江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考数学(理)试卷
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资料简介
1 江西省吉安市“省重点中学五校协作体” 2021 届高三第一次联考数学理科试卷 命题人:吉安县立中学: 吉水中学: 永丰中学: 时间:120 分钟 总分:150 分 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. 已知集合  5,2,1,3A ,     05 2| x xxB ,则 BA  ( ) A. B.  2,1,3 C.  5,2,1 D.  2,1 2. 已知i 为虚数单位,复数 1 2 1 iz i   ,则复数 z 在复平面上的对应点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 等差数列 na 中, 201063  aaa ,则 911 2aa  的值为( ) A. 20- B. 10- C. 10 D. 2 4. 7)2( xx  的展开式中 x 的系数为( ) A. 280- B. 280 C. 210- D. 210 5. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖,清代称攒尖.依其 平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等,也有单檐和重檐之分,多 见于亭阁式建筑.如图所示,某园林建筑为六角攒尖,它的主要部分的轮廓可近 似看作一个正六棱锥,若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ,且 1cos 4   ,则侧棱与底面外接圆半径的比为( ) A. 2 B. 15 152 C. 1 D. 4 1 6. 已知抛物线 2 6y x 的焦点为 F ,过点 F 的直线交抛物线于 BA, 两点,且| | | | 12FA FB  , 则 || AB ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7.已知直线 2y  和函数     2sin 0f x x     的图象相交,E ,F 为两个相邻的交点,若 π 4EF  ,则  ( ) A. 2 B. 2 或 6 C. 3 或 5 D. 3 8. 执行如图所示的程序框图,设所有输出数据构成的集合为 A ,若从集合 A 中任取一个元素 a ,则满 足函数 2( ) 2 2021f x x ax   在区间[2, ) 内单调递增的概率为( ) 否 是 结束 开始 3?x  | 2 1|y x  y输出 1x x 5x   A. 3 1 B. 3 2 C. 2 1 D. 4 3 9. 已知 A、B、C、D 四点都在表面积为 100π的球 O 的表面上,若 BC=4 3 ,∠BAC=120°,则球 O 内接三棱锥 A-BCD 的体积的最大值为( ) A. 3 312 B. 3 32 C. 3 332 D. 3 64 10. 已知圆 C: 1622  yx ,过点 P(8,0)的动直线l 与圆 C 相交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M, 则 M 的轨迹的长度为( ) A. 8 B. 3 8 C. 3 4 D. 3 34  11. 下列大小关系正确的是( ) A. 23.2 3.22  B. 25.3 5.32  C. 1 ln 2 ln 2 2 D. 5log3log 85  12. 已知定义在 R 上的函数 ( 2) 3y f x   是奇函数,当 (2, )x  时, 1( ) 42f x x x     ,则不等式   0)1ln(3)(  xxf 的解集为( ) A. (2, ) B. ),()0,1(  e C. (0,2) ( , )e  D. ( 1,0) (2, )  二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若 0 2 0 3 0 x x y x y         ,则 yxz 3 的最大值是____________. 14. 向量 a ,b 满足 1|| a , 2|| b , a 与b 的夹角为 120 ,则  |2| ba __________. 15. 已知双曲线 )0,0(,1: 2 2 2 2  bab y a xC ,点 ),( 00 yxP 是直线 02  aaybx 上任意一点,若圆 2)()( 2 0 2 0  yyxx 与双曲线 C 的右支没有公共点,则双曲线的离心率取值范围为__________. 2 16.定义:若数列{ }nt 满足 1 ( ) ( ) n n n n f tt t f t    ,则称该数列为函数 )(xf 的“切线—零点数列”.已知函数 qpxxxf  2)( 有两个零点 1- , 2 ,数列 nx 为函数 )(xf 的“切线—零点数列”,设数列 na 满 足 1 3a  , 2ln 1 n n n xa x   ,数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,则 2020S =_______. 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题 考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 2 1cos)6cos(sin)( 2  xxxxf  . (1)当 x [ ,0] 时,求出函数 )(xf 的最大值,并写出对应的 x 的值; (2) ABC 的内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ,若 2 1)( Af , 4 cb ,求 a 的最小值. 18.(本小题满分 12 分) 已知,如图四棱锥 ABCDP  中, 2 ADABPA , ABCD 为 平行四边形, 3 ABC , ABCDPA 平面 , ME, 分别是 PDBC, 中点,点 F 在棱 PC 上. (1)证明:平面 AEF 平面 PAD; (2)若二面角 EAFP  的余弦值为 5 15- ,求直线 AM 与 平面 AEF 所成角的正弦值. 19.(本小题满分 12 分) 面对环境污染,党和政府高度重视,各级环保部门制定了严格措施治理污染,同时宣传部门加大保 护环境的宣传力度,因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识,为此吉安市在吉州区建立了公共自 行车服务系统,市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡,初次办卡时卡内预 先赠送 20 分,当诚信积分为 0 时,借车卡自动锁定,限制借车,用户应持卡到公共自行车服务中 心以 1 元购 1 个积分的形式再次激活该卡,为了鼓励市民租用公共自行车出行,同时督促市民尽快 还车,方便更多的市民使用,公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费,具体扣分标准如下: ①租用时间不超过 1 小时,免费; ②租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时,扣 1 分; ③租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时,扣 2 分; ④租用时间为 3 小时以上且不超过 4 小时,扣 3 分; ⑤租车时间超过 4 小时除扣 3 分外,超出时间按每小时扣 2 分收费(不足 1 小时的部分按 1 小时 计算) 甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,且两人租车时间都不会超过 4 小时,设甲、乙租用 时间不超过一小时的概率分别是 0.4,0.3;租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时的概率分别是 0.4, 0.5;租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时的概率分别是 0.1,0.1. (1)求甲比乙所扣积分多的概率; (2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量 ,求 的分布列和数学期望. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     经过点      2 1,3P ,且离心率 2 3e . (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知斜率存在的直线l 与椭圆相交于 BA, 两点,点       03 34 ,Q 总满足 BQOAQO  , 证明:直线l 过定点. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 )(,ln1)( Raxaxxxf  . (1)讨论函数 )(xf 的单调性; (2)已知函数 axxxfxxg  ln2)()( 2 ,(其中 )(xf  是 )(xf 的导函数),若函数 )(xg 有两个极 值点 21, xx ,且 exx  21 ,求 )()( 21 xgxg  的取值范围. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22. [选修 4 ― 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为 4 2 x t y t     (t 为参数).以坐标原点为极点,以 x 轴的 正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为 2 2 2 1 cos    . (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)设点 P 在直线l 上,点Q 在曲线C 上,求 PQ 的最小值. 23.[选修 4—5:不等式选讲] (本小题满分 10 分) 已知函数 ( ) 2 1 4 5f x x x    的最小值为 M . (1)求 M ; 3 (2)若正实数 a ,b , c 满足 2a b c M   ,求: 2 2 2( 1) ( 2) ( 3)a b c     的最小值.

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