高三数学试题(文科)答案 第 1 页(共 3 页)
合肥市 2021 年高三第一次教学质量检测
数学(文)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.2 14.
15. 22
16. 21
3
三、解答题:
17.(本小题满分 12 分)
解:(1)由已知 3
57
5
231
a
aa
,解得 1 1
2
a
d
,∴ 21nan .…………………………5 分
(2) 12
1222 2naaa
nnSa a a
12
12 22 2naaa
naa a
21 412 1
214
nnn
21
2 22.3
n
n
…………………………12 分
18.(本小题满分 12 分)
解:(1)由样本统计数据可知,样本中男生 180 人,其中“握笔姿势正确”
的有 24 人;女生 120 人,其中“握笔姿势正确”的有 30 人,从而估计该地区
初中毕业生中男生、女生“握笔姿势正确”的概率分别为 2
15
和1
4
.
…………………………4 分
(2)由列联表计算得
2
2 300 156 30 24 90 6.640 6.63554 246 180 120K
,
所以,有 99%的把握认为该地区初中毕业生“握笔姿势是否正确”与性别有关.……………………8 分
(3)由(2)结论知,该地区初中毕业生“握笔姿势是否正确”与性别有关。此外,从样本数据能够看出,该地区初
中毕业生中,男生与女生中握笔姿势正确的比例有明显差异,因此,在调查时,男生和女生应该分成两层,采用分层
抽样的方法更好. …………………………12 分
19.(本小题满分 12 分)
解:(1)∵点 F G, 分别为 ABAC, 的中点,∴ FG ∥BC .
∵FG 平面 PBC ,BC 平面 PBC ,∴ FG ∥平面 PBC .
延长 FG 交CD 于点 H ,连接 EH .
∵GH ∥BC , AD ∥BC ,∴ GH ∥ AD .
∵G 是 AC 的中点,∴ H 是CD 的中点.
∵E 是PD 的中点,∴ EH ∥PC .
∵EH 平面 PBC ,PC 平面 PBC ,∴ EH ∥平面 PBC .
又∵ EH FG , 平面 EFG ,且 EH FG H ,
∴平面 EFG ∥平面 PBC . …………………………6 分
(2)设点 F 与平面 AEG 的距离为 d ,取 AD 的中点O ,连接 OE OG, ,
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C A C B B A D C C D C
男 女 总计
握笔姿势正确 24 30 54
握笔姿势不正确 156 90 246
总计 180 120 300
1
高三数学试题(文科)答案 第 2 页(共 3 页)
则EO ∥PA ,GO ∥CD ,且 1
2EO PA , 1
2GO CD .
∵PA 平面 ABCD ,∴ EO 平面 ABCD .
由 F AEG E AFGVV三棱锥 三棱锥 得11
33AEG AFGSdSEO ,即 AEG AFGSdSEO .
在 AEG 中, 2AE AG GE,从而 3
2AEGS .
又∵ 1EO , 1 14AFG ABCSS,∴ 23
3d .
∴点 F 与平面 AEG 的距离为 23
3
. ……………………………12 分
20.(本小题满分 12 分)
解:(1)由条件,设直线l 的方程为 1x ty,代入 2 2yx 得 2 220yty ,
则 22 2 2148212AB t t t t .
由 22AB ,解得 0t ,∴交点 A,B 的坐标为 12, , 12,- .
易知 AOB 外接圆的圆心在 x 轴上,设圆心为( a ,0).
由 222 12aa 解得 3
2a ,
∴ AOB 外接圆的方程为
2
239
24xy
. ……………………………6 分
(2)设 A ( 11x y, ), B ( 22x y, ),则 A ( 11x y, ).
由(1)知, 122yy t, 12 2yy .
设直线 A B 的方程为 x my n,代入 2 2yx 得, 2 220ymyn ,
则12 2y yn,∴ 22n ,即 1n ,
∴直线 A B 经过定点(-1,0). ……………………………12 分
21.(本小题满分 12 分)
解:(1) 2ln x abfx x x x
,由条件 11 1f aba ,解得 0b .
此时,切点为(1,0),直线 1y axa 不经过切点,符合题意,所以 0b .………………4 分
(2)由(1)知, ln 1afx xx
.
设 ln +1agx x x ,则 22
1 axagx x x x
( 0x ).
①当 0a 时, ln 1g xx,易知函数有唯一零点 1e ,且 10x e , , 0gx ; 1xe, , 0gx .
此时, f x 仅有一个极小值点,无极大值点;
②当 0a 时, 0gx 恒成立, g x 在区间上单调递增.
又∵ 1 0ge ae , ln( ) 0ege a e a ea
,
∴ g x 在0 , 上存在唯一零点,从而 f x 仅有一个极小值点,无极大值点;
③当 0a 时, 0ga ,且当 0x a , 时, 0gx ;当 xa , 时, 0gx .
∴ g x 在0 a, 上单调递减,在 a , 上单调递增,且最小值为 ln 2ga a .
(i)若 0ga ,即 2ae ,此时 0gx 恒成立, f x 无极值点;
(ii)若 0ga ,即 20 ae .
∵ 1a ,且 0ga , 110ga,且 g x 在 a , 上单调递增,
根据零点存在性定理得, g x 在a , 恰有一个零点,从而 f x 在 a , 恰有一个极小值点.
2
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考虑 2 12ln 1ga a a.令 212ln 1 0hx x x ex
,,,则 2
210xhx x
.
∴ hx在20 e, 上单调递减,∴ 2230hx he e,即 2 12ln 1 0ga a a .
∵ 20 aa,∴ 2 0ga , 0ga ,且 g x 在 0 a, 上单调递减,
根据零点存在性定理得, g x 在0 a, 恰有一个零点,从而 f x 在 0 a, 恰有一个极大值点.
∴当 20 ae 时, f x 有且仅有两个极值点.
综上,当 2ae 时, f x 极值点个数为 0;
当 0a 时, f x 极值点个数为 1;
当 20 ae 时, f x 极值点个数为 2.…………………………12 分
22.(本小题满分 10 分)
解:(1)化简曲线 C 参数方程得
cos 2
1 sin 22
x
y
,
( 为参数,且
2 kkZ , ),
消去参数 得曲线 C 的普通方程得 2241 1xy x,
化成极坐标方程为 22cos 4 sin 1 2kkZ , ,
∴ 2
2
1
13sin
( 2kkZ , ). ………………………………5 分
(2)不妨设M ( 1 , ), N ( 2 3
, ),则 1OM , 2ON ,
∴ 22
22
11 339 331 3sin 1 3sin sin 2 cos 2 = sin 234 4 2 3OM ON
.
当且仅当 7
12 kkZ 时, 22
11
OM ON
取最大值 33
2
.……………………………10 分
23.(本小题满分 10 分)
解:(1)由 11f 得 21211aa
∴
1
12 2 1 1
a
aa
,
,或
11 2
12 2 1 1
a
aa
,
,
或
1 2
21211.
a
aa
,
解得 1a 或 11 2a ,
∴a 的取值范围为 1
2
, . …………………………………5 分
(2)设 2x t ( 0t ).
由已知得,对任意 0t ,使得 0ft 成立.
∵ 0ft 2222 2 4ta ta ta ta 23120tat .
当 0t , Ra ;当 0t , 40ta恒成立,即 0a .
∴ 0a ,即 a 的最小值为 0. ………………………………10 分
3