安徽省蚌埠市2021届高三年级第二次教学质量检查考试数学(理工类)(PDF版)
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资料简介
书书书 蚌埠市 2021届高三年级第二次教学质量检查考试 数  学(理工类) 本试卷满分 150分,考试时间 120分钟 注意事项: 1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 一、选择题:本题共 12小题,每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1复数 z满足 z·(1+i)=2i,则 |z-2i|= 槡A 2 B槡10 2 槡C 10 D2+槡2 2已知集合 A={x|0<x<4},B ={x|x2 -2x-8>0},则 A∩ (瓓RB)= A(0,2] B(0,2) C(0,4] D(0,4) 3已知 α是三角形的一个内角,tanα= 3 4,则 cos(α+3π 4)= A- 槡72 10 B-槡2 10 C槡2 10 D 槡72 10 4函数 y=ln 1 cosx(-π 2 <x< π 2)的图象是 5已知抛物线 C∶y2 =4x的焦点为 F,过点 F的直线 l交 C于 A,B两点,且 |AB|=8,则线段 AB中点的横坐标为 A1 B2 C3 D4 )页4共(页1第卷试学数级年三高市埠蚌 1 6某校随机调查了 110名不同的高中生是否喜欢篮球,得到如下的列联表: 男 女 喜欢篮球 40 20 不喜欢篮球 20 30      附:k2 = n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(k2≥ k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828      参照附表,得到的正确结论是 A在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为“喜欢篮球与性别有关” B在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为“喜欢篮球与性别无关” C有 99% 以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关” D有 99% 以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关” 7在各项均为正数的等比数列中{an},a3 =2-槡2,a5 =槡2+1,则 a1a5 +2a2a6 +a3a7 = 槡A1 B9 C52+ 槡7 D32+9 8已知函数 f(x)=ex -asinx在区间(0,π 3)上有极值,则实数 a的取值范围是 A(0,1) B(1,e) C(1,2e) D(1,2eπ 3) 9在(x+2 x-1)6的展开式中,除常数项外,其余各项系数的和为 A63 B-517 C-217 D-177 第 10题图 10函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0,|φ|< π 2)的 部分图象如图所示,则将 y=f(x)的图象向右平移 π 3个单 位后,所得图象对应函数的解析式可以为 Ay=cos2x By=-cos2x Cy=sin(2x+5π 6) Dy=sin(2x-π 6) 11已知 a=log56,b=log35,c=log23,d= 3 2,则 a,b,c,d的大小关系是 Ab<a<d<c Ba<b<c<d Cb<a<c<d Da<b<d<c 12已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,其底面 ABCD是平行四边形,外接球体积为 36π,若 AC1⊥ BD,则其外接球被平面 AB1D1截得图形面积的最小值为 A8π B243 10π C81 10π D6π )页4共(页2第卷试学数级年三高市埠蚌 2 二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分. 13已知实数 x,y满足 x+2y≥ 2, x-y+2≥ 0 4x-y≤ 4 { , ,目标函数 z=5x-y的最大值为 . 14已知单位向量e1,e2满足:e1⊥ (e1+2e2),则向量e1与向量e2的夹角 θ=  15双曲线 E∶x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左顶点为 A,M是双曲线的渐近线与圆 C∶x2 +y2 =b2的一个交点,过 M作圆的切线 l交 y轴于 P,若 AP的斜率为槡3,则双曲线 E的离心率 为 . 16在 △ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 acosC+ 槡23sinC-b-c=0,且 a=2,则 △ABC内切圆半径的最大值为  三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题 考生都必须作答。第 22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60分. 17(12分) 已知数列{an}中,a1 =1,a2 =3,其前 n项和 Sn满足 Sn+1 +Sn-1 =2Sn +2(n≥ 2). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn = 1 anan+1 ,记数列{bn}的前 n项和为 Tn,证明:Tn < 1 2. 第 18题图 18(12分) 如图,已知四边形 ABCD和 BCEG均为直角梯形,AD∥ BC, CE∥ BG,且 ∠BCD =∠BCE = π 2,∠ECD =120°. BC =CD =CE =2AD =2BG. (1)求证:AG∥ 平面 BDE; (2)求二面角 E-BD-C的余弦值. 19(12分) 市教育局计划举办某知识竞赛,先在 A,B,C,D四个赛区举办预赛,每位参赛选手先参加 “赛区预赛”,预赛得分不低于 100分就可以成功晋级决赛,每个赛区预赛中,成功晋级并 且得分最高的选手获得一次决赛中的“错题重答”特权. 赛区预赛的具体规则如下:每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题. 方式一:每轮必答2个问题,共回答6轮,每轮答题只要不是2题都错,则该轮次中参赛选手 得 20分,否则得 0分,各轮答题的得分之和即为预赛得分; 方式二:每轮必答 3个问题,共回答 4轮,在每一轮答题中,若答对不少于 2题,则该轮次中 )页4共(页3第卷试学数级年三高市埠蚌 3 参赛选手得 30分,如果仅答对 1题,则得 20分,否则得 0分 各轮答题的得分之和即为预 赛得分. 记某选手每个问题答对的概率均为 p(0<p<1). (1)若 p= 1 2,该选手选择方式二答题,求他晋级的概率; (2)证明:该选手选择两种方式答题的得分期望相等. 20(12分) 已知圆 E∶(x+2)2 +y2 =24,动圆 N过点 F(2,0)且与圆 E相切,记动圆圆心 N的轨迹为 曲线 C. (1)求曲线 C的方程; (2)P,Q是曲线 C上的两个动点,且 OP⊥ OQ,记 PQ中点为 M,|OP|·|OQ|=t|OM|, 证明:t为定值  21(12分) 已知函数 f(x)=xlnx-a(x-1), (1)讨论函数 f(x)在区间(1,+∞)内的零点个数; (2)若不等式 f(x)≤ x3 +ax2 -(a+4)x+a+2恒成立,求实数 a的取值范围. (二)选考题:共 10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计 分。 22[选修 4—4:坐标系与参数方程](10分) 在平面直角坐标系 xOy中,以坐标原点 O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ+4sinθ,θ∈ [0,2π). (1)求曲线 C的直角坐标方程; (2)由直线 l: x= 槡25 5 t+6, y=槡5 5t{ , (t为参数,t∈ R)上的点向曲线引切线,求切线长的最小值. 23[选修 4—5:不等式选讲](10分) 设函数 f(x)=|2x-1|-|a-1|, (1)若 a=1时,解不等式:f(x)>2|x+1|; (2)若关于 x的不等式 f(x)>2|x+1|存在实数解,求实数 a的取值范围. )页4共(页4第卷试学数级年三高市埠蚌 4 蚌埠市 2021届高三年级第二次教学质量检查考试 数学参考答案及评分标准(理工类) 一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D A C C C B D B B D A 二、填空题: 136   142π 3 槡   15 3   16槡3 3 三、解答题: 17(12分) 解:(1)由题意知,Sn+1 -Sn =Sn -Sn-1 +2(n≥ 2), 从而 an+1 =an +2(n≥ 2),即 an+1 -an =2(n≥ 2), 2分……………………… 又 a2 -a1 =3-1=2, ∴ 数列{an}是以 1为首项,公差为 2的等差数列, 4分………………………… 故 an =2n-1(n∈ N ); 6分…………………………………………………… (2)bn = 1 an·an+1 = 1 (2n-1)(2n+1) = 1 2 1 2n-1- 1 2n+( )1 8分……………… ∴Tn = 1 2 1-1 3 +1 3 -1 5 +… + 1 2n-1- 1 2n+( )1 10分…………………… = 1 2 1- 1 2n+( )1 < 1 2 12分……………………………………………………… 18(12分) (1)证明:在平面 BCEG中,过 G作 GN⊥ CE于 N,交 BE于 M,连 DM, 由题意知,MG =MN,MN∥ BC∥ DA且 MN =AD = 1 2BC, ∵MG∥ AD,MG =AD, 3分…………………………………………………………… 故四边形 ADMG为平行四边形,∴AG∥ DM, 又 DM 平面 BDE,AG 平面 BDE, 故 AG∥ 平面 BDE. 6分………………………………………………………………… (2)由题意知 BC⊥ 平面 ECD,在平面 ECD内过 C点作 CF⊥ CD交 DE于 F, 以 C为原点,CD→ ,CB→ ,CF→ 的方向为 x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系, 不妨设 AD =1,则 BC =CD =CE =2BG =2. 且 C(0,0,0),D(2,0,0),B(0,2,0),E(-1,0,槡3), 8分……………………………… 设平面 EBD的法向量n=(x,y,z), 则由 DE→ ·n=0, BD→ ·n=0{ , 得 -3x+槡3z=0, 2x-2y=0{ , 取 y=1,得n=(1,1,槡3), 9分……………………………………………………… )页4共(页1第案答卷试学数级年三高市埠蚌 5 易知平面 BCD的一个法向量为m =(0,0,1) 10分………………………………… cos<m,n>= m·n |m|·|n|= 槡3 槡5·1 = 槡15 5 , 所以二面角 E-BD-C的余弦值为 槡15 5 . 12分……………………………………… 19(12分) 解:(1)该选手选择方式二答题,记每轮得分为 X,则 X可取值为 0,20,30, 且 P(X =0)= 1 8,P(X =20)= 3 8,P(X =30)= 1 2 3分…………………… 记预赛得分为 Y, P(Y≥ 100)=P(Y=120)+P(Y=110)+P(Y=100) =(1 2)4 +C3 4(1 2)3 ×3 8 +C2 4(1 2)2 ×(3 8)2 = 59 128 ∴ 该选手所以选择方式二答题晋级的概率为 59 128. 6分…………………………… (2)该选手选择方式一答题: 设每轮得分为 ξ,则 ξ可取值为 0,20, 且 P(ξ=0)=(1-p)2,P(ξ=20)=1-P(ξ=0)=2p-p2 ∴E(ξ)=20p(2-p), 设预赛得分为 Y1,则 Y1 =6ξ, E(Y1)=E(6ξ)=6E(ξ)=120p(2-p). 9分………………………………… 该选手选择方式二答题: 设每轮得分为 ζ,则 ζ可取值为 0,20,30,且 P(ζ=0)=(1-p)3, P(ζ=20)=3p(1-p)2, P(ζ=30)=3p2(1-p)+p3, ∴E(ζ)=60p(1-p)2 +30[3p2(1-p)+p3]=30p(2-p). 设预赛得分为 Y2,则 Y2 =4ζ, E(Y2)=E(4ζ)=4E(ζ)=120p(2-p) 因为 E(Y1)=E(Y2),所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等. 12分… 20(12分) 解:(1)∵ 点 F(2,0)在圆 E∶(x+2)2 +y2 =24内, ∴ 圆 N内切于圆 E, ∴ |NE|+|NF|= 槡26 >|EF|, 2分…………………………………………… 所以 N点轨迹是以 E,F为焦点的椭圆,且 a=槡6,c=2,从而 b=槡2 故点 N的轨迹 C的方程为:x2 6 +y2 2 =1. 4分……………………………………… (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 若直线 PQ斜率存在,设直线 PQ方程为 y=kx+m, 联立 y=kx+m x2 6 +y2 2 ={ 1 ,整理得:(1+3k2)x2 +6kmx+3m2 -6=0, )页4共(页2第案答卷试学数级年三高市埠蚌 6 x1 +x2 = -6km 1+3k2,x1x2 =3m2 -6 1+3k2 6分…………………………………………… 因为 OP⊥ OQ,所以OP→ ·OQ→ =0,即 x1x2 +y2y2 =0. 化简得:(1+k2)x1x2 +km(x1 +x2)+m2 =0, 即(1+k2)·3m2 -6 1+3k2 +km· -6km 1+3k2 +m2 =0, 从而,2m2 -3k2 -3=0,① 8分…………………………………………………… 因为 OP⊥ OQ,且 M为 PQ中点,所以 |PQ|=2|OM|, 在直角 △ABC中,记原点 O到直线 PQ的距离为 d, 则 |OP|·|OQ|=d|PQ|=2d|OM|, 由 ① 知,原点 O到直线 l的距离为 d= |m| 1+k槡 2 = |m| 槡2 槡3 |m| =槡6 2, 所以 t为定值槡6. 10分……………………………………………………………… 若直线 PQ斜率不存在,设直线 PQ方程为 x=n, 联立 x=n x2 6 +y2 2 ={ 1 ,解得 p(n, 6-n2 槡3 ),(n,- 6-n2 槡3 ) 由 OP⊥ OQ得 |n|=槡6 2,即 t=槡6, 综上,t为定值槡6. 12分……………………………………………………………… 21(12分) 解:(1)函数 f(x)定义域(1,+∞),f′(x)=1+lnx-a, a≤ 1时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)内单调递增, 所以 f(x)>f(1)=0,f(x)在(1,+∞)内无零点; 3分…………………………… a>1时,f′(x)=0的解为 x0 =ea-1 >1,又因为 f′(x)在(1,+∞)内单调递增,所 以当 1<x<x0,f′(x)<0,f(x)在(1,x0)内单调递减, f(x)<f(1)=0,所以 f(x)在(1,x0)内无零点; 当 x>x0,f′(x)>0,f(x)在(x0,+∞)内单调递增; f(x0)<f(1)=0,f(ea)=aea -a(ea -1)=a>0, 所以 f(x)在(x0,+∞)有且仅有一个零点; 综上所述,当 a≤ 1,函数 f(x)在(1,+∞)无零点;当 a>1,函数 f(x)在 (1,+∞) 有 1个零点. 6分………………………………………………………………………… (2)由题意知 a≥ lnx x -x+4 x-2 x2 在区间(0,+∞)上恒成立, 设 g(x)=lnx x -x+4 x-2 x2,g'(x)= -lnx-x2 -3+4 x x2 , 8分………………… 设 h(x)=-lnx-x2 -3+4 x,h'(x)=-1 x-2x-4 x2 <0, 所以 h(x)在(0,+∞)单调递减,又因为 h(1)=0, 10分………………………… )页4共(页3第案答卷试学数级年三高市埠蚌 7 列表如下 (0,1) (1,+∞) h(x) + — g'(x) + — g(x) 增 减 当时 x=1,g(x)max =g(1)=1,所以 a≥ 1. 12分………………………………… 22.(10分) 解:(1)由 ρ=2cosθ+4sinθ,θ∈ [0,2π), 可得 ρ2 =2ρcosθ+4ρsinθ,θ∈ [0,2π) 2分……………………………………… ∵ρ2 =x2 +y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y ∴ 曲线 C的直角坐标方程为(x-1)2 +(y-2)2 =5. 5分……………………… (2)∵ 直线 l的参数方程为: x= 槡25 5 t+6 y=槡5 5 { t (t为参数,t∈ R), ∴ 直线 l上的点 P 槡25 5 t+6,槡5 5( )t向圆 C引切线长是 |PC|2 -槡 5 = 槡25 5 t+6-( )1 2 + 槡5 5t-( )2 2 -槡 5 7分………………………        = t+ 槡85( )5 2 +56 槡 5 ≥ 槡2 70 5  ∴ 当 t=- 槡85 5 时,切线长的最小值为 槡2 70 5 10分……………………………… 23.(10分) 解:(1)a=1时,所解不等即为:|2x-1|>2|x+1|, 2分…………………………… 两边平方解得 x<-1 4, ∴ 原不等式解集为 x|x<-{ }1 4  5分…………………………………………… (2)|2x-1|-|a-1|>2|x+1|存在实数解, 即 |a-1|<|2x-1|-2|x+1|存在实数解, 令 g(x)=|2x-1|-2|x+1|,即 |a-1|<g(x)max, 7分…………………… g(x)=|2x-1|-2|x+1|≤|2x-1-(2x+2)|=3, ∴ 当 x≤-1时等号成立。 ∴ |a-1|<3,解得 a∈ (-2,4) 10分………………………………………… (其它解法请参考以上评分标准酌情赋分) )页4共(页4第案答卷试学数级年三高市埠蚌 8

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