，求平面与平面所成二面角的正弦值.
19.某校为了调研学情，在期末考试后，从全校高一学生中随机选取了20名男学生和20名女学生，调查分析学生的物理成绩，为易于统计分析，将20名男学生和20名女学生的物理成绩，分成如下四组：，，，，并分别绘制了如下图所示的频率分布直方图：
规定：物理成绩不低于80分的为优秀，否则为不优秀.
（1）根据这次抽查的数据，填写下列的列联表；
优秀
不优秀
合计
男生
女生
合计
（2）根据（1）中的列联表，试问能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关？
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.在全校高一学生中随机抽取8名男生和8名女生，记“8名男生中恰有名物理成绩优秀”的概率为，“8名女生中恰有名物理成绩优秀”的概率为，试比较与的大小，并说明理由.
附：临界值参考表与参考公式
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（，其中.）
20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且垂直于轴的直线与交于
17
两点，且的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作与直线不重合的直线与相交于两点，若直线和直线相交于点，求证：点在定直线上.
21.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）已知是曲线上一点，是直线上位于极轴所在直线上方的一点，若，求面积的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲
设，且.
（1）求证：；
（2）用表示的最大值，求的最小值.
参考答案
17
1.A
，
所以复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.
2.B
由，得，所以.故选B.
3.A
由，，得；
由，得，.故选A.
4.D
依据题意，抽样间隔为25，又237除以25的余数为12，
故所抽取的编号为，所以327不符合.故选D.
5.B
由，得，
所以，所以，
又，所以.
故选B.
6.金字塔的侧棱长为，
则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为，
故选C.
7.C
17
，，，有.
故选C.
8.A
由，
可知为偶函数，又由当时，.
故选A.
9.B
由三角形的面积公式，得，
即，由余弦定理，得
，所以.
故选B.
10.A
由题意有，
两式作差得，
有，又，
所以，，又，
所以，故.
故选A.
11.C
17
由抛物线的对称性，不妨设点位于第一象限，
可得点的坐标为，
设直线的方程为，
联立方程，消去后整理为，
有，有，
解得，可得直线的方程为，
令，得，直线与轴的交点的坐标为，
所以，又，
所以，所以，
所以.
故选C.
12.D
由，得.
令，则问题可以转化为：
对任意，恒成立，
即函数在上单调递增，
因为，所以转化为在上恒成立，
因为，所以在上恒成立，即转化为
17
令，则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以.
故选D.
13.
画出可行域（如图阴影部分），
当直线过点时，取得最小值，的最小值为.
14.
对两边分别求导，得
，
令，得.
15.2
设焦点的坐标为，双曲线的离心率为，
不妨设点位于第一象限，可求得点的坐标为，
17
点的坐标为，直线的斜率为，
又由，有，
整理为，解得或（舍）.
16.，
点在以弦，所对的圆周角为的优弧上运动，
作，为垂足，由侧面底面，得底面.
当为的中点时，为等边三角形，
此时的面积最大，且，即四棱锥的高为.
设等边的中心为，正方形的中心为，
过、分别作平面、平面的垂线，且交于点，
则为四棱锥外接球的球心，
显然，
于是四棱锥外接球的表面积为.
17.解：（1）因为，所以，
又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
所以，得，
17
即数列的通项公式为.
（2）由（1），得
，则
.
18.（1）证明：由，，，，
易求，所以，所以.
因为，，所以，所以.
又，平面，
所以平面.
（2）解：取的中点，过点在平面内作的垂线交于，
以直线为轴，直线为轴，
过点作平面的垂线为轴，建立空间直角体系，
则，，，，.
因为，为的中点，所以，
又，所以.
在中，，，所以，所以，
所以，，，.
17
设平面的法向量为，
由，，有
解得，令，得；
设平面的法向量为，
由，，有
解得，令，得，
所以，，，
，
故平面与平面所成二面角的正弦值为.
19.解：（1）列出列联表，如下：
优秀
不优秀
合计
男生
15
5
20
女生
5
15
20
合计
20
20
40
17
（2），
所以能在犯错误的概率不超过的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关.
（3）根据频率分布直方图，可得男生物理成绩优秀的概率为，
女生物理成绩优秀的概率为.
设“8名男生中物理成绩优秀”的人数为随机变量，
“8名女生中物理成绩优秀”的人数为随机变量，
根据题意，得，，
则，
，
，
当时，，于是；
当时，，于是；
当时，，于是.
20.（1）解：由题意，得，，且，
则，即，
所以，
17
故椭圆的方程为.
（2）证明：由（1）及的对称性，得点的坐标为，
设直线的方程为，点、的坐标分别为，，
联立方程，消去后整理为，
所以，.
直线的斜率为，
直线的方程为，
直线的斜率为，
直线的方程为，
将直线和直线方程作差消去后整理为，
可得，
而由，
17
可得，解得，
即直线和的交点的横坐标恒为4，
所以点在定直线上.
21.（1）解：的定义域为，.
令，方程的判别式，
（ⅰ）当，即时，恒成立，
即对任意，，
所以在上单调递增.
（ⅱ）当，即或.
①当时，恒成立，即对任意，，
所以在上单调递增.
②当时，由，解得，.
所以当时，；当时，；当时，，
所以在上，，
在上，，
所以函数在和上单调递增；
在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
17
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由，得，所以，
因为，所以，
令，则，，
所以，，所以.
所以要证，只要证，即证.
由（1）可知，当时，所以在上是增函数，
所以，当时，，即成立，
所以成立.
22.解：（1）由的参数方程得的普通方程为，
所以的倾斜角为，所以直线的极坐标方程为；
由曲线的参数方程得的普通方程为，
又，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）由，则的极坐标为.
17
设，则
当，即时，.
23.（1）证明：因为（当且仅当时等号成立），
（当且仅当时等号成立），
（当且仅当时等号成立），所以
由，得（当且仅当时等号成立）.
（2）解：设，则，，，
从而，即.
当且仅当，，
即时，.
17
微信/支付宝扫码支付