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2020—2021学年第一学期期末考试卷·高三文科数学参考答案 第 1 页(共 6页)
2020—2021学年第一学期期末考试卷
高三文科数学参考答案
1.【答案】 C
【解析】 因为 A={-2,-1,0,1,2},B={-3,-2,-1,3},所以 A∩B={-2,-1},故选 C.
2.【答案】 C
【解析】 z=5i+1
1-i=(5i+1)(1+i)
(1-i)(1+i)=-4+6i
2 =-2+3i,所以复数 z=5i+1
1-i的实部为 -2.
3.【答案】 D
【解析】 由题意可知该折线统计图是工业增加值同比增长率,2020年 3月份到 10月份,工业增
加值同比都在增加,故 A错误;2020年 3月份到 10月份,工业增加值同比增加速度最大的是 4
月,增速为 9.1%,故 B错误;2020年 10月工业增加值同比增长 8.5%,故 C错误,D正确.
4.【答案】 A
【解析】 若 a与 b共线,则 3x=-12,解得 x=-4,∴a=(-2,-4),∴a·b=-2×3+(-4)
×6=-30.
5.【答案】 D
【解析】 Q到抛物线 E的准线距离为 d,则 d=4.过点 M,N分别作准线的垂线,垂足分别为 M1,
N1,则|MN|=|MM1|+|NN1|=2d=8.
6.【答案】 B
【解析】 因为( )1
3
2
+ 槡22( )3
2
=1,所以点 1
3,槡22( )3 在单位圆上,所以 cosθ=1
3,又 θ为锐角,所
以 θ
2为锐角,结合二倍角公式可得 sinθ
2= 1-cosθ
槡 2 =
1-1
3
槡2 =槡3
3,故选 B.
7.【答案】 A
【解析】 依次执行如下:S=12-2×1=10,i=2;
S=10-2×2=6,i=3;S=6-2×3=0,i=4;
S=0-2×4=-8,i=5,满足条件 S<0,退出循环体,输出 i=5.
8.【答案】 C
【解析】 因为 b=0.25-0.5=40.5>a=40.4>40=1,c=log0.250.4<log0.250.25=1,所以 c<a<b.
9.【答案】 D
【解析】 因为 S=( )ft=1
2× t
槡2
×2 4-t2
槡 2 = t 8-t槡 2
2 ,又
t
槡2
<2
t≠{ 0
,即 槡-2 2<t<0或 0<t
槡<22,所以 ( )ft为偶函数,故选 D.
10.【答案】 A
【解析】 由 |MF1|
|MF2|=4得|MF1|-|MF2|=3|MF2|=2a,∵|MF2|=2a
3≥c-a,∴1<e≤ 5
3.
11.【答案】 C
【解析】 由题意可得(a1+a4+a9+a12)·(b2+b6+b7+b11)=2(a1+a12)·2(b1+b12)
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1
9·12(a1+a12)
2 ·12(b1+b12)
2 =1
9·S12·T12=1
9· 1
156·1562=52
3.
12.【答案】 B
【解析】 设底面△ABC外接圆圆心为 O1,半径为 r,则 2r= AC
sin∠ABC=2,即 r=1.
设三棱锥 P-ABC高为 h,球的半径为 R.由 PA=PB=PC,得球心 O在 PO1 上,且 h-( )R 2 +r2
=R2,则 R=1
2 h+1( )h ≥ 1
2·2 h· 1
槡 h=1,当且仅当 h=1时等号成立,此时外接球表面积最
小,则 Smin=4π.
13.【答案】 6
【解析】 作直线 l0:y=-5x,平移直线 l0,当其过点(1,1)时,z=5x+y取得最大值,
最大值为 5×1+1=6.
14.【答案】 2
【解析】 数列 b{ }n 是等比数列,则 a2a8a11=a7
q5·a7q·a7q4=a3
7=8,所以 a7=2,
而 an>0,a5=1
2,所以公比 q=2.
15.【答案】 65
12
【解析】 当 f(x)的定义域为 R时,图象的对称轴满足:πx+π
6=kπ+π
2(k∈Z),
即对称轴方程是 x=k+1
3(k∈Z),因为函数 f(x)在闭区间 21
4,[ ]m 上是对称曲线,
2
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所以
m>21
4
2 k+( )1
3 =21
4+{ m
,所以 k>59
12,因为 k∈Z,所以 k取最小值 5时,m最小值为65
12.
16.【答案】 -1
【解析】 f(x)=(x3+x+2)3
64 +x3+x+2
4 +2-4x= x3+x+2( )4
3
+x3+x+2
4 +2-4x,则问题等
价于求方程 x3+x+2( )4
3
+x3+x+2
4 +2=4x的所有实数根的和.设 t=x3+x+2
4 ,则 x3 +x+2=
4t,t3+t+2=4x.令 g(x)=x3+x+2,则 g′(x)=3x2+1>0,所以 g(x)=x3+x+2为增函数.
因为 g(x)=4t,g(t)=4x,若 x<t,则 4t<4x,即 t<x,矛盾;若 x>t,则 4t>4x,即 t>x,矛盾.所
以必有 x=t,即 x=x3+x+2
4 ,所以 x3+x+2( )4
3
+x3+x+2
4 +2=4x等价于 x=x3+x+2
4 ,即 x3 -
3x+2=0,亦即(x-1)2(x+2)=0,解得所有的实数根为 1,-2,故所有零点的和为 -1.
17.【解析】 (1)依题意:x=1
5( )1+2+3+4+5 =3,y=1
5( )5+9+12+16+23 =13, (2分)!
所以 ^b=
∑
5
i=1
(xi-x)(yi-y)
∑
5
i=1
(xi-x)2
=( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1-3 5-13 + 2-3 9-13 + 3-3 12-13 + 4-3 16-13 + 5-3 23( )-13
( )1-32 ( )+ 2-32 ( )+ 3-32 ( )+ 4-32 ( )+ 5-32
=16+4+3+20
10 =43
10=4.3,
所以 ^a=13-4.3×3=0.1, (6分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
故所求回归直线方程为 ^y=4.3x+0.1. (7分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(2)将 x=6,代入 ^y=4.3x+0.1中,得 ^y=4.3×6+0.1=25.9≈26,
故预测第六周订购智能家居产品的数量为 26,不会超过 28. (12分)!!!!!!!!!!!
18.【解析】 (1)由 sinA
a +sinB
b =2cosC,
结合正弦定理得2sinC
c =2cosC, (2分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
因为 c 槡=22,代入整理即得 tanC 槡=22, (4分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
所以 sinC= 槡22
3 . (6分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(2)由 S=1
2absinC=1
2ab× 槡22
3 槡= 2,得 ab=3. (8分)!!!!!!!!!!!!!!!!
由 sinC= 槡22
3 ,由题设得:cosC=1
3,
由余弦定理知 cosC=a2+b2-c2
2ab =a2+b2-8
6 =1
3,即 a2+b2=10, (10分)!!!!!!!!
即(a+b)2-2ab=10,所以 a+b=4. (12分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
3
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19.【解析】 (1)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,易知
VB-AMD1 =VD1-ABM =1
3×1
2×2×2×2=4
3. (4分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(2)证明:取 BC的中点分别为 F,连接 NF,DF.
因为 N,F分别为 BC1,BC的中点,ABCD-A1B1C1D1是正方体,
易得 NF⊥平面 ABCD,所以 NF⊥AM. (6分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
因为 FC=MD,AD=DC,∠FCD=∠MDA,
所以△FCD≌△MDA,所以∠CFD=∠DMA,
所以∠FDC+∠DMA=90°,所以 FD⊥AM.
因为 NF∩FD=F,所以 AM⊥平面 NFD,所以 AM⊥ND. (9分)!!!!!!!!!!!!!
连接 BD,C1D,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,
易知 BD=C1D,所以 DN⊥BC1.
又 BC1∥AD1,所以 AD1⊥DN. (10分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
又 AD1∩AM=A,所以 ND⊥平面 AMD1, (12分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
20.【解析】 (1)当 m=0时,f(x)=(1+cosx)ex,
对函数 f(x)求导可得 f′(x)=(-sinx)ex+(1+cosx)ex=(1-sinx+cosx)ex, (1分)!!!
所以 f′(0)=(1-0+1)e0=2, (2分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
又 f(0)=(1+1)e0=2, (3分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
所以曲线 f(x)在 x=0处的切线方程为 y-2=2(x-0),即 2x-y+2=0. (5分)!!!!!
(2)由(1)知 f′(x)=(1-sinx+cosx)ex 槡= 1- 2sinx-π( )[ ]4 ex, (6分)!!!!!!!!!
因为 0≤x≤ π
2,所以 -槡2
2≤sin(x-π
4)≤槡2
2,
所以 -1≤槡2sin(x-π
4)≤1,所以 0≤ 槡1- 2sinx-π( )4 ≤2,
所以 f′(x) 槡= 1- 2sinx-π( )[ ]4 ex≥0, (8分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
故函数 f(x)在区间 0,π[ ]2 上单调递增. (9分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
因为函数 f(x)在区间 0,π[ ]2 上只有一个零点,
4
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结合零点存在定理可得
f(0)=2-m≤0
fπ( )2 =eπ
2 -m≥{ 0 (11分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!
解得 2≤m≤eπ
2,即 m的取值范围是 2,eπ
[ ]2 . (12分)!!!!!!!!!!!!!!!!!
21.【解析】 (1)由题意可得
12
a2 +( )3
2
2
b2 =1
c
a=1
2
a2-b2=c
2
,解得 a=2,b 槡= 3.
所以椭圆 C的方程为x2
4+y2
3=1. (4分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(2)证明:由(1)可知 F(1,0),则直线 l的方程为 y=k(x-1).
联立
y=k(x-1)
x2
4+y2
3{ =1,得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.
设 D(x1,y1),E(x2,y2),则 x1+x2= 8k2
4k2+3,x1x2=4k2-12
4k2+3, (7分)!!!!!!!!!!!!
所以 k1+k2= y1
x1+2+ y2
x2+2=k(x1-1)
x1+2 +k(x2-1)
x2+2 =k1- 3
x1+2+1- 3
x2( )+2
=k2- 3(x1+x2+4)
(x1+2)(x2+2[ ]) =k2- 3(x1+x2+4)
x1x2+2(x1+x2)[ ]+4
=k2-
3 8k2
4k2+3( )+4
4k2-12
4k2+3+2× 8k2
4k2+3
+4
=k2- 3(8k2+16k2+12)
4k2-12+16k2+16k2[ ]+12
=k2-2k2+1
k( )2 =-1
k, (11分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
所以 kk1+kk2=k -1( )k =-1(定值). (12分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
22.【解析】 (1)由
x=-1+1
2t
y=槡3
2{ t
(t为参数)消去参数 t可得直线 l的普通方程为槡3x-y 槡+ 3=0.
(2分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
由 ρ2= 6
3sin2θ+2cos2θ得 3ρ2sin2θ+2ρ2cos2θ=6,即 3y2+2x2=6,
整理可得曲线 C的直角坐标方程为x2
3+y2
2=1. (5分)!!!!!!!!!!!!!!!!
(2)将直线 l的参数方程
x=-1+1
2t
y=槡3
2{ t
(t为参数)代入椭圆 C:x2
3+y2
2=1中,
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整理得11
4t2-2t-4=0,显然 Δ>0,设点 A、B对应的参数分别为 t1、t2 (7分)!!!!!!!
所以 t1+t2=8
11,t1t2=-16
11, (8分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
故 1
PA - 1
PB = PB - PA
PA· PB = t1+t2
t1t2
=1
2. (10分)!!!!!!!!!!!!!!
23.【答案】 见解析
【解析】 (1)f(x)≤5即为 3 x+1 + 3x-2≤5,等价于
x<-1
-3x-3-3x+2≤{ 5或 -1≤x≤ 2
3
3x+3-3x+2≤{ 5
或 x>2
3
3x+3+3x-2≤{ 5
(3分)!!!!!!!!!
解得 -1≤x≤ 2
3,即不等式的解集为 x -1≤x≤{ }2
3 . (5分)!!!!!!!!!!!!!!
(2)因为 f(x)=3 x+1 + 3x-2≥ 3x+3-3x+2 =5, (7分)!!!!!!!!!!!!
所以由 f(x)>2a2-9a恒成立,可得 2a2-9a<5, (9分)!!!!!!!!!!!!!!!!
即 2a2-9a-5<0,
解得 -1
2<a<5,故实数 a的取值范围是 -1
2,( )5. (10分)!!!!!!!!!!!!!!
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