江西省吉安市“省重点中学五校协作体”
2021届高三第一次联考数学理科试卷
命题人:吉安县立中学: 吉水中学: 永丰中学:
时间:120分钟 总分:150分
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位,复数,则复数在复平面上的对应点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 等差数列中,,则的值为( )
A. B. C. D.
4.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖,清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑.如图所示,某园林建筑为六角攒尖,它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥,若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为,且,则侧棱与底面外接圆半径的比为( )
A. B. C. D.
6. 已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于两点,且,
则( )
A. B. C. D.
7.已知直线和函数的图象相交,,为两个相邻的交点,若,则( )
A. 2 B. 2或6 C. 3或5 D. 3
8. 执行如图所示的程序框图,设所有输出数据构成的集合为,若从集合中任取一个元素,则满足函数在区间内单调递增的概率为( )
A. B. C. D.
9. 已知A、B、C、D四点都在表面积为100π的球O的表面上,若BC=4,∠BAC=120°,则球O内接三棱锥A-BCD的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
10. 已知圆C:,过点P(8,0)的动直线与圆C相交于A,B两点,线段AB的中点为M,则M的轨迹的长度为( )
A. 8 B. C. D.
11. 下列大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
12. 已知定义在上的函数是奇函数,当时,,则不等式
的解集为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若,则的最大值是____________.
14. 向量,满足,,与的夹角为,则 __________.
15. 已知双曲线,点是直线上任意一点,若圆与双曲线的右支没有公共点,则双曲线的离心率取值范围为__________.
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16.定义:若数列满足,则称该数列为函数的“切线—零点数列”.已知函数
有两个零点,,数列为函数的“切线—零点数列”,设数列满足,,数列的前项和为,则=_______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)当时,求出函数的最大值,并写出对应的的值;
(2)的内角的对边分别为,若,,求的最小值.
18.(本小题满分12分)
已知,如图四棱锥中,, 为平行四边形, ,, 分别是中点,点在棱上.
(1)证明:平面平面;
(2)若二面角的余弦值为,求直线与
平面所成角的正弦值.
19.(本小题满分12分)
面对环境污染,党和政府高度重视,各级环保部门制定了严格措施治理污染,同时宣传部门加大保护环境的宣传力度,因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识,为此吉安市在吉州区建立了公共自行车服务系统,市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡,初次办卡时卡内预先赠送20分,当诚信积分为0时,借车卡自动锁定,限制借车,用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡,为了鼓励市民租用公共自行车出行,同时督促市民尽快还车,方便更多的市民使用,公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费,具体扣分标准如下:
①租用时间不超过1小时,免费;
②租用时间为1小时以上且不超过2小时,扣1分;
③租用时间为2小时以上且不超过3小时,扣2分;
④租用时间为3小时以上且不超过4小时,扣3分;
⑤租车时间超过4小时除扣3分外,超出时间按每小时扣2分收费(不足1小时的部分按1小时计算)
甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,且两人租车时间都不会超过4小时,设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.4,0.3;租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4,0.5;租用时间为2小时以上且不超过3小时的概率分别是0.1,0.1.
(1)求甲比乙所扣积分多的概率;
(2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量,求的分布列和数学期望.
20. (本小题满分12分)
已知椭圆经过点,且离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知斜率存在的直线与椭圆相交于两点,点总满足,
证明:直线过定点.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)已知函数,(其中是的导函数),若函数有两个极值点,且,求的取值范围.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22. [选修4 ― 4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设点在直线上,点在曲线上,求的最小值.
23.[选修4—5:不等式选讲] (本小题满分10分)
已知函数的最小值为.
(1)求;
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(2)若正实数,,满足,求:的最小值.
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