江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考数学（理）答案

1 江西省吉安市“省重点中学五校协作体” 2021 届高三第一次联考数学理科试卷（答案） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1. D 2. D 3. A 4. A 5. A 6. C 7．B 8. B 9. C 10. B 11. D 12. D 12.D．因为函数 ( 2) 3f x   是定义在 R 上的奇函数，所以函数 )(xf 的图像关于点（2,3）中心对称，且 (2) 3f  ，当 (2, )x  时， 2 0x   ，则 1 1 14 ( 2) 2 2 ( 2) 2 02 2 2x x xx x x              ， 当且仅当 3x  时取等号，故 1( ) 4 02f x x x      ，函数 )(xf 在 (2, ) 上单调递增，因为函数 )(xf 的图像关于点（2,3）中心对称，所以函数 )(xf 在 R 上单调递增，不等式  0)1ln(3)(  xxf 可化 为      0)1ln( 03)( x xf 或      0)1ln( 03)( x xf ，      0)1ln( 03)( x xf ，即 2 0 x x    ，解得 x>2，      0)1ln( 03)( x xf ，即 2 1 0 x x     ，解得 01  x ，故不等式的解集为 ( 1,0) (2, )  二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. -1 14. 32 15.  2,1 16． 323 2020  16.∵ qpxxxf  2)( 有两个零点  1，2，∴ 2( ) ( 1)( 2) 2f x x x x x      ， ( ) 2 1f x x   .由题意得 2 2 1 2 2 2 1 2 1 n n n n n n n x x xx x x x       ， ∴ 2 22 1 2 2 1 2 22 2 1 4 4 2 21 2 1 112 1 n n n n n n nn n n n n x x x x x x xx x x x x                   ，∵ 2ln 1 n n n xa x   ∴ 1 1 1 2 2ln 2ln 21 1 n n n n n n x xa ax x         .又 1 3a  ，∴数列 na 是首项为 3，公比为 2 的等比数列，∴ 13 2n na   ，∴ 2000 2020 2020 3 (1 2 ) 3 2 31 2S      . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分） 解：（1）函数 2 1cos)sin2 1cos2 3(sin2 1cos)6cos(sin)( 22  xxxxxxxxf  xxxxxxx 222 cos2 1cossin2 3 2 1cossin2 1cossin2 3  4 1)62sin(2 1 4 1)2cos2 12sin2 3(2 1  xxx ，………………3 分 [ ,0]x   ，所以 11 26 6 6x      ， 1)62sin(1  x ，当 32 6 2x     时，即当 5 6x   时，函数 )(xf 取最大值 4 3 ；…………6 分 （2）由题意 2 1 4 1)62sin(2 1)(  AAf ，化简得 2 1)62sin(  A ， ),0( A ， )6 13,6(62   A ， 6 5 62   A ，解得 3 A .………………8 分 在 ABC 中，根据余弦定理，得 bccbbccba 3)(3cos2 2222   . 由 2 24 4 4. 22 b cb c bc a b c          ，知 ，即 当 时， a 取最小值为 2.…………12 分 2 18．（本小题满分 12 分） 解：（1）证明： ABCDPA 平面 ， AEPA  又 为平行四边形且ABCDADAB , ， 3 ABC ， ABC 为等边三角形， 又 E 为 BC 中点， BCAE  又 BCAD // , ADAE  AADPA  ， PADAE 平面 PADAEF 平面平面  ………..4 分 （2）以 A 为原点， APADAE ,, 所在直线分别为 zyx ,, 轴建立空间直角坐标系， 则 )1,1,0(),0,1,3(),0,0,3(),2,0,0( MCEP ， )2,1,3( PC 设 PCPF  , )10(   ，则 )22,,3(  F ………..5 分 设平面 PAF 即平面 PAC 的法向量为 1n ， )1,0,0(AP , )0,1,3(AC 由 01  APn ， 01  ACn ，可取 )0,3,1(1 n 设平面 AEF 的法向量为 2n ， )0,0,3(AE , )22,,3(  AF 由 02  AEn ， 02  AFn ,可取 ),2-2,0(2 n ………..7 分 5 15 )1(42 )1(32 |||| |||,cos| 22 21 21 21      nn nnnn ，解得 2 1 ………..9 分 )2 1,1,0(2 n ， ）（ 1,1,0AM ，设 AM 与平面 AEF 所成角为 ，则 10 10 22 5 2 1 |||| |||,cos|sin 2 2 2    nAM nAMnAM ………..12 分 19．(本小题满分 12 分) 解：（1）根据题意，分别记“甲扣分为 0 分、1 分、2 分、3 分”为事件 4321 ,,, AAAA ，它们彼此互斥，且 1 2 3 4( ) 0.4, ( ) 0.4 ( ) 0.1 ( ) 0.1P A P A P A P A   ， ， ，分别记“乙扣分为 0 分、1 分、2 分、3 分”为事件 4321 ,,, BBBB ，它们彼此互斥，且 1 2 3 4( ) 0.3 ( ) 0.5 ( ) 0.1 ( ) 0.1P B P B P B P B   ， ， ， ，由题知，事件 4321 ,,, AAAA 与事件 4321 ,,, BBBB 相互独立，记甲比乙所扣积分多为事件 M ，则 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3M A B A B A B A B A B A B      ， 所以 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P M P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B      0.4 0.3 0.1 0.3 0.1 0.5 0.1 0.3 0.1 0.5 0.1 0.1 0.29             ………………6 分 （2）根据题 的可能取值为：0，1，2，3，4，5，6，则 ( 0) 0.4 0.3 0.12P      ， ( 1) 0.4 0.5 0.4 0.3 0.32P        ， ( 2) 0.4 0.1 0.3 0.1 0.4 0.5 0.27P          ， ( 3) 0.4 0.1 0.3 0.1 0.4 0.1 0.5 0.1 0.16P            ， ( 4) 0.4 0.1 0.5 0.1 0.1 0.1 0.1P          ， ( 5) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.02P        ， ( 6) 0.1 0.1 0.01P      ；………………………………9 分 所以 的分布列为：  0 1 2 3 4 5 6 P 0.12 0.32 0.27 0.16 0.1 0.02 0.01  的数学期望 ( ) 0 0.12 1 0.32 2 0.27 3 0.16 4 0.1 5 0.02 6 0.01 1.9E                 ．…12 分 3 20. （本小题满分 12 分） 解：（1）椭圆 C：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的离心率 2 3e .所以 22 2 2 2 2 4,2 3-1 baa be       即 又椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     经过点      2 1,3P ，代入椭圆方程可得 2 2 3 1 14a b   ，……2 分 联立方程组可得      22 22 4 14 13 ba ba ，解得 2 24, 1a b  .…………4 分 所以椭圆 C 的方程为 2 2 14 x y  …………5 分 （2）设直线l 的方程为 ),(),,(, 2211 yxByxAmkxy  联立方程组      mkxy yx 14 2 2 消去 y 得 0448)41( 222  mkm ,0)14(16 22  mk 即 14 22  km ， 2 2 21221 41 44,41 8 k m kmxx    …………7 分 因为 BQOAQO  ，所以 0 BQAQ kk 0 3 34 3 34 3 34 3 34 2 2 1 1 2 2 1 1          x mkx x mkx x y x ykk BQAQ …………9 分 即 03 38))(3 34(2)3 34)(()3 34)(( 21211221  mmxkxxmkxxmkx 得 0)41(3 38)3 34(8)44(2 22  kmkmkmmk …………10 分 化简得 km 3 ，直线l 的方程为 )3(  xky 所以，直线l  03，恒过定点 …………12 分 另解：当l 的斜率为 0 时，满足 BQOAQO  . 当l 的斜率不为 0 时，不妨设直线l 的方程为 )0(  tntyx ,    1 1 2 2, ,A x y B x y 联立方程组      ntyx yx 14 2 2 消去 x 得   0424 222  nntyyt 所以      404442 22222  tnntnt ，即 ， 4 4 4 2 2 2 21221    t nyyt ntyy ， …………7 分 因为 BQOAQO  ，所以 0 BQAQ kk 所以 0 3 34 3 34 3 34 3 34 3 34 3 34 21 1221 2 2 1 1                                 xx xyxy x y x ykk BQAQ …………9 分 又 ntyxntyx  2211 ， ， 所以可得       03 34-3 34 3 34 2112211221              yyntyyntyyxyxy 即   03 342 2121        yynyty …………10 分 得  003 388  tntt . 所以， 3n ，直线l 的方程为 3 tyx 综上可知，直线l  03，恒过定点 …………12 分 4 21.（本小题满分 12 分） 解：（1） )(xf 的定义域为 (0, ) ，而 x a xxf  2 11)( 2 2 1x ax x   ，………………2 分 令 2( ) 1 0h x x ax    ，则 ①当 0 ( ) (0, )a f x 时， 在 单调递增 ； ②当 2 4 0 0 2 ( ) (0, ) 0 a a f x a         即 时 在 单调递增； ③当 2 2 1 42 1 0 2 a aa x ax x      时， 有两根 ， 2 2 4 2 a ax   2 24 4( ) (0, ),( , )2 2 a a a af x     所以 增区间 2 24 4( )2 2 a a a a   减区间 ， 综上述： 当 2 24 42 ( ) (0, ) 2 ( ) (0, ), ( , )2 2 a a a aa f x a f x       时， 在 单调递增，当 时， 在 上单调递 增，在 2 24 4( , )2 2 a a a a    上单调递减。………………5 分 （2） 2 2( ) ( ) 2ln 2 2ln 1g x x f x x ax x ax x       ，则 )(xg 的定义域为 (0, ) ， x axx xaxxg )1(2222)( 2  ，若 )(xg 有两个极值点 21, xx ，且 exx  21 则方程 012  axx 的判别式 042  a ，且 021  axx ， exxxx  1 221 11 得 2a ，且 11 1  xe .…………7 分 所以 22 2 211 2 121 ln22ln22)()( xaxxxaxxxgxg  121211212121 ln4))((ln4)(2))(( xxxxxxxxaxxxx  )11(,ln41 11 2 12 1  xexxx ………………8 分 设 )11(,ln41)( 2 2  tetttth ，则在 )1,1(et  上恒成立，故 )(th 在 )1,1(et  单调递减，从而 0)1()(  hth ， 41)1()( 2 2  eeehth 所以 )()( 21 xgxg  的取值范围是 )41,0( 2 2  ee .………………12 分 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. [选修 4 ― 4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 解：（1）直线l 的普通方程为 042  yx 曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 2 2 12 yx   ………………………5 分 （2）设点 Q 的坐标为  cos , 2 sin   2cos 2 sin 4 6 sin 4 4 6 4 5 30= 55 5 5 PQ            故 PQ 的最小值为 4 5 30 5  .………………………10 分 23．[选修 4—5：不等式选讲] （本小题满分 10 分） 解：（1）             )4 5(,46 4 5 2 1(,62 )2 1(,46 )( xx xx xx xf ）………..2 分 2 1x 时， 7)( xf ； 4 5 2 1-  x 时， 2 7)4 5()( min  fxf ； 4 5x 时， 2 7)( xf 综上得 2 7)4 5()( min  fxf ，∴ 7 2M  ………..5 分 (2)由（1）知 7a b c   ∵ 2( 1) ( 2) ( 3)a b c     2 2 2( 1) ( 2) ( 3) 2( 1)( 2) 2( 1)( 3) 2( 2)( 3)a b c a b a c b c                222 )3()2()1(3  cba ，(也可由柯西不等式直接得出) ………..7 分 ∴ 2 2 2 2( ) 4 3 ( 1) ( 2) ( 3)a b c a b c           ∴  2222 )3()2()1(3)47(  cba ∴ 2 2 2( 1) ( 2) ( 3) 3a b c      ………..8 分 当且仅当 0a  ， 3b  ， 4c  取值最小 ∴ 2 2 2( 1) ( 2) ( 3)a b c     的最小值为 3. ………..10 分