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江西省吉安市“省重点中学五校协作体”
2021 届高三第一次联考数学理科试卷
命题人:吉安县立中学: 吉水中学: 永丰中学:
时间:120 分钟 总分:150 分
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的。
1. 已知集合 5,2,1,3A ,
05
2| x
xxB ,则 BA ( )
A. B. 2,1,3 C. 5,2,1 D. 2,1
2. 已知i 为虚数单位,复数 1 2
1
iz i
,则复数 z 在复平面上的对应点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 等差数列 na 中, 201063 aaa ,则 911 2aa 的值为( )
A. 20- B. 10- C. 10 D. 2
4. 7)2( xx 的展开式中 x 的系数为( )
A. 280- B. 280 C. 210- D. 210
5. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖,清代称攒尖.依其
平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等,也有单檐和重檐之分,多
见于亭阁式建筑.如图所示,某园林建筑为六角攒尖,它的主要部分的轮廓可近
似看作一个正六棱锥,若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ,且
1cos 4
,则侧棱与底面外接圆半径的比为( )
A. 2 B.
15
152 C. 1 D. 4
1
6. 已知抛物线 2 6y x 的焦点为 F ,过点 F 的直线交抛物线于 BA, 两点,且| | | | 12FA FB ,
则 || AB ( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7.已知直线 2y 和函数 2sin 0f x x 的图象相交,E ,F 为两个相邻的交点,若
π
4EF ,则 ( )
A. 2 B. 2 或 6 C. 3 或 5 D. 3
8. 执行如图所示的程序框图,设所有输出数据构成的集合为 A ,若从集合 A 中任取一个元素 a ,则满
足函数 2( ) 2 2021f x x ax 在区间[2, ) 内单调递增的概率为( )
否
是
结束
开始 3?x | 2 1|y x y输出 1x x 5x
A.
3
1 B.
3
2 C.
2
1 D.
4
3
9. 已知 A、B、C、D 四点都在表面积为 100π的球 O 的表面上,若 BC=4 3 ,∠BAC=120°,则球 O
内接三棱锥 A-BCD 的体积的最大值为( )
A.
3
312 B.
3
32 C.
3
332 D.
3
64
10. 已知圆 C: 1622 yx ,过点 P(8,0)的动直线l 与圆 C 相交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,
则 M 的轨迹的长度为( )
A. 8 B. 3
8 C. 3
4 D.
3
34
11. 下列大小关系正确的是( )
A. 23.2 3.22 B. 25.3 5.32 C. 1 ln 2
ln 2 2 D. 5log3log 85
12. 已知定义在 R 上的函数 ( 2) 3y f x 是奇函数,当 (2, )x 时, 1( ) 42f x x x
,则不等式
0)1ln(3)( xxf 的解集为( )
A. (2, ) B. ),()0,1( e C. (0,2) ( , )e D. ( 1,0) (2, )
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.若
0
2 0
3 0
x
x y
x y
,则 yxz 3 的最大值是____________.
14. 向量 a ,b 满足 1|| a , 2|| b , a 与b 的夹角为 120 ,则 |2| ba __________.
15. 已知双曲线 )0,0(,1: 2
2
2
2
bab
y
a
xC ,点 ),( 00 yxP 是直线 02 aaybx 上任意一点,若圆
2)()( 2
0
2
0 yyxx 与双曲线 C 的右支没有公共点,则双曲线的离心率取值范围为__________.
2
16.定义:若数列{ }nt 满足 1
( )
( )
n
n n
n
f tt t f t ,则称该数列为函数 )(xf 的“切线—零点数列”.已知函数
qpxxxf 2)( 有两个零点 1- , 2 ,数列 nx 为函数 )(xf 的“切线—零点数列”,设数列 na 满
足 1 3a , 2ln 1
n
n
n
xa x
,数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,则 2020S =_______.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题
考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17. (本小题满分 12 分)
已知函数
2
1cos)6cos(sin)( 2 xxxxf .
(1)当 x [ ,0] 时,求出函数 )(xf 的最大值,并写出对应的 x 的值;
(2) ABC 的内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ,若
2
1)( Af , 4 cb ,求 a 的最小值.
18.(本小题满分 12 分)
已知,如图四棱锥 ABCDP 中, 2 ADABPA , ABCD 为
平行四边形,
3
ABC , ABCDPA 平面 , ME, 分别是
PDBC, 中点,点 F 在棱 PC 上.
(1)证明:平面 AEF 平面 PAD;
(2)若二面角 EAFP 的余弦值为
5
15- ,求直线 AM 与
平面 AEF 所成角的正弦值.
19.(本小题满分 12 分)
面对环境污染,党和政府高度重视,各级环保部门制定了严格措施治理污染,同时宣传部门加大保
护环境的宣传力度,因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识,为此吉安市在吉州区建立了公共自
行车服务系统,市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡,初次办卡时卡内预
先赠送 20 分,当诚信积分为 0 时,借车卡自动锁定,限制借车,用户应持卡到公共自行车服务中
心以 1 元购 1 个积分的形式再次激活该卡,为了鼓励市民租用公共自行车出行,同时督促市民尽快
还车,方便更多的市民使用,公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费,具体扣分标准如下:
①租用时间不超过 1 小时,免费;
②租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时,扣 1 分;
③租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时,扣 2 分;
④租用时间为 3 小时以上且不超过 4 小时,扣 3 分;
⑤租车时间超过 4 小时除扣 3 分外,超出时间按每小时扣 2 分收费(不足 1 小时的部分按 1 小时
计算)
甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,且两人租车时间都不会超过 4 小时,设甲、乙租用
时间不超过一小时的概率分别是 0.4,0.3;租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时的概率分别是 0.4,
0.5;租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时的概率分别是 0.1,0.1.
(1)求甲比乙所扣积分多的概率;
(2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量 ,求 的分布列和数学期望.
20. (本小题满分 12 分)
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
经过点
2
1,3P ,且离心率
2
3e .
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)已知斜率存在的直线l 与椭圆相交于 BA, 两点,点
03
34 ,Q 总满足 BQOAQO ,
证明:直线l 过定点.
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 )(,ln1)( Raxaxxxf .
(1)讨论函数 )(xf 的单调性;
(2)已知函数 axxxfxxg ln2)()( 2 ,(其中 )(xf 是 )(xf 的导函数),若函数 )(xg 有两个极
值点 21, xx ,且 exx 21 ,求 )()( 21 xgxg 的取值范围.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22. [选修 4 ― 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
在直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为
4 2
x t
y t
(t 为参数).以坐标原点为极点,以 x 轴的
正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为 2
2
2
1 cos
.
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;
(2)设点 P 在直线l 上,点Q 在曲线C 上,求 PQ 的最小值.
23.[选修 4—5:不等式选讲] (本小题满分 10 分)
已知函数 ( ) 2 1 4 5f x x x 的最小值为 M .
(1)求 M ;
3
(2)若正实数 a ,b , c 满足 2a b c M ,求: 2 2 2( 1) ( 2) ( 3)a b c 的最小值.