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蚌埠市 2021届高三年级第二次教学质量检查考试
数 学(理工类)
本试卷满分 150分,考试时间 120分钟
注意事项:
1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
一、选择题:本题共 12小题,每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。
1复数 z满足 z·(1+i)=2i,则 |z-2i|=
槡A 2 B槡10
2 槡C 10 D2+槡2
2已知集合 A={x|0<x<4},B ={x|x2 -2x-8>0},则 A∩ (瓓RB)=
A(0,2] B(0,2) C(0,4] D(0,4)
3已知 α是三角形的一个内角,tanα= 3
4,则 cos(α+3π
4)=
A- 槡72
10 B-槡2
10 C槡2
10 D 槡72
10
4函数 y=ln 1
cosx(-π
2 <x< π
2)的图象是
5已知抛物线 C∶y2 =4x的焦点为 F,过点 F的直线 l交 C于 A,B两点,且 |AB|=8,则线段
AB中点的横坐标为
A1 B2 C3 D4
)页4共(页1第卷试学数级年三高市埠蚌 1
6某校随机调查了 110名不同的高中生是否喜欢篮球,得到如下的列联表:
男 女
喜欢篮球 40 20
不喜欢篮球 20 30
附:k2 = n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(k2≥ k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
参照附表,得到的正确结论是
A在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为“喜欢篮球与性别有关”
B在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为“喜欢篮球与性别无关”
C有 99% 以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”
D有 99% 以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关”
7在各项均为正数的等比数列中{an},a3 =2-槡2,a5 =槡2+1,则 a1a5 +2a2a6 +a3a7 =
槡A1 B9 C52+ 槡7 D32+9
8已知函数 f(x)=ex -asinx在区间(0,π
3)上有极值,则实数 a的取值范围是
A(0,1) B(1,e) C(1,2e) D(1,2eπ
3)
9在(x+2
x-1)6的展开式中,除常数项外,其余各项系数的和为
A63 B-517 C-217 D-177
第 10题图
10函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0,|φ|< π
2)的
部分图象如图所示,则将 y=f(x)的图象向右平移 π
3个单
位后,所得图象对应函数的解析式可以为
Ay=cos2x By=-cos2x
Cy=sin(2x+5π
6) Dy=sin(2x-π
6)
11已知 a=log56,b=log35,c=log23,d= 3
2,则 a,b,c,d的大小关系是
Ab<a<d<c Ba<b<c<d
Cb<a<c<d Da<b<d<c
12已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,其底面 ABCD是平行四边形,外接球体积为 36π,若
AC1⊥ BD,则其外接球被平面 AB1D1截得图形面积的最小值为
A8π B243
10π C81
10π D6π
)页4共(页2第卷试学数级年三高市埠蚌 2
二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分.
13已知实数 x,y满足
x+2y≥ 2,
x-y+2≥ 0
4x-y≤ 4
{ ,
,目标函数 z=5x-y的最大值为 .
14已知单位向量e1,e2满足:e1⊥ (e1+2e2),则向量e1与向量e2的夹角 θ=
15双曲线 E∶x2
a2 -y2
b2 =1(a>0,b>0)的左顶点为 A,M是双曲线的渐近线与圆 C∶x2 +y2
=b2的一个交点,过 M作圆的切线 l交 y轴于 P,若 AP的斜率为槡3,则双曲线 E的离心率
为 .
16在 △ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 acosC+ 槡23sinC-b-c=0,且 a=2,则
△ABC内切圆半径的最大值为
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题
考生都必须作答。第 22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60分.
17(12分)
已知数列{an}中,a1 =1,a2 =3,其前 n项和 Sn满足 Sn+1 +Sn-1 =2Sn +2(n≥ 2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若 bn = 1
anan+1
,记数列{bn}的前 n项和为 Tn,证明:Tn < 1
2.
第 18题图
18(12分)
如图,已知四边形 ABCD和 BCEG均为直角梯形,AD∥ BC,
CE∥ BG,且 ∠BCD =∠BCE = π
2,∠ECD =120°.
BC =CD =CE =2AD =2BG.
(1)求证:AG∥ 平面 BDE;
(2)求二面角 E-BD-C的余弦值.
19(12分)
市教育局计划举办某知识竞赛,先在 A,B,C,D四个赛区举办预赛,每位参赛选手先参加
“赛区预赛”,预赛得分不低于 100分就可以成功晋级决赛,每个赛区预赛中,成功晋级并
且得分最高的选手获得一次决赛中的“错题重答”特权.
赛区预赛的具体规则如下:每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题.
方式一:每轮必答2个问题,共回答6轮,每轮答题只要不是2题都错,则该轮次中参赛选手
得 20分,否则得 0分,各轮答题的得分之和即为预赛得分;
方式二:每轮必答 3个问题,共回答 4轮,在每一轮答题中,若答对不少于 2题,则该轮次中
)页4共(页3第卷试学数级年三高市埠蚌 3
参赛选手得 30分,如果仅答对 1题,则得 20分,否则得 0分 各轮答题的得分之和即为预
赛得分.
记某选手每个问题答对的概率均为 p(0<p<1).
(1)若 p= 1
2,该选手选择方式二答题,求他晋级的概率;
(2)证明:该选手选择两种方式答题的得分期望相等.
20(12分)
已知圆 E∶(x+2)2 +y2 =24,动圆 N过点 F(2,0)且与圆 E相切,记动圆圆心 N的轨迹为
曲线 C.
(1)求曲线 C的方程;
(2)P,Q是曲线 C上的两个动点,且 OP⊥ OQ,记 PQ中点为 M,|OP|·|OQ|=t|OM|,
证明:t为定值
21(12分)
已知函数 f(x)=xlnx-a(x-1),
(1)讨论函数 f(x)在区间(1,+∞)内的零点个数;
(2)若不等式 f(x)≤ x3 +ax2 -(a+4)x+a+2恒成立,求实数 a的取值范围.
(二)选考题:共 10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计
分。
22[选修 4—4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系 xOy中,以坐标原点 O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C
的极坐标方程为 ρ=2cosθ+4sinθ,θ∈ [0,2π).
(1)求曲线 C的直角坐标方程;
(2)由直线 l:
x= 槡25
5 t+6,
y=槡5
5t{ ,
(t为参数,t∈ R)上的点向曲线引切线,求切线长的最小值.
23[选修 4—5:不等式选讲](10分)
设函数 f(x)=|2x-1|-|a-1|,
(1)若 a=1时,解不等式:f(x)>2|x+1|;
(2)若关于 x的不等式 f(x)>2|x+1|存在实数解,求实数 a的取值范围.
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蚌埠市 2021届高三年级第二次教学质量检查考试
数学参考答案及评分标准(理工类)
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D A C C C B D B B D A
二、填空题:
136 142π
3 槡 15 3 16槡3
3
三、解答题:
17(12分)
解:(1)由题意知,Sn+1 -Sn =Sn -Sn-1 +2(n≥ 2),
从而 an+1 =an +2(n≥ 2),即 an+1 -an =2(n≥ 2), 2分………………………
又 a2 -a1 =3-1=2,
∴ 数列{an}是以 1为首项,公差为 2的等差数列, 4分…………………………
故 an =2n-1(n∈ N ); 6分……………………………………………………
(2)bn = 1
an·an+1
= 1
(2n-1)(2n+1) = 1
2
1
2n-1- 1
2n+( )1 8分………………
∴Tn = 1
2 1-1
3 +1
3 -1
5 +… + 1
2n-1- 1
2n+( )1 10分……………………
= 1
2 1- 1
2n+( )1 < 1
2 12分………………………………………………………
18(12分)
(1)证明:在平面 BCEG中,过 G作 GN⊥ CE于 N,交 BE于 M,连 DM,
由题意知,MG =MN,MN∥ BC∥ DA且 MN =AD = 1
2BC,
∵MG∥ AD,MG =AD, 3分……………………………………………………………
故四边形 ADMG为平行四边形,∴AG∥ DM,
又 DM 平面 BDE,AG 平面 BDE,
故 AG∥ 平面 BDE. 6分…………………………………………………………………
(2)由题意知 BC⊥ 平面 ECD,在平面 ECD内过 C点作 CF⊥ CD交 DE于 F,
以 C为原点,CD→ ,CB→ ,CF→ 的方向为 x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
不妨设 AD =1,则 BC =CD =CE =2BG =2.
且 C(0,0,0),D(2,0,0),B(0,2,0),E(-1,0,槡3), 8分………………………………
设平面 EBD的法向量n=(x,y,z),
则由
DE→ ·n=0,
BD→ ·n=0{ ,
得 -3x+槡3z=0,
2x-2y=0{ ,
取 y=1,得n=(1,1,槡3), 9分………………………………………………………
)页4共(页1第案答卷试学数级年三高市埠蚌 5
易知平面 BCD的一个法向量为m =(0,0,1) 10分…………………………………
cos<m,n>= m·n
|m|·|n|= 槡3
槡5·1
= 槡15
5 ,
所以二面角 E-BD-C的余弦值为 槡15
5 . 12分………………………………………
19(12分)
解:(1)该选手选择方式二答题,记每轮得分为 X,则 X可取值为 0,20,30,
且 P(X =0)= 1
8,P(X =20)= 3
8,P(X =30)= 1
2 3分……………………
记预赛得分为 Y,
P(Y≥ 100)=P(Y=120)+P(Y=110)+P(Y=100)
=(1
2)4 +C3
4(1
2)3 ×3
8 +C2
4(1
2)2 ×(3
8)2 = 59
128
∴ 该选手所以选择方式二答题晋级的概率为 59
128. 6分……………………………
(2)该选手选择方式一答题:
设每轮得分为 ξ,则 ξ可取值为 0,20,
且 P(ξ=0)=(1-p)2,P(ξ=20)=1-P(ξ=0)=2p-p2
∴E(ξ)=20p(2-p),
设预赛得分为 Y1,则 Y1 =6ξ,
E(Y1)=E(6ξ)=6E(ξ)=120p(2-p). 9分…………………………………
该选手选择方式二答题:
设每轮得分为 ζ,则 ζ可取值为 0,20,30,且
P(ζ=0)=(1-p)3,
P(ζ=20)=3p(1-p)2,
P(ζ=30)=3p2(1-p)+p3,
∴E(ζ)=60p(1-p)2 +30[3p2(1-p)+p3]=30p(2-p).
设预赛得分为 Y2,则 Y2 =4ζ,
E(Y2)=E(4ζ)=4E(ζ)=120p(2-p)
因为 E(Y1)=E(Y2),所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等. 12分…
20(12分)
解:(1)∵ 点 F(2,0)在圆 E∶(x+2)2 +y2 =24内,
∴ 圆 N内切于圆 E,
∴ |NE|+|NF|= 槡26 >|EF|, 2分……………………………………………
所以 N点轨迹是以 E,F为焦点的椭圆,且 a=槡6,c=2,从而 b=槡2
故点 N的轨迹 C的方程为:x2
6 +y2
2 =1. 4分………………………………………
(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),
若直线 PQ斜率存在,设直线 PQ方程为 y=kx+m,
联立
y=kx+m
x2
6 +y2
2 ={ 1
,整理得:(1+3k2)x2 +6kmx+3m2 -6=0,
)页4共(页2第案答卷试学数级年三高市埠蚌 6
x1 +x2 = -6km
1+3k2,x1x2 =3m2 -6
1+3k2 6分……………………………………………
因为 OP⊥ OQ,所以OP→ ·OQ→ =0,即 x1x2 +y2y2 =0.
化简得:(1+k2)x1x2 +km(x1 +x2)+m2 =0,
即(1+k2)·3m2 -6
1+3k2 +km· -6km
1+3k2 +m2 =0,
从而,2m2 -3k2 -3=0,① 8分……………………………………………………
因为 OP⊥ OQ,且 M为 PQ中点,所以 |PQ|=2|OM|,
在直角 △ABC中,记原点 O到直线 PQ的距离为 d,
则 |OP|·|OQ|=d|PQ|=2d|OM|,
由 ① 知,原点 O到直线 l的距离为 d= |m|
1+k槡 2
= |m|
槡2
槡3
|m|
=槡6
2,
所以 t为定值槡6. 10分………………………………………………………………
若直线 PQ斜率不存在,设直线 PQ方程为 x=n,
联立
x=n
x2
6 +y2
2 ={ 1
,解得 p(n, 6-n2
槡3 ),(n,- 6-n2
槡3 )
由 OP⊥ OQ得 |n|=槡6
2,即 t=槡6,
综上,t为定值槡6. 12分………………………………………………………………
21(12分)
解:(1)函数 f(x)定义域(1,+∞),f′(x)=1+lnx-a,
a≤ 1时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)内单调递增,
所以 f(x)>f(1)=0,f(x)在(1,+∞)内无零点; 3分……………………………
a>1时,f′(x)=0的解为 x0 =ea-1 >1,又因为 f′(x)在(1,+∞)内单调递增,所
以当 1<x<x0,f′(x)<0,f(x)在(1,x0)内单调递减,
f(x)<f(1)=0,所以 f(x)在(1,x0)内无零点;
当 x>x0,f′(x)>0,f(x)在(x0,+∞)内单调递增;
f(x0)<f(1)=0,f(ea)=aea -a(ea -1)=a>0,
所以 f(x)在(x0,+∞)有且仅有一个零点;
综上所述,当 a≤ 1,函数 f(x)在(1,+∞)无零点;当 a>1,函数 f(x)在 (1,+∞)
有 1个零点. 6分…………………………………………………………………………
(2)由题意知 a≥ lnx
x -x+4
x-2
x2 在区间(0,+∞)上恒成立,
设 g(x)=lnx
x -x+4
x-2
x2,g'(x)=
-lnx-x2 -3+4
x
x2 , 8分…………………
设 h(x)=-lnx-x2 -3+4
x,h'(x)=-1
x-2x-4
x2 <0,
所以 h(x)在(0,+∞)单调递减,又因为 h(1)=0, 10分…………………………
)页4共(页3第案答卷试学数级年三高市埠蚌 7
列表如下
(0,1) (1,+∞)
h(x) + —
g'(x) + —
g(x) 增 减
当时 x=1,g(x)max =g(1)=1,所以 a≥ 1. 12分…………………………………
22.(10分)
解:(1)由 ρ=2cosθ+4sinθ,θ∈ [0,2π),
可得 ρ2 =2ρcosθ+4ρsinθ,θ∈ [0,2π) 2分………………………………………
∵ρ2 =x2 +y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y
∴ 曲线 C的直角坐标方程为(x-1)2 +(y-2)2 =5. 5分………………………
(2)∵ 直线 l的参数方程为:
x= 槡25
5 t+6
y=槡5
5
{ t
(t为参数,t∈ R),
∴ 直线 l上的点 P 槡25
5 t+6,槡5
5( )t向圆 C引切线长是
|PC|2 -槡 5 = 槡25
5 t+6-( )1
2
+ 槡5
5t-( )2
2
-槡 5 7分………………………
= t+ 槡85( )5
2
+56
槡 5 ≥ 槡2 70
5
∴ 当 t=- 槡85
5 时,切线长的最小值为 槡2 70
5 10分………………………………
23.(10分)
解:(1)a=1时,所解不等即为:|2x-1|>2|x+1|, 2分……………………………
两边平方解得 x<-1
4,
∴ 原不等式解集为 x|x<-{ }1
4 5分……………………………………………
(2)|2x-1|-|a-1|>2|x+1|存在实数解,
即 |a-1|<|2x-1|-2|x+1|存在实数解,
令 g(x)=|2x-1|-2|x+1|,即 |a-1|<g(x)max, 7分……………………
g(x)=|2x-1|-2|x+1|≤|2x-1-(2x+2)|=3,
∴ 当 x≤-1时等号成立。
∴ |a-1|<3,解得 a∈ (-2,4) 10分…………………………………………
(其它解法请参考以上评分标准酌情赋分)
)页4共(页4第案答卷试学数级年三高市埠蚌 8