六年级下册数学试题-奥数：第六讲 公因数和公倍数（无答案）全国通用

第六讲 公因数和公倍数 第一课时 ‎【知识概述】 我们知道：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数，一般地，把自然数 a 和 b 的最大公因数记为（a，b）。‎ 几个数共有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数，一般地，把自然数 a 和 b 的最小公倍数记为[a，b]。‎ 两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即：‎ ‎（a，b）×[a，b]=a·b ‎【例题 1】 有两根彩带，分别长 45 厘米和 30 厘米。现在要把这两根彩带剪成长度相等的短彩带且没有剩余，每段短彩带最长是多少厘米？‎ ‎【点拨与解】 这两根彩带要剪成长度一样的小段，且无剩余，每段长度必是 45 厘米和 30‎ 厘米的公因数。又要求每段尽可能的长，所求的每段长度就是 45 和 30 的最大公因数。‎ ‎（45,30）=15‎ 答：每段短彩带最长是 15 厘米。‎ 同步精练 ‎1、 陆老师买了 36 个本子、24 支钢笔，分别平均将给五（4）班三好学生，结果正好全部分完，问五（4）班最多共有多少名三好学生？‎ ‎2、把一张长 12 厘米、宽 20 厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的的正方形， 裁完后没有剩余，至少可以裁多少个？‎ ‎、‎ 第二课时 例 2 有一批地砖，每块长 45 厘米，宽 30 厘米，至少要用多少块这样的地砖才能铺成正方形地？‎ ‎【点拨与解】 要用这种地砖铺成正方形地，可知正方形地的边长是地砖长和宽的公倍数； 又因为要用尽可能少的地砖铺地，可知铺成的正方形地要尽可能小，即正方形地的边长要尽可能小，所以正方形地的边长是地砖长和宽的最小公倍数。‎ ‎[45,30]=90 （90÷45）×（90÷30）=2×3=6（块）‎ 答：至少要 6 块才能铺成正方形地。同步精练 ‎1、有一批强化地板，长 150 厘米，宽 20 厘米，至少要用多少块这样的地板才能铺成正方形地？‎ ‎2、一路和二路公交车早上 6 点同时从汽车站发车，一路车每 7 分钟发一辆车，二路车每 8 分钟发一辆车。这两辆车第二次同时发车是几时几分？‎ ‎3、柴油机上有两个互相咬合的齿轮，甲齿轮有 72 个齿，乙齿轮有 28 个齿，其中某一对齿， 从第一次相遇到第二次相遇，两个齿轮各转了多少圈？‎ 第三课时 例 3 两个数的最大公因数是 15，最小公倍数是 300，已知其中一个数是 75， 求另一个数是多少？‎ ‎【点拨与解】 根据两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，可以直接求出另一个数来。‎ ‎300×15÷75=60‎ 同步精练 ‎1、两个数的最大公因数是 21，最小公倍数是 126，已知其中一个数是 42， 求另一个数是多少？‎ ‎2、已知两个自然数的积是 3072，最大公因数是 16，求这两个数的最小公倍数是多少？‎ ‎3、已知两个数的最小公倍数是 210，它们的积是 1260，那么这两个数的 ‎- 31 -‎ 最大公因数是多少？‎ 第四课时 例 4 从学校到少年宫的这段公路的一侧，一共有 37 根电线杆，原来每 两根电线杆之间相距 50 米，现在要改为每两根之间相距 60 米，除两端不需要移动外，中途还有多少根不必移动？‎ ‎【点拨与解】 从学校到少年宫的这段公路的总长是 50×（37-1）=1800米，（因为有 37-1=36 个间隔）。从路的一端开始，是 50 和 60 的公倍数处的那 根电线杆就不必移动。因为 50 和 60 的最小公倍数是 300，所以，从第一根开 始，每隔 300 米就有一根电线杆不必移动，1800÷300=6（根），就是有 6 根不 必移动，去掉最后的那一根，所以，中途共有 5 根不必移动。‎ ‎[50,60]=300 50×（37-1）÷300=6（根） 6-1=5（根）‎ 答：中途还有五根不必移动。‎ 同步精练 ‎1、插一排彩旗共 26 面。原来没两面之间的距离是 4 米，现在改为 5 米。除起点一面不移动外，中间还有几面可以不移动？‎ ‎2、在长 288 米的河堤上，每隔 4 米栽了一棵树。现在要改为每隔 6 米栽一棵树，可以不拔出来的树有多少棵？‎ ‎- 31 -‎ ‎3、一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是 90 米。原来每隔 2 米植一 棵树。由于小树长大了，必须改为每隔 5 米植一棵树。如果两端不算，中间有几棵不必移动？‎ ‎- 34 -‎