内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）答案

文科数学答案 第 1 页 共 7 页 赤峰市高三 1·30 模拟考试试题 文科数学参考答案 2021.1 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C A D C B A D C D B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13． 2 3 ； 14. 1 4 ； 15. 3y x  ； 16． ①②④ . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(12 分) （1）解：由已知，得 1 ( 1)na a n d   ， 1 1 1 1 n n nb b q d a     2 2 4 31 , 1a b a b    ， 1 1 2 1 1 1 3 1 a d b q a d b q       ，…………………………2 分 即 2 1 3 1 q d dq q d dq        ，解得： 3 2 d q    或 0 1 d q     （舍去）………………4 分 2 ( 1) 3 3 1na n n       ， 13 2n nb   …………………………………6 分 （2）证明： 12 ( )nm n N   左边 21 1 2 ( ) (2 3 1) 3 1 2 2 2 2 m m m a a m ma a a m m          文科数学答案 第 2 页 共 7 页 1 23 4 22 n n    ……………………………………………………… 9 分 右边 2 1 1 1 21 1 3( ) (9 4 3 2 ) 4 26 6 2 n n n n n nb b             因此，原式得证……………………………………………………… 12 分 18.(12 分) （1） 证明：连结 BD 与 AC 交于点 N ，连结 MN 1/ / , 2 4, , 2 CD CNAB CD AB CD CND ANB AB AN        …2 分 1 , , / /2 EM EM CN MN ECMA MA AN    ……………………………4 分 又 MN 面 BDM ，CE  面 BDM ， / /CE 平面 BDM ………6 分 （2）解： AE  平面 MBC ， AE BM  , AB AE BE  ， M 为 AE 中点，面 ABE  面 ABCD …………………………8 分 点 E 到面 ABCD 的距离为 34 2 32d    M 到面 ABCD 的距离为 32 dh   ……………………………9 分 1 1 1 2 32 2 33 3 2 3C BDM M BCD BCDV V S h            …………12 分 19.(12 分) 解：（1） 物理成绩一般 物理成绩良好 合计 不使用手机 6 18 24 经常使用手机 10 6 16 合计 16 24 40 文科数学答案 第 3 页 共 7 页 2 2 40(6 6 18 10) 45 5.625 3.84124 16 24 16 8K         ， 所以有 95%的把握认为“物理成绩一般与经常使用手机有关系”. 或 2 5.625 5.024K   ，有 97.5%的把握认为“物理成绩一般与经常使用手机有关系”. …………………………………………………… 4 分 （2） 设 40 名学生物理平均成绩估计值为 x 55 0.015 65 0.025 75 0.020 85 0.0225 95 0.0175 75.25x            . ……………………………………………………8 分 （3） 高于 90 分经常使用手机的有 2 人，分别设为 ,A B 不使用用手机的有 5 人，分别设为 , , , ,a b c d e 高于 90 分人中随机抽取 2 人共有： , , , , , ; , , , , ;AB Aa Ab Ac Ad Ae Ba Bb Bc Bd Be , , , ; , , , , ,ab ac ad ae bc bd be cd ce de ，共 21 种 则至少有一人不使用手机的概率为 20 21p  ……………………………12 分 20.(12 分) 解：（1）由题意知 212 4, , 1, 32 ca e c ba       ………………… 2 分 椭圆的方程 2 2 14 3 x y  , “蒙日圆” E 的方程为 2 2 4 3 7x y    ，即 2 2 7x y  ……4 分 文科数学答案 第 4 页 共 7 页 （2）当切线 MA 的斜率存在且不为零时，设切线 MA 的方程为 y kx m  ，则 由 2 2 14 3 y kx m x y     ，消去 y 得 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x mkx m     ……5 分 2 2 2 2 2 264 4(3 4 )(4 12) 0, 3 4m k k m m k         …………6 分 由 2 2 7 y kx m x y      ，消去 y 得 2 2 2(1 ) 2 7 0k x mkx m     ………7 分 2 2 2 2 24 4(1 )( 7) 4 12 0m k k m k        …………………… 8 分 设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ，则 2 1 2 1 22 2 2 7,1 1 mk mx x x xk k      ………9 分 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( )y y kx m kx m k x x km x x mk k x x x x x x         2 2 2 2 22 2 2 2 2 7 2 71 1 7 7 1 m mkk km m m kk k m m k         ………………11 分 2 23 4m k  2 2 2 2 1 2 2 2 7 3 4 7 3 7 3 4 7 4 m k k kk k m k          当切线 MA 的斜率不存在且为零时， 1 2 3= 4k k  成立， 1 2k k 为定值 ………………………………………………12 分 21.（12 分） 解：（1）因为 22)()(  xxfxg 在 ),1(  上单调递减， 等价于 02)1( 1 1)( 2  xx axg 在 ),1(  恒成立 ………1 分 变形得 )1(1 1)1(2  xxxa 恒成立 ………………………2 分 文科数学答案 第 5 页 共 7 页 而 221 1)1(221 1)1(2  xxxx ……………3 分 （当且仅当 1 1)1(2  xx ，即 12 2 x 时，等号成立）． 所以 22a …………………………………………………4 分 （2） 2)1( 1)1()(   x xaxf ，令 0)(  xf ，解得 a ax 1 当 x 变化时， )(),( xfxf  的取值及变化如下表 x )11,1( a a 11 ),11(  a )(xf   0  )(xf ↘ 极小值 ↗ 所以 )ln1(1ln)11()( min aaaaaafxf  ………………6 分 （ⅰ）当 ea 0 时， 0)( min xf ，所以 )(xf 在定义域内无零点； （ⅱ）当 ea  时， 0)( min xf ，所以 )(xf 在定义域内有唯一的零点； （ⅲ）当 ea  时， 0)( min xf ， ……………………………9 分 ① 因为 01)2( f ，所以 )(xf 在增区间 ),11(  a 内有唯一零点； ② )ln2()11( 2 aaaaf  ， 设 aaah ln2)(  ，则 aah 21)(  ， 因为 ea  ，所以 0)(  ah ，即 )(ah 在 ),( e 上单调递增， 所以 0)()(  ehah ，即 0)11( 2 af ，所以 )(xf 在减区间 )11,1( a 内有唯一的零点．所以当 ea  时， )(xf 在定义域内有两个零点………11 分 文科数学答案 第 6 页 共 7 页 综上所述：当 ea 0 时， )(xf 在定义域内无零点； 当 ea  时， )(xf 在定义域内有唯一的零点； 当 ea  时， )(xf 在定义域内有两个零点． …………………………12 分 22.（10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 解：（1）直线 l 的普通方程为 013  yx ， 曲线 C 的普通方程为 2 2 2x a y a   ………………………………2 分 因为曲线 C 与直线l 有且只有一个交点， 所以直线l 与曲线 C 相切， 所以圆心 )0,(aC 到直线l 的距离为 a 到直线，所以 a a    22 )3(1 103 ，解得 1a 或 3 1a 解得（舍去） …………5 分 （2）直线l 的极坐标方程为 cos 3 sin 1 0      曲线 C 极坐标方程为 )0(cos2  aa  ……………………………… 6 分 则设点 A 的极坐标为 1( , )  ，点 B 的极坐标为 2( , )  ， 1 2,OA OB   1 2 1 , 2 cos 3 sin cos          …………………………… 7 分 2( 3 sin cos ) 2cos 2( 3 sin cos cos )OB OA            3 1 cos 22( sin 2 )= 3 sin 2 cos 2 1 2sin 2 12 2 6                ……… 8 分      34  ， ，  1,13162sin2,2362            ， ， 文科数学答案 第 7 页 共 7 页 3 1,1OB OA    …………………………………………………………………… 10 分 23.（10 分）选修 4—5：不等式选讲 （1）解：             0,31 2 10,1 2 1,13 12)1()2( xx xx xx xxxfxf 当 2 1x 时， )1()2(  xfxf 的最小值为 2 1m …………………… 5 分 （2）证明： 2 1sinsin2 1sin)(cos 2222        ff . 当 02 1sin 2  时，原式 2 1 2 1sin22 1sinsin 222   当 2 1sin 2  时，原式 2 1 2 1sinsin 22   2 1m mff       2 1sin)(cos 22  ……………………………10 分 或用如下方法： 2 1 2 1sinsin2 1sinsin2 1sin)(cos 222222             ff