山东省滨州市2021届高三上学期期末考试数学试题 （解析版）

1 2020-2021 学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷 一、单项选择题（共 8 小题）. 1．设集合 M＝{x|（x+3）（x﹣1）＜0}，N＝{x|0＜x＜4}，则 M∩N＝（ ） A．（0，1） B．（﹣1，4） C．（0，3） D．（﹣1，3） 2．已知 i 为虚数单位，若 z＝ ，则 z 的共轭复数 ＝（ ） A．cos θ ﹣isin θ B．sin θ ﹣icos θ C．sin θ +icos θ D．cos θ +isin θ3．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上 造、公士，凡五人，共出百錢．欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有 大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次变低）5 个人共出 100 钱，按照爵位从高到低 每人所出钱数成等差数列，这 5 个人各出多少钱？”在这个问题中，若大夫出 4 钱，则 上造出的钱数为（ ） A．8 B．12 C．20 D．28 4．函数 f（x）＝2（x3﹣x）e|x|的图象大致是（ ） A． B． C． D． 5．已知平面向量 ， 满足 •（ + ）＝3，且| |＝2，| |＝1，则向量 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 6．已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P（﹣3，4），则 cos2 α ＝（ ） A． B． C． D． 7．已知函数 f（x）对任意 x ∈ R 都有 f（x+2）＝﹣f（x），且当 x ∈ [0，2）时，f（x）＝log2 （x+1），则 f（2021）﹣f（﹣2021）＝（ ） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 2 8．已知双曲线 C： 是直线 bx﹣ay+2a＝0 上任意 一点，若（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝2 与双曲线 C 的右支没有公共点，则双曲线 C 的离心率 的取值范围是（ ） A．（1，2] B．（1， C．（2，+∞） D． 二、多项选择题（共 4 小题）. 9．下列命题为真命题的是（ ） A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 B．若 a＜b＜0，则 a2＜ab＜b2 C．若 c＞a＞b＞0，则 D．若 a＞b＞c＞0，则 10．设 m，n 是两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面．下列说法正确的是（ ） A．若 m⊥ α ，n⊥ α ，则 m∥n B．若 α ⊥ β ，m⊥ β ，m ⊄α ，则 m∥ αC．若 α ⊥ β ，m ⊂α ，则 m⊥ βD．若 m ⊂α ，n ⊂α ，m∥ β ，n∥ β ，则 α ∥ β11．二项展开式（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则（ ） A．a0＝﹣1 B．5a5+4a4+3a3+2a2+a1＝10 C．a3＝80 D．a1+a2+a3+a4+a5＝1 12．已知函数 f（x）＝asinx+bcosx（ab≠0），且对任意 x ∈ R 都有 ， 则（ ） A．f（x）的最小正周期为 2 πB．f（x）在 上单调递增 C． 是 f（x）的一个零点 D． 3 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 C：y＝xex 在点 M（1，e）处的切线方程为 ． 14．斜率为 1 的直线经过抛物线 y2＝4x 的焦点，与抛物线相交于 A，B 两点，则|AB|＝ ． 15．甲、乙两人从 4 门不同的课程中各随机选修 2 门课程，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门课程不同的概率为 ． 16．已知侧棱长为 的正四棱锥 S﹣ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，当该棱锥体积 最大时，底面 ABCD 的边长为 ，此时球 O 的表面积为 ． 四、解答题（共 6 小题）. 17．在 ① 2sinA＝3sinB； ② △ABC 的面积为 ； ③ b（bcosC+ccosB）＝6 这三个条件中 任选一个补充在下面的问题中，并解答． 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a﹣b＝1，cosC＝﹣ ，______． （1）求 c 的值； （2）求 tan2B 的值． 18．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 3S3＝S4+2S2，a1＝2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 bn＝log2an，cn＝an+ ，求{cn}的前 n 项和 Tn． 19．2020 年春，我国武汉出现新型冠状病毒，感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难 等症状，严重的可导致肺炎甚至危及生命．新型冠状病毒疫情牵动每一个中国人的心， 为了遏制病毒的传播，危难时刻全国人民众志成城、共克时艰．某校为了了解学生对新 型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展网上防疫知识有奖竞赛活动，并从男生、女生 中各随机抽取 20 人，统计答题成绩分别制成如下频率分布直方图和频数分布表： 女生成绩 成绩 [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 频数 7 7 4 2 规定：成绩在 80 分以上（含 80 分）的同学称为“防疫明星”． （1）根据以上数据，完成以下 2×2 列联表，并判断是否有 99%的把握认为“防疫明星” 与性别有关； 男生 女生 合计 4 防疫明星 非防疫明星 合计 （2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校男生中随机抽取 4 人，其中“防疫明 星”的人数为 X，求随机变量 X 的分布列与数学期望． 附：参考公式 其中 n＝a+b+c+d． 参考数据： P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20．如图 1，一副标准的三角板中，∠B＝∠E＝90°，∠A＝60°，DE＝EF，BC＝DF．将 三角板的边 BC 与 DF 重合，把两个三角板拼成一个空间图形，如图 2．设 M 是 AC 的中 点，N 是 BC 的中点． （1）求证：平面 ABC⊥平面 EMN； （2）若 AC＝2EM＝4，求二面角 E﹣AC﹣B 的余弦值． 21．已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 在椭 5 圆 C 上，且满足 ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 l：y＝kx+m 与椭圆 C 交于不同两点 M，N，且 OM⊥ON．证明：总存在一 个确定的圆与直线 l 相切，并求该圆的方程． 22．已知函数 f（x）＝﹣ +lnx． （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 a＝1，证明 ． 6 参考答案 一、单项选择题（共 8 小题）. 1．设集合 M＝{x|（x+3）（x﹣1）＜0}，N＝{x|0＜x＜4}，则 M∩N＝（ ） A．（0，1） B．（﹣1，4） C．（0，3） D．（﹣1，3） 解：M＝{x|（x+3）（x﹣1）＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}， 而 N＝{x|0＜x＜4}，所以 M∩N＝{x|0＜x＜1}． 故选：A． 2．已知 i 为虚数单位，若 z＝ ，则 z 的共轭复数 ＝（ ） A．cos θ ﹣isin θ B．sin θ ﹣icos θ C．sin θ +icos θ D．cos θ +isin θ解：∵z＝ ＝ ＝cos θ ﹣isin θ ， ∴ ＝cos θ +isin θ ， 故选：D． 3．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上 造、公士，凡五人，共出百錢．欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有 大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次变低）5 个人共出 100 钱，按照爵位从高到低 每人所出钱数成等差数列，这 5 个人各出多少钱？”在这个问题中，若大夫出 4 钱，则 上造出的钱数为（ ） A．8 B．12 C．20 D．28 解：设首项为 a1，公差为 d＞0．由题意可得 a1＝4， ①S5＝5a1+ ＝100， ②由 ①② 联立可得 d＝8， 则上造出的钱数为 a4＝a1+3d＝4+3×8＝28， 故选：D． 4．函数 f（x）＝2（x3﹣x）e|x|的图象大致是（ ） 7 A． B． C． D． 解：函数 f（x）＝2（x3﹣x）e|x|， 则 f（﹣x）＝﹣2（x3﹣x）e|x|＝﹣f（x）， ∴f（x）是奇函数，排除 A 选项． 令 f（x）＝0，可得 x＝±1， 当 x＝ 时，可得 f（ ）＝ ＜0，图象在 x 轴的下方，排除 B，D 选项． 故选：C． 5．已知平面向量 ， 满足 •（ + ）＝3，且| |＝2，| |＝1，则向量 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 解：∵ ＝2，∴ ＝4 又∵ •（ + ）＝3， ∴ + • ＝4+ • ＝3，得 • ＝﹣1， 设 与 的夹角为 α ， 则 • ＝ cos α ＝﹣1，即 2×1×cos α ＝﹣1，得 cos α ＝﹣ ∵ α∈ [0， π ]， ∴ α ＝ 故选：C． 6．已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P（﹣3，4），则 cos2 α ＝（ ） A． B． C． D． 解：∵角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P（﹣3，4）， 8 ∴sin α ＝ ＝ ， 则 cos2 α ＝＝1﹣2sin2 α ＝1﹣2× ＝﹣ ， 故选：B． 7．已知函数 f（x）对任意 x ∈ R 都有 f（x+2）＝﹣f（x），且当 x ∈ [0，2）时，f（x）＝log2 （x+1），则 f（2021）﹣f（﹣2021）＝（ ） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 解：∵f（x+2）＝﹣f（x）， ∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）， ∴f（x）是周期为 4 的周期函数， ∵当 x ∈ [0，2）时，f（x）＝log2（x+1）， ∴f（2021）＝f（1）＝log22＝1， 由 f（x+2）＝﹣f（x），可得 f（x）＝﹣f（x+2）， f（﹣2021）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1， ∴f（2021）﹣f（﹣2021）＝2． 故选：A． 8．已知双曲线 C： 是直线 bx﹣ay+2a＝0 上任意 一点，若（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝2 与双曲线 C 的右支没有公共点，则双曲线 C 的离心率 的取值范围是（ ） A．（1，2] B．（1， C．（2，+∞） D． 解：双曲线 C： ﹣﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 y＝ x，即 bx﹣ay ＝0， ∵P（x0，y0）是直线 bx﹣ay+2a＝0 上任意一点， 则直线 bx﹣ay+2a＝0 与直线 bx﹣ay＝0 的距离 d＝ ＝ ， ∵圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝2 与双曲线 C 的右支没有公共点， ∴d≥ ， 9 ∴ ≥ ， 即 e＝ ≤ ， 故 e 的取值范围为（1， ]， 故选：B． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分。 9．下列命题为真命题的是（ ） A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 B．若 a＜b＜0，则 a2＜ab＜b2 C．若 c＞a＞b＞0，则 D．若 a＞b＞c＞0，则 解：当 c＝0 时，ac2＝bc2，所以 A 不正确； 若 a＜b＜0，例如 a＝﹣2，b＝﹣1，则 a2＞b2，所以 B 不正确； c＞a＞b＞0，a（c﹣b）﹣b（c﹣a）＝ac﹣bc＝c（a﹣b）＞0，所以 ，所以 C 正确； 若 a＞b＞c＞0，则 ﹣ ＝ ＝ ＞0，所以 D 正确； 故选：CD． 10．设 m，n 是两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面．下列说法正确的是（ ） A．若 m⊥ α ，n⊥ α ，则 m∥n B．若 α ⊥ β ，m⊥ β ，m ⊄α ，则 m∥ αC．若 α ⊥ β ，m ⊂α ，则 m⊥ βD．若 m ⊂α ，n ⊂α ，m∥ β ，n∥ β ，则 α ∥ β解：由 m，n 是两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面，得： 对于 A，若 m⊥ α ，n⊥ α ，则由线面垂直的性质定理得 m∥n，故 A 正确； 对于 B，若 α ⊥ β ，m⊥ β ，m ⊄α ，则由面面垂直、线面垂直的性质得 m∥ α ，故 B 正确； 对于 C，若 α ⊥ β ，m ⊂α ，则 m 与 β 相交、平行或 m ⊂β ，故 C 错误； 对于 D，若 m ⊂α ，n ⊂α ，m∥ β ，n∥ β ，则 α 与 β 相交或平行，故 D 错误． 故选：AB． 10 11．二项展开式（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则（ ） A．a0＝﹣1 B．5a5+4a4+3a3+2a2+a1＝10 C．a3＝80 D．a1+a2+a3+a4+a5＝1 解：由二项展开式（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0， 令 x＝0，可得 a0＝﹣1，故 A 正确． 两边对 x 求导数，可得 10（2x﹣1）4＝5a5x4+4a4x3+3a3x2+2a2x+a1， 再令 x＝1，可得 5a5+4a4+3a3+2a2+a1＝10，故 B 正确； a3＝ •23＝80，故 C 正确； 在展开式中，令 x＝1，可得﹣1+a1+a2+a3+a4+a5＝1，故 a1+a2+a3+a4+a5＝2，故 D 错误， 故选：ABC． 12．已知函数 f（x）＝asinx+bcosx（ab≠0），且对任意 x ∈ R 都有 ， 则（ ） A．f（x）的最小正周期为 2 πB．f（x）在 上单调递增 C． 是 f（x）的一个零点 D． 解：函数 f（x）＝asinx+bcosx（ab≠0），且对任意 x ∈ R 都有 ， 所以函数 f（x）的图象关于 x＝ 对称， 所以 f（0）＝f（ ），即 b＝ a﹣ b，所以 a＝ b，由 ab≠0，可得 ＝ ，故 D 正确； 所以 f（x）＝ bsinx+bcosx＝2b（ sinx+ cosx）＝2bsin（x+ ）， 所以 f（x）的最小正周期为 2 π ，故 A 正确； 当 x ∈ ，x+ ∈ [﹣ ， ]，当 b＞0 时，f（x）在 上单 调递增；当 b＜0 时，f（x）在 上单调递减，故 B 错误． 11 当 x＝ 时，f（x）＝0，故 是 f（x）的一个零点，故 C 正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 C：y＝xex 在点 M（1，e）处的切线方程为 y＝2ex﹣e ． 解：函数的 f（x）的导数 f′（x）＝（1+x）ex， 则曲线在（1，e）处的切线斜率 k＝f′（1）＝2e， 则对应的切线方程为 y﹣e＝2e（x﹣1）， 即 y＝2ex﹣e． 故答案为：y＝2ex﹣e 14．斜率为 1 的直线经过抛物线 y2＝4x 的焦点，与抛物线相交于 A，B 两点，则|AB|＝ 8 ． 解：抛物线焦点为（1，0） 则直线方程为 y＝x﹣1，代入抛物线方程得 x2﹣6x+1＝0 ∴x1+x2＝6 根据抛物线的定义可知|AB|＝x1+ +x2+ ＝x1+x2+p＝6+2＝8 故答案为：8 15．甲、乙两人从 4 门不同的课程中各随机选修 2 门课程，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门课程不同的概率为 ． 解：甲、乙两人从 4 门不同的课程中各随机选修 2 门课程， 基本事件总数 n＝ ＝36， 甲、乙所选的课程中至少有 1 门课程不同包含的基本事件个数 m＝ ＝30， 则甲、乙所选的课程中至少有 1 门课程不同的概率为 P＝ ＝ ＝ ． 故答案为： ． 16．已知侧棱长为 的正四棱锥 S﹣ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，当该棱锥体积 最大时，底面 ABCD 的边长为 2 ，此时球 O 的表面积为 9 π ． 解：设四棱锥的高为 h， 则 ＝ ， 12 V′＝2（1+h）（1﹣h）， 当 h＝1 时，V 最大，此时底面 ABCD 的边长为 2， 设球半径为 R，则 2+（R﹣1）2＝R2， 解得 R＝ ， ∴球 O 的表面积为 S＝4 π ×（ ）2＝9 π ． 故答案为：2，9 π ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．在 ① 2sinA＝3sinB； ② △ABC 的面积为 ； ③ b（bcosC+ccosB）＝6 这三个条件中 任选一个补充在下面的问题中，并解答． 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a﹣b＝1，cosC＝﹣ ，______． （1）求 c 的值； （2）求 tan2B 的值． 解：（1）若选择 ① ， 因为 2sinA＝3sinB，由正弦定理可得 2a＝3b， 又 a﹣b＝1，解得 a＝3，b＝2， 由余弦定理可得 c2＝9+4﹣2× ＝16，解得 c＝4； 若选择 ② ， 因为 cosC＝﹣ ，0＜C＜ π ，可得 sinC＝ ＝ ， 由△ABC 的面积为 ＝ absinC，解得 ab＝6， 又 a﹣b＝1，所以 b2+b﹣6＝0，解得 b＝2，或﹣3（舍去），所以 a＝3， 由余弦定理，可得 c2＝9+4﹣2× ＝16，解得 c＝4； 若选择 ③ ， 因为 b（bcosC+ccosB）＝6， 由余弦定理可得 b（b• +c• ）＝6，整理可得 ab＝6， 又 a﹣b＝1，可得 b2+b﹣6＝0，解得 b＝2，或﹣3（舍去），可得 a＝3， 由余弦定理，可得 c2＝9+4﹣2× ＝16，解得 c＝4； 13 （2）由余弦定理可得 cosB＝ ＝ ＝ ， 又因为 0＜B＜ π ， 所以 sinB＝ ＝ ， 可得 tanB＝ ，tan2B＝ ＝ ＝ ． 18．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 3S3＝S4+2S2，a1＝2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 bn＝log2an，cn＝an+ ，求{cn}的前 n 项和 Tn． 解：（1）等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 3S3＝S4+2S2，a1＝2．设公比为 q， 则 3（a3+a2+a1）＝（a1+a2+a3+a4）+2（a1+a2）， 整理得 2a3＝a4， 故 q＝2． 所以 ． （2）由（1）得 bn＝log2an＝n， cn＝an+ ＝ ， 故 ＝ ＝ ． 19．2020 年春，我国武汉出现新型冠状病毒，感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难 等症状，严重的可导致肺炎甚至危及生命．新型冠状病毒疫情牵动每一个中国人的心， 为了遏制病毒的传播，危难时刻全国人民众志成城、共克时艰．某校为了了解学生对新 型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展网上防疫知识有奖竞赛活动，并从男生、女生 中各随机抽取 20 人，统计答题成绩分别制成如下频率分布直方图和频数分布表： 女生成绩 成绩 [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 频数 7 7 4 2 规定：成绩在 80 分以上（含 80 分）的同学称为“防疫明星”． 14 （1）根据以上数据，完成以下 2×2 列联表，并判断是否有 99%的把握认为“防疫明星” 与性别有关； 男生 女生 合计 防疫明星 非防疫明星 合计 （2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校男生中随机抽取 4 人，其中“防疫明 星”的人数为 X，求随机变量 X 的分布列与数学期望． 附：参考公式 其中 n＝a+b+c+d． 参考数据： P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解：（1）由频率分布直方图可得：男生中成绩大于等于 80 的频率为（0.035+0.025）× 10＝0.6， 则男生中“防疫明星”的人数为 20×0.6＝12 人，“非防疫明星”人数为 8 人， 由频数分布表可得，女生中“防疫明星”的人数为 6 人，“非防疫明星”人数为 14 人， 所以 2×2 列联表为： 男生 女生 合计 防疫明星 12 6 18 非防疫明星 8 14 22 合计 20 20 40 15 所以 K ， 所以有 99%的把握认为“防疫明星”与性别有关； （2）从 20 名男生中随机抽取 1 人，是防疫明星的概率为 ， 从该校男生中随机抽取 4 人，其中“防疫明星”的人数 X 服从二项分布， 即 X～B（4， ），X 的可能取值为 0，1，2，3，4， 则 P（X＝0）＝C ，P（X＝1）＝C ， P（X＝2）＝C ，P（X＝3）＝C ， P（X＝4）＝C ， 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以 X 的数学期望为 E（X）＝4× ． 20．如图 1，一副标准的三角板中，∠B＝∠E＝90°，∠A＝60°，DE＝EF，BC＝DF．将 三角板的边 BC 与 DF 重合，把两个三角板拼成一个空间图形，如图 2．设 M 是 AC 的中 点，N 是 BC 的中点． （1）求证：平面 ABC⊥平面 EMN； （2）若 AC＝2EM＝4，求二面角 E﹣AC﹣B 的余弦值． 【解答】（1）证明：因为 M，N 分别为 AC，BC 的中点， 所以 MN∥AB，又因为 AB⊥BC，所以 MN⊥BC， 因为 DE＝EF，所以 EN⊥BC， 因为 MN∩EN＝N，且 MN，EN 都在平面 EMN 内， 16 所以 BC⊥平面 EMN，因为 BC ⊂ 平面 ABC， 所以平面 ABC⊥平面 EMN； （2）解：在 Rt△ABC 中，∠BAC＝60°，AC＝4， 所以 AB＝2，BC＝ ， 所以 MN＝1，EN＝ ， 又因为 EM＝2，所以 EM2＝EN2+MN2，所以 EN⊥NM， 又因为 EN⊥BC，MN 与 BC 是平面 ABC 内的相交直线， 所以 EN⊥平面 ABC，又 AC ⊂ 平面 ABC，所以 EN⊥AC， 过点 N 作 NG⊥AC 于点 G，连结 EG， 则 AC⊥平面 EGN，又 EG ⊂ 平面 EGN，所以 EG⊥AC， 所以∠EGN 为二面角 E﹣AC﹣B 的平面角， 在 Rt△MNC 中，MN＝1，NC＝ ，MC＝2，所以 NG＝ ， 在 Rt△ENG 中，EN＝ ，所以 EG＝ ， 所以 ， 故二面角 E﹣AC﹣B 的余弦值为 ． 21．已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 在椭 圆 C 上，且满足 ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 l：y＝kx+m 与椭圆 C 交于不同两点 M，N，且 OM⊥ON．证明：总存在一 个确定的圆与直线 l 相切，并求该圆的方程． 解：（1）∵ ，∴ ， 即 ，得 ， 17 又点 P（2， ）在椭圆 C 上，∴F1（﹣2，0），F2（2，0）， 且由椭圆定义， 得 2a＝|PF1|+|PF2|＝ ＝ ． ∴ ，b2＝a2﹣4＝4， 则椭圆 C 的标准方程为 ； 证明：（2）联立 ，消去 y，得（1+2k2）x2+4kmx+2（m2﹣4）＝0． ∵直线 l：y＝kx+m 与椭圆 C 交于不同两点 M，N， ∴△＝16k2m2﹣8（2k2+1）（m2﹣4）＝8（8k2+4﹣m2）＞0． 设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 ， ， ∴ ＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m） ＝ ＝ ， 又 OM⊥ON，∴ ， 即 2（k2+1）（m2﹣4）﹣4k2m2+m2（2k2+1）＝0． ∴8（k2+1）＝3m2． ∴原点 O 到直线 l 的距离 d＝ ． ∴存在定圆 与直线 l 相切． 22．已知函数 f（x）＝﹣ +lnx． （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 a＝1，证明 ． 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）， 18 f′（x）＝ ， 当 a≥0 时，f′（x）＞0 在（0，+∞）上恒成立 所以 f（x）在（0，+∞）上单调递增， 当 a＜0 时，x ∈ （0，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， x ∈ （﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 综上，当 a≥0 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增， 当 a＜0 时，f（x）在（0，﹣a）单调递减，f（x）在（﹣a，+∞）调递增． （2）当 a＝1 时，f（x）＝﹣ +lnx， 令 g（x）＝f（ ）﹣（﹣ex），x ∈ （0，+∞）， 则 g（x）＝﹣x﹣lnx+ex，g′（x）＝1﹣ +ex， 令 h（x）＝﹣1﹣ +ex，x ∈ （0，+∞）， h′（x）＝ +ex＞0 恒成立， 所以 h（x）在（0，+∞）上单调递增， 因为 h（ ）＝﹣3+ ＜0，h（1）＝﹣2+e＞0， 所以存在唯一的 x0 ∈ （ ，1），使得 h（x0）＝﹣1﹣ +e ＝0， 即 e ＝1+ ① ， 当 x ∈ （0，x0）时，h（x）＜0，即 g′（x）＜0，所以 g（x）在（0，x0）上单调递减， 当 x ∈ （x0，+∞）时，h（x）＞0，即 g′（x）＞0，所以 g（x）在（x0，+∞）上单调递 增， 所以 g（x）min＝g（x0）＝﹣x0﹣lnx0+e ， ②把 ① 代入 ② 得 g（x0）＝﹣x0﹣lnx0+1+ ，x0 ∈ （ ，1）， 设 φ （x）＝﹣x﹣lnx+1+ ，x ∈ （ ，1）， 则 φ ′（x）＝﹣1﹣ ﹣ ＜0 恒成立， 所以 φ （x）在（ ，1）上单调递减， 所以 φ （x）＞ φ （1）＝1＞0， 19 因为 x0 ∈ （ ，1）， 所以 φ （x0）＞0，即 g（x0）＞0， 所以 g（x）＞0， 所以 a＝1 时，f（ ）＞﹣ex．