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江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021 届
高三第一次联考文科数学试卷
命题人:吉水中学: 吉安县立中学: 永丰中学:
时间:120 分钟 满分 150 分
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
1.已知复数
i
iz 3 ,则 || z =( )
A. 4 B. 10 C. 5 D. 2
2.已知集合 | 0 2A x x ,集合 | lg 0B x x ,则 A B ( )
A. ,1 2, B. ,0 1,2 C. 1,2 D. 1,2
3.某学生准备参加某科目考试,在 12 次模拟考试中,所得分数的茎叶图如图所示,则此学生该门功课
考试成绩的众数与中位数分别为( )
A.95,94 B.95,94.5
C.93,94.5 D.95,95
4.设 1
2
log 3a ,
0.91
3b
,
1
82c ,则( )
A. a b c B. bca
C. c a b D.b a c
5.某四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的体积为( )
A. 2 B.3
C. 4 D. 6
6.等差数列 }{ na 前 n 项和为 ns , 121191 aaa ,则 13S ( )
A.32 B. 42 C .52 D. 62
7.若抛物线 2 2 0y px p 上的点 2,0 xA 到其焦点的距离是点 A 到 y 轴距离的 2 倍,则 p 等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
8.为了得到函数 2 sin3y x 的图象,可以将函数 sin 3 cos3y x x 的图象( )
A.向右平移
4
个单位 B.向左平移
4
个单位
C.向右平移
12
个单位 D.向左平移
12
个单位
9.已知双曲线 )0,0(12
2
2
2
bab
y
a
xC: 的离心率为 3,双曲线 C 的一个焦点到它的一条渐近线的距
离为 22 ,则双曲线C 的方程为( )
A. 189
22
yx B. 18
2
2
yx C. 18
2
2 yx D. 198
22
yx
10.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为( )
A. 81
2
B. 81
4
C. 81
5
D. 81
7
11.已知函数 f x 是定义域为 R 的奇函数,且当 0x 时, xe
xxf )( ,则曲线 y f x 在点 )1(1 f,
处的切线方程为( )
A. 2y ex e B. 2y ex e C. 2y ex e D. 2y ex e
12.已知数列 na 满足 13 4 1n na a n ,且 1 9a ,其前 n 项之和为 nS ,则满足不等式
16 125nS n 的最小整数 n 是( )
A.9 B.8 C.6 D.7
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知向量 (1,2)a , (3, )b m ,且 a b ,则 m ______.
14.已知实数 x , y 满足不等式组
2 0
3 0
1
x y
x y
y
,则目标函数 yxz 2 的最大值为 .
15.已知
1,log
1,4
xx
xaxaxf
a
是 , 上的增函数,则 a 的取值范围为_________.
16.设函数 ( )f x 是定义在 R 上周期为 2 的函数,且对任意实数 x 恒有 ( ) ( ) 0f x f x ,当 [ 1,0]x
时, 2( )f x x ,若 ( ) ( ) log x
ag x f x 在 (0, )x 上有三个零点,则 a 的取值范围为_______.
2
三、解答题:共 70 分.解答
应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.第 17~21 题为
必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17.(12 分)已知 ABC 的内角 CBA 、、 的对边分别为 cba 、、 ,且满足
2cos32sin 2 CBbBa .
(1)求角 A 的大小;
(2)若 BCa sin2sin32 , ,求 ABC 的面积.
18.(12 分)在四棱锥 P ABCD 中, PD⊥平面 ABCD ,底面四边形 ABCD 是边长为1的正方形,
侧棱 PA 与底面成的角是 45 , ,M N 分别是 ,AB PC 的中点.
(1)求证: MN ∥平面 PAD ;
(2)求三棱锥 M PBC 的体积.
19.(12 分)某县为了在全县营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围,制定施行“光盘行动”有关政策,
为进一步了解此项政策对市民的影响程度,县政府在全县随机抽取了 100 名市民进行调查,其中男士比
女士少 20 人,表示政策无效的 25 人中有 10 人是女士.
(1)完成下列 2 2 列联表,并判断是否有99%的把握认为“政策是否有效与性别有关”;
政策有效 政策无效 总计
女士 10
男士
合计 25 100
(2)从被调查的市民中,采取分层抽样方法抽取 5 名市民,再从这 5 名市民中任意抽取 2 名,对
政策的有效性进行调研分析,求抽取的 2 人中有男士的概率.
参考公式:
2
2 ( ) ( )( )( )( )( )
n ad bcK n a b c da b c d a c b d
.
20.(12 分)已知函数 ln 1f x ax x .
(1)若 1a ,求函数 f x 的最大值;
(2)对任意的 0x ,不等式 xf x e 恒成立,求实数 a 的取值范围.
21.(12 分)已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a b
a b
的长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 (0 1)B , .
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线 : ( 2)l y k x 交椭圆于 ,P Q 两点,若点 B 始终在以 PQ 为直径的圆内,求实数 k 的取值
范围.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 1C 的极坐标方程
为 01)4cos(2 ,曲线 2C 的参数方程为
sin3
cos2
y
x ( 为参数).
(1)写出曲线 1C 的直角坐标方程和曲线 2C 的普通方程;
(2)已知点 )1,0( P ,曲线 1C 与曲线 2C 相交于 A , B 两点,求 PA PB .
23.(10 分)【选修 4-5:不等式选讲】
已知函数 |1||2|)( xxxf
(1)解不等式 5)( xf ;
2( )P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.842 5.024 6.635 7.879 10.828
3
(2)若关于 x 的不等式 2( ) 2f x a a 有解,求实数 a 的取值范围.