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蚌埠市 2021届高三年级第二次教学质量检查考试
数 学(文史类)
本试卷满分 150分,考试时间 120分钟
注意事项:
1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
一、选择题:本题共 12小题,每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的。
1复数 z满足 z·(1+i)=2i,则 |z-2i|=
槡A 2 B槡10
2 槡C 10 D2+槡2
2已知集合 A={x|0<x<4},B ={x|x2 -2x-8>0},则 A∩ (瓓RB)=
A(0,2] B(0,2) C(0,4] D(0,4)
3已知 Sn是等差数列{an}的前 n项和,且 a2 +a8 =4,则S9
9 =
A1 B2 C6 D18
第 4题图
4《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化、阴阳术
数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上心有此图象,结构是
戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,
四角黑点为阴数.如图,若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取 1
个数组成一个两位数,则其能被 3整除的概率是
A1
4 B3
10 C7
20 D2
5
5已知 α是三角形的一个内角,tanα= 3
4,则 cos(α+3π
4)=
A- 槡72
10 B-槡2
10 C槡2
10 D 槡72
10
6函数 y=ln 1
cosx(-π
2 <x< π
2)的图象是
A. B. C. D.
)页4共(页1第卷试)文(学数级年三高市埠蚌 1
7已知双曲线 C:x2
a2 -y2
b2 =1(a>0,b>0)离心率为槡5
2,则双曲线 C的渐近线方程为
Ay=±1
4x By=±1
3x Cy=±1
2x Dy=±x
8某校随机调查了 110名不同的高中生是否喜欢篮球,得到如下的列联表:
男 女
喜欢篮球 40 20
不喜欢篮球 20 30
附:k2 = n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(k2≥ k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
参照附表,得到的正确结论是
A在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为“喜欢篮球与性别有关”
B在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为“喜欢篮球与性别无关”
C有 99% 以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”
D有 99% 以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关”
9已知曲线 f(x)=(x+a)ex在点(-1,f(-1))处的切线与直线 2x+y-1=0垂直,则实
数 a的值为
A2a
e Be
2 +1 C- e
2 De
2
第 10题图
10函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π
2)的部
分图象如图所示,则将 f(x)的图象向右平移 π
3个单位后,
所得图象对应函数的解析式可以为
Ay=cos2x By=-cos2x
Cy=sin(2x+5π
6) Dy=sin(2x-π
6)
第 11题图
11已知一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的外接球
的体积为
A槡3π
2 B 槡82π
3
C 槡83π
3 D8π
12已知函数 f(x)= log2x,x>0,
-x,x≤ 0{ ,
函数 g(x)满足以下三点条
件:① 定义域为R;② 对任意 x∈ R,有 g(x+π)=2g(x);
③ 当 x∈ [0,π]时,g(x)=sinx.
则函数 y=f(x)-g(x)在区间[-4π,4π]上零点的个数为
A6 B7 C8 D9
)页4共(页2第卷试)文(学数级年三高市埠蚌 2
二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分.
13已知实数 x,y满足
x+2y≥ 2
x-y+2≥ 0
4x-y≤
{ 4
,目标函数 z=5x-y的最大值为 .
14已知单位向量e1,e2满足:e1⊥ (e1+2e2),则向量e1与向量e2的夹角 θ=
15已知点 A是抛物线 y2 =2px(p>0)上一点,F为其焦点,以 F为圆心、|FA|为半径的圆
交准线于 B,C两点,若 △FBC为等腰直角三角形,且 △ABC的面积是 槡42,则抛物线的方
程是 .
16在 △ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 acosC+槡3asinC-b-c=0,则 △ABC外
接圆周长与 △ABC周长之比的最小值为
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题
考生都必须作答。第 22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60分.
17(12分)
已知数列{an}中,a1 =1,a2 =3,其前 n项和 Sn满足 Sn+1 +Sn-1 =2Sn +2(n≥ 2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若 bn = 1
anan+1
,求数列{bn}的前 n项和 Tn.
18.(12分)
为了满足广大人民群众日益增长的体育需求,2020年8月8日(全民健身日)某社区开展了
体育健身知识竞赛,满分100分.若该社区有1000人参加了这次知识竞赛,为调查居民对体
育健身知识的了解情况,该社区以这 1000名参赛者的成绩(单位:分)作为样本进行估计,
将成绩整理后分成五组,依次记[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并绘制
成如图所示的频率分布直方图.
(1)请补全频率分布直方图并估计这 1000名参赛者成绩的平均数(同一组数据用该组区
间的中点值作代表);
(2)采用分层抽样的方法从这 1000人的成绩中抽取容量为 40的样本,再从该样本成绩不
低于 80分的参赛者中随机抽取 2名进行问卷调查,求至少有一名参赛者成绩不低于
90分的概率.
第 18题图
)页4共(页3第卷试)文(学数级年三高市埠蚌 3
19(12分)
如图,已知四边形 ABCD和 BCEG均为直角梯形,AD∥ BC,CE∥ BG,且 ∠BCD =∠BCE
第 19题图
= π
2,∠ECD =120°,BC =CD =CE =2AD =2BG =2.
(1)求证:AG∥ 平面 BDE;
(2)求点 G到平面 BDE的距离.
20.(12分)
设定圆 M:(x+2)2 +y2 =24,动圆 N过点 F(2,0)且与圆 M相切,记动圆 N圆心 N的轨迹
为曲线 C.
(1)求曲线 C的方程;
(2)直线 l与曲线 C有两个交点 P,Q,若OP→·OQ→ =0,证明:原点 O到直线 l的距离为定值.
21.(12分)
已知函数 f(x)=x-a
x-lnx(a∈ R)有两个极值点 x1,x2,且 x1 <x2.
(1)求实数 a的取值范围,并讨论 f(x)的单调性;
(2)证明:f(x2)>ln2.
(二)选考题:共 10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22[选修 4—4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系 xOy中,以坐标原点 O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C
的极坐标方程为 ρ=2cosθ+4sinθ,θ∈ [0,2π).
(1)求曲线 C的直角坐标方程;
(2)由直线 l:
x= 槡25
5 t+6,
y=槡5
5t{ ,
(t为参数,t∈ R)上的点向曲线引切线,求切线长的最小值.
23[选修 4—5:不等式选讲](10分)
设函数 f(x)=|2x-1|-|a-1|,
(1)若 a=1时,解不等式:f(x)>2|x+1|;
(2)若关于 x的不等式 f(x)>2|x+1|存在实数解,求实数 a的取值范围.
)页4共(页4第卷试)文(学数级年三高市埠蚌 4
蚌埠市 2021届高三年级第二次教学质量检查考试
数学(文史类)参考答案及评分标准
一、选择题:
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案 A D B C A C C C D B B A
二、填空题:
二、填空题:
13.6 14.2π
3 15.y2 =4x 16.槡23
9 π
三、解答题:
17.(12分)
解:(1)由题意知,Sn+1 -Sn =Sn -Sn-1 +2(n≥ 2),
从而 an+1 =an +2(n≥ 2),即 an+1 -an =2(n≥ 2), 2分………………………
∵a2 -a1 =3-1=2,
∴ 数列{an}是以 1为首项,公差为 2的等差数列, 4分……………………………
∴an =2n-1(n∈ N ); 6分………………………………………………………
(2)bn = 1
an·an+1
= 1
(2n-1)(2n+1)= 1
2
1
2n-1- 1
2n+( )1 8分…………………
∴Tn = 1
2 1-1
3 +1
3 -1
5 +… + 1
2n-1- 1
2n+( )1 10分………………………
= 1
2 1- 1
2n+( )1
= n
2n+1 2分…………………………………………………………………………
18.(12分)
解:(1)成绩落在[60,70)的频率:
1-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.40, 2分……………………………………
补全的频率分布直方图如图:
4分……………………………
)页4共(页1第案答考参)类史文(学数级年三高市埠蚌 5
样本的平均数:
x— =55×0.30+65×0.40+75×0.15+85×0.10+95×0.05=67(分)
6分
…
…………………………………………………………………………………
(2)由分层抽样知,成绩在[80,90)内的参赛者中抽取 4人,记为 A,B,C,D,成绩在
[90,100]内的参赛者中抽取 2人,记为 a,b,则满足条件的所有基本事件为:
(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),
(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共 15个, 8分………………………………
记“至少有一名参赛者成绩不低于 90分”为事件 A,则事件 A包含的基本事件有:
(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b)共 9个.
10分………………………………………………………………………………
故所求概率为 P(A)= 9
15= 3
5. 12分………………………………………………
19.(12分)
解:(1)证明:在平面 BCEG中,过 G作 GN⊥ CE于 N,交 BE于 M,连接 DM,
由题意知 MG =MN,MN∥ BC∥ DA且 MN =AD = 1
2BC,
∴MG∥ AD,MG =AD, 3分…………………………………………………………
∴ 四边形 ADMG为平行四边形,
∴AG∥ DM,
又 DM 平面 BDE,AG 平面 BDE,
∴AG∥ 平面 BDE. 6分………………………………………………………………
(2)由题意知 BC⊥ 平面 ECD,∵BC 平面 BCE
∴ 平面 BCE⊥ 平面 ECD,
在平面 ECD内过 D点作 DF⊥ CE交 CE于 F,
则 DF⊥ 平面 BCE,
∵∠ECD =120°,
∴∠DCF =60°,DF =DCsin60°=槡3, 8分………………………………………
设点 G到平面 BDE的距离为 d,
则由 VG-BDE =VD-BEG 得 1
3S△BDE·d= 1
3S△BEG·DF,
由题意知 BE =BD = 槡22,DE =槡3CE = 槡23,
∴S△BDE = 1
2DE· BE2 -(1
2DE)槡 2 = 1
2· 槡23·槡5 = 槡15, 10分……………
S△BEG = 1
2BG·BC =1代入 1
3S△BDE·d= 1
3S△BEG·DF
解得 d=槡5
5即点 G到平面 BDE的距离为槡5
5. 12分………………………………
20.(12分)
解:(1)∵ 点 F(2,0)在圆 M:(x+2)2 +y2 =24内
∴ 圆 N内切于圆 M
∴ |NM|+|NF|= 槡26 >|FM|
)页4共(页2第案答考参)类史文(学数级年三高市埠蚌 6
所以 N点轨迹是以 M,F为焦点的椭圆,且 a=槡6,c=2,从而 b=槡2
∴ 点 N的轨迹 C的方程为x2
6 +y2
2 =1; 5分………………………………………
(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2)
若直线 l斜率存在,设 l:y=kx+m,
联立
y=kx+m,
x2
6 +y2
2 =1{ ,
整理得:(1+3k2)x2 +6kmx+3m2 -6=0,
x1 +x2 = -6km
1+3k2,x1x2 =3m2 -6
1+3k2, ① 6分………………………………………
∵ OP→ ·OQ→ =0,
∴x1x2 +y1y2 =0,①
化简得(1+k2)x1x2 +km(x1 +x2)+m2 =0 8分………………………………
即 2m2 -3k2 -3=0,
故原点 O到直线 l的距离为 d= |m|
1+k槡 2
= |m|
槡2
槡3
|m|
=槡6
2, 10分………………
若直线 l斜率不存在,设 l:x=n,
联立
x=n,
x2
6 +y2
2 =1{ ,
解得 P n, 6-n2
槡( )3
,Q n,- 6-n2
槡( )3
,代入 ① 化简得 |n|=槡6
2,
即原点 O到直线的距离为 d=槡6
2, 11分……………………………………………
综上所述,原点 O到直线 l的距离为定值槡6
2. 12分…………………………………
21.(12分)
解:(1)∵f′(x)=x2 -x+a
x2 ,x>0
令 g(x)=x2 -x+a,其对称轴为 x= 1
2,
由题意知 x1,x2是方程 g(x)=0的两个不相等的实根,
则 △ =1-4a>0
g(0)=a>{ 0
2分………………………………………………………………
∴0<a< 1
4, 4分……………………………………………………………………
当 x∈ (0,x1)时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,x1)内为增函数;
当 x∈ (x1,x2)时,f′(x)<0,∴f(x)在(x1,x2)内为减函数;
当 x∈ (x2,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)在(x2,+∞)内为增函数; 6分………
)页4共(页3第案答考参)类史文(学数级年三高市埠蚌 7
(2)证明:由(1)知 x2∈ (1
2,1),a=-x2
2 +x2,
f(x2)=x2 --x2
2 +x2
x2
-lnx2 =2x2 -1-lnx2, 8分………………………………
令 h(x)=2x-1-lnx(1
2 <x<1),
则 h′(x)=2-1
x =2x-1
x >0;
∴h(x)在(1
2,1)上单调递增, 10分…………………………………………………
故 h(x)>h(1
2)=-ln1
2 =ln2
从而 f(x2)>ln2 12分………………………………………………………………
22.(10分)
解:(1)由 ρ=2cosθ+4sinθ,θ∈ [0,2π),
可得 ρ2 =2ρcosθ+4ρsinθ,θ∈ [0,2π) 2分………………………………………
∵ρ2 =x2 +y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y
∴ 曲线 C的直角坐标方程为(x-1)2 +(y-2)2 =5. 5分………………………
(2)∵ 直线 l的参数方程为:
x= 槡25
5 t+6
y=槡5
5
{ t
(t为参数,t∈ R),
∴ 直线 l上的点 P 槡25
5 t+6,槡5
5( )t向圆 C引切线长是
|PC|2 -槡 5 = 槡25
5 t+6-( )1
2
+ 槡5
5t-( )2
2
-槡 5 7分………………………
= t+ 槡85( )5
2
+56
槡 5 ≥ 槡2 70
5 ,
∴ 当 t=-8
5槡5时,切线长最小值为 槡2 70
5 10分………………………………
23.(10分)
解:(1)a=1时,所解不等即为:|2x-1|>2|x+1|, 2分……………………………
两边平方解得 x<-1
4,
∴ 原不等式解集为 x|x<-{ }1
4 5分……………………………………………
(2)|2x-1|-|a-1|>2|x+1|存在实数解,
即 |a-1|<|2x-1|-2|x+1|存在实数解,
令 g(x)=|2x-1|-2|x+1|,即 |a-1|<g(x)max, 7分……………………
g(x)=|2x-1|-2|x+1|≤|2x-1-(2x+2)|=3,
当 x≤-1时等号成立,∴ |a-1|<3,解得 a∈ (-2,4) 10分………………
(以上答案仅供参考,其它解法请参考以上评分标准酌情赋分)
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