安徽省蚌埠市2021届高三年级第二次教学质量检查考试数学(文史类)（PDF版）

书书书 蚌埠市 ２０２１届高三年级第二次教学质量检查考试 数  学（文史类） 本试卷满分 １５０分，考试时间 １２０分钟 注意事项： １答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 ２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 一、选择题：本题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 １复数 ｚ满足 ｚ·（１＋ｉ）＝２ｉ，则 ｜ｚ－２ｉ｜＝ 槡Ａ ２ Ｂ槡１０ ２ 槡Ｃ １０ Ｄ２＋槡２ ２已知集合 Ａ＝｛ｘ｜０＜ｘ＜４｝，Ｂ ＝｛ｘ｜ｘ２ －２ｘ－８＞０｝，则 Ａ∩ （瓓ＲＢ）＝ Ａ（０，２］ Ｂ（０，２） Ｃ（０，４］ Ｄ（０，４） ３已知 Ｓｎ是等差数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和，且 ａ２ ＋ａ８ ＝４，则Ｓ９ ９ ＝ Ａ１ Ｂ２ Ｃ６ Ｄ１８ 第 ４题图 ４《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳术 数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是 戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数， 四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取 １ 个数组成一个两位数，则其能被 ３整除的概率是 Ａ１ ４ Ｂ３ １０ Ｃ７ ２０ Ｄ２ ５ ５已知 α是三角形的一个内角，ｔａｎα＝ ３ ４，则 ｃｏｓ（α＋３π ４）＝ Ａ－ 槡７２ １０ Ｂ－槡２ １０ Ｃ槡２ １０ Ｄ 槡７２ １０ ６函数 ｙ＝ｌｎ １ ｃｏｓｘ（－π ２ ＜ｘ＜ π ２）的图象是     Ａ．        Ｂ．         Ｃ．        Ｄ． ）页４共（页１第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 1 ７已知双曲线 Ｃ：ｘ２ ａ２ －ｙ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）离心率为槡５ ２，则双曲线 Ｃ的渐近线方程为 Ａｙ＝±１ ４ｘ Ｂｙ＝±１ ３ｘ Ｃｙ＝±１ ２ｘ Ｄｙ＝±ｘ ８某校随机调查了 １１０名不同的高中生是否喜欢篮球，得到如下的列联表： 男 女 喜欢篮球 ４０ ２０ 不喜欢篮球 ２０ ３０      附：ｋ２ ＝ ｎ（ａｄ－ｂｃ）２ （ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ） Ｐ（ｋ２≥ ｋ０） ０．０５０ ０．０１０ ０．００１ ｋ０ ３．８４１ ６．６３５ １０．８２８      参照附表，得到的正确结论是 Ａ在犯错误的概率不超过 ０．１％ 的前提下，认为“喜欢篮球与性别有关” Ｂ在犯错误的概率不超过 ０．１％ 的前提下，认为“喜欢篮球与性别无关” Ｃ有 ９９％ 以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关” Ｄ有 ９９％ 以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关” ９已知曲线 ｆ（ｘ）＝（ｘ＋ａ）ｅｘ在点（－１，ｆ（－１））处的切线与直线 ２ｘ＋ｙ－１＝０垂直，则实 数 ａ的值为 Ａ２ａ ｅ Ｂｅ ２ ＋１ Ｃ－ ｅ ２ Ｄｅ ２    第 １０题图 １０函数 ｆ（ｘ）＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０，｜φ｜＜π ２）的部 分图象如图所示，则将 ｆ（ｘ）的图象向右平移 π ３个单位后， 所得图象对应函数的解析式可以为 Ａｙ＝ｃｏｓ２ｘ    Ｂｙ＝－ｃｏｓ２ｘ Ｃｙ＝ｓｉｎ（２ｘ＋５π ６）   Ｄｙ＝ｓｉｎ（２ｘ－π ６）     第 １１题图 １１已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球 的体积为 Ａ槡３π ２    Ｂ 槡８２π ３ Ｃ 槡８３π ３    Ｄ８π １２已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ２ｘ，ｘ＞０， －ｘ，ｘ≤ ０{ ， 函数 ｇ（ｘ）满足以下三点条 件：① 定义域为Ｒ；② 对任意 ｘ∈ Ｒ，有 ｇ（ｘ＋π）＝２ｇ（ｘ）； ③ 当 ｘ∈ ［０，π］时，ｇ（ｘ）＝ｓｉｎｘ． 则函数 ｙ＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）在区间［－４π，４π］上零点的个数为 Ａ６ Ｂ７ Ｃ８ Ｄ９ ）页４共（页２第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 2 二、填空题：本题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分． １３已知实数 ｘ，ｙ满足 ｘ＋２ｙ≥ ２ ｘ－ｙ＋２≥ ０ ４ｘ－ｙ≤ { ４ ，目标函数 ｚ＝５ｘ－ｙ的最大值为 ． １４已知单位向量ｅ１，ｅ２满足：ｅ１⊥ （ｅ１＋２ｅ２），则向量ｅ１与向量ｅ２的夹角 θ＝  １５已知点 Ａ是抛物线 ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）上一点，Ｆ为其焦点，以 Ｆ为圆心、｜ＦＡ｜为半径的圆 交准线于 Ｂ，Ｃ两点，若 △ＦＢＣ为等腰直角三角形，且 △ＡＢＣ的面积是 槡４２，则抛物线的方 程是 ． １６在 △ＡＢＣ中，角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为 ａ，ｂ，ｃ，若 ａｃｏｓＣ＋槡３ａｓｉｎＣ－ｂ－ｃ＝０，则 △ＡＢＣ外 接圆周长与 △ＡＢＣ周长之比的最小值为  三、解答题：共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第１７～２１题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第 ２２、２３题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 ６０分． １７（１２分） 已知数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝１，ａ２ ＝３，其前 ｎ项和 Ｓｎ满足 Ｓｎ＋１ ＋Ｓｎ－１ ＝２Ｓｎ ＋２（ｎ≥ ２）． （１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）若 ｂｎ ＝ １ ａｎａｎ＋１ ，求数列｛ｂｎ｝的前 ｎ项和 Ｔｎ． １８．（１２分） 为了满足广大人民群众日益增长的体育需求，２０２０年８月８日（全民健身日）某社区开展了 体育健身知识竞赛，满分１００分．若该社区有１０００人参加了这次知识竞赛，为调查居民对体 育健身知识的了解情况，该社区以这 １０００名参赛者的成绩（单位：分）作为样本进行估计， 将成绩整理后分成五组，依次记［５０，６０），［６０，７０），［７０，８０），［８０，９０），［９０，１００］，并绘制 成如图所示的频率分布直方图． （１）请补全频率分布直方图并估计这 １０００名参赛者成绩的平均数（同一组数据用该组区 间的中点值作代表）； （２）采用分层抽样的方法从这 １０００人的成绩中抽取容量为 ４０的样本，再从该样本成绩不 低于 ８０分的参赛者中随机抽取 ２名进行问卷调查，求至少有一名参赛者成绩不低于 ９０分的概率． 第 １８题图 ）页４共（页３第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 3   １９（１２分） 如图，已知四边形 ＡＢＣＤ和 ＢＣＥＧ均为直角梯形，ＡＤ∥ ＢＣ，ＣＥ∥ ＢＧ，且 ∠ＢＣＤ ＝∠ＢＣＥ 第 １９题图 ＝ π ２，∠ＥＣＤ ＝１２０°，ＢＣ ＝ＣＤ ＝ＣＥ ＝２ＡＤ ＝２ＢＧ ＝２． （１）求证：ＡＧ∥ 平面 ＢＤＥ； （２）求点 Ｇ到平面 ＢＤＥ的距离． ２０．（１２分） 设定圆 Ｍ：（ｘ＋２）２ ＋ｙ２ ＝２４，动圆 Ｎ过点 Ｆ（２，０）且与圆 Ｍ相切，记动圆 Ｎ圆心 Ｎ的轨迹 为曲线 Ｃ． （１）求曲线 Ｃ的方程； （２）直线 ｌ与曲线 Ｃ有两个交点 Ｐ，Ｑ，若ＯＰ→·ＯＱ→ ＝０，证明：原点 Ｏ到直线 ｌ的距离为定值． ２１．（１２分） 已知函数 ｆ（ｘ）＝ｘ－ａ ｘ－ｌｎｘ（ａ∈ Ｒ）有两个极值点 ｘ１，ｘ２，且 ｘ１ ＜ｘ２． （１）求实数 ａ的取值范围，并讨论 ｆ（ｘ）的单调性； （２）证明：ｆ（ｘ２）＞ｌｎ２． （二）选考题：共 １０分。请考生在第 ２２、２３题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 ２２［选修 ４—４：坐标系与参数方程］（１０分） 在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，以坐标原点 Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 Ｃ 的极坐标方程为 ρ＝２ｃｏｓθ＋４ｓｉｎθ，θ∈ ［０，２π）． （１）求曲线 Ｃ的直角坐标方程； （２）由直线 ｌ： ｘ＝ 槡２５ ５ ｔ＋６， ｙ＝槡５ ５ｔ{ ， （ｔ为参数，ｔ∈ Ｒ）上的点向曲线引切线，求切线长的最小值． ２３［选修 ４—５：不等式选讲］（１０分） 设函数 ｆ（ｘ）＝｜２ｘ－１｜－｜ａ－１｜， （１）若 ａ＝１时，解不等式：ｆ（ｘ）＞２｜ｘ＋１｜； （２）若关于 ｘ的不等式 ｆ（ｘ）＞２｜ｘ＋１｜存在实数解，求实数 ａ的取值范围． ）页４共（页４第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 4 蚌埠市 ２０２１届高三年级第二次教学质量检查考试 数学（文史类）参考答案及评分标准 一、选择题： 题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答 案 Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ Ａ 二、填空题： 二、填空题： １３．６   １４．２π ３   １５．ｙ２ ＝４ｘ   １６．槡２３ ９ π 三、解答题： １７．（１２分） 解：（１）由题意知，Ｓｎ＋１ －Ｓｎ ＝Ｓｎ －Ｓｎ－１ ＋２（ｎ≥ ２）， 从而 ａｎ＋１ ＝ａｎ ＋２（ｎ≥ ２），即 ａｎ＋１ －ａｎ ＝２（ｎ≥ ２）， ２分……………………… ∵ａ２ －ａ１ ＝３－１＝２， ∴ 数列｛ａｎ｝是以 １为首项，公差为 ２的等差数列， ４分…………………………… ∴ａｎ ＝２ｎ－１（ｎ∈ Ｎ ）； ６分……………………………………………………… （２）ｂｎ ＝ １ ａｎ·ａｎ＋１ ＝ １ （２ｎ－１）（２ｎ＋１）＝ １ ２ １ ２ｎ－１－ １ ２ｎ＋( )１ ８分………………… ∴Ｔｎ ＝ １ ２ １－１ ３ ＋１ ３ －１ ５ ＋… ＋ １ ２ｎ－１－ １ ２ｎ＋( )１ １０分……………………… ＝ １ ２ １－ １ ２ｎ＋( )１ ＝ ｎ ２ｎ＋１ ２分………………………………………………………………………… １８．（１２分） 解：（１）成绩落在［６０，７０）的频率： １－（０．３０＋０．１５＋０．１０＋０．０５）＝０．４０， ２分…………………………………… 补全的频率分布直方图如图： ４分…………………………… ）页４共（页１第案答考参）类史文（学数级年三高市埠蚌 5 样本的平均数： ｘ— ＝５５×０．３０＋６５×０．４０＋７５×０．１５＋８５×０．１０＋９５×０．０５＝６７（分） ６分 … ………………………………………………………………………………… （２）由分层抽样知，成绩在［８０，９０）内的参赛者中抽取 ４人，记为 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，成绩在 ［９０，１００］内的参赛者中抽取 ２人，记为 ａ，ｂ，则满足条件的所有基本事件为： （Ａ，Ｂ），（Ａ，Ｃ），（Ａ，Ｄ），（Ａ，ａ），（Ａ，ｂ），（Ｂ，Ｃ），（Ｂ，Ｄ），（Ｂ，ａ），（Ｂ，ｂ），（Ｃ，Ｄ）， （Ｃ，ａ），（Ｃ，ｂ），（Ｄ，ａ），（Ｄ，ｂ），（ａ，ｂ），共 １５个， ８分……………………………… 记“至少有一名参赛者成绩不低于 ９０分”为事件 Ａ，则事件 Ａ包含的基本事件有： （Ａ，ａ），（Ａ，ｂ），（Ｂ，ａ），（Ｂ，ｂ），（Ｃ，ａ），（Ｃ，ｂ），（Ｄ，ａ），（Ｄ，ｂ），（ａ，ｂ）共 ９个． １０分……………………………………………………………………………… 故所求概率为 Ｐ（Ａ）＝ ９ １５＝ ３ ５． １２分……………………………………………… １９．（１２分） 解：（１）证明：在平面 ＢＣＥＧ中，过 Ｇ作 ＧＮ⊥ ＣＥ于 Ｎ，交 ＢＥ于 Ｍ，连接 ＤＭ， 由题意知 ＭＧ ＝ＭＮ，ＭＮ∥ ＢＣ∥ ＤＡ且 ＭＮ ＝ＡＤ ＝ １ ２ＢＣ， ∴ＭＧ∥ ＡＤ，ＭＧ ＝ＡＤ， ３分………………………………………………………… ∴ 四边形 ＡＤＭＧ为平行四边形， ∴ＡＧ∥ ＤＭ， 又 ＤＭ 平面 ＢＤＥ，ＡＧ 平面 ＢＤＥ， ∴ＡＧ∥ 平面 ＢＤＥ． ６分……………………………………………………………… （２）由题意知 ＢＣ⊥ 平面 ＥＣＤ，∵ＢＣ 平面 ＢＣＥ ∴ 平面 ＢＣＥ⊥ 平面 ＥＣＤ， 在平面 ＥＣＤ内过 Ｄ点作 ＤＦ⊥ ＣＥ交 ＣＥ于 Ｆ， 则 ＤＦ⊥ 平面 ＢＣＥ， ∵∠ＥＣＤ ＝１２０°， ∴∠ＤＣＦ ＝６０°，ＤＦ ＝ＤＣｓｉｎ６０°＝槡３， ８分……………………………………… 设点 Ｇ到平面 ＢＤＥ的距离为 ｄ， 则由 ＶＧ－ＢＤＥ ＝ＶＤ－ＢＥＧ 得 １ ３Ｓ△ＢＤＥ·ｄ＝ １ ３Ｓ△ＢＥＧ·ＤＦ， 由题意知 ＢＥ ＝ＢＤ ＝ 槡２２，ＤＥ ＝槡３ＣＥ ＝ 槡２３， ∴Ｓ△ＢＤＥ ＝ １ ２ＤＥ· ＢＥ２ －（１ ２ＤＥ）槡 ２ ＝ １ ２· 槡２３·槡５ ＝ 槡１５， １０分…………… Ｓ△ＢＥＧ ＝ １ ２ＢＧ·ＢＣ ＝１代入 １ ３Ｓ△ＢＤＥ·ｄ＝ １ ３Ｓ△ＢＥＧ·ＤＦ 解得 ｄ＝槡５ ５即点 Ｇ到平面 ＢＤＥ的距离为槡５ ５． １２分……………………………… ２０．（１２分） 解：（１）∵ 点 Ｆ（２，０）在圆 Ｍ：（ｘ＋２）２ ＋ｙ２ ＝２４内 ∴ 圆 Ｎ内切于圆 Ｍ ∴ ｜ＮＭ｜＋｜ＮＦ｜＝ 槡２６ ＞｜ＦＭ｜ ）页４共（页２第案答考参）类史文（学数级年三高市埠蚌 6 所以 Ｎ点轨迹是以 Ｍ，Ｆ为焦点的椭圆，且 ａ＝槡６，ｃ＝２，从而 ｂ＝槡２ ∴ 点 Ｎ的轨迹 Ｃ的方程为ｘ２ ６ ＋ｙ２ ２ ＝１； ５分……………………………………… （２）设 Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２） 若直线 ｌ斜率存在，设 ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｍ， 联立 ｙ＝ｋｘ＋ｍ， ｘ２ ６ ＋ｙ２ ２ ＝１{ ， 整理得：（１＋３ｋ２）ｘ２ ＋６ｋｍｘ＋３ｍ２ －６＝０， ｘ１ ＋ｘ２ ＝ －６ｋｍ １＋３ｋ２，ｘ１ｘ２ ＝３ｍ２ －６ １＋３ｋ２， ① ６分……………………………………… ∵ ＯＰ→ ·ＯＱ→ ＝０， ∴ｘ１ｘ２ ＋ｙ１ｙ２ ＝０，① 化简得（１＋ｋ２）ｘ１ｘ２ ＋ｋｍ（ｘ１ ＋ｘ２）＋ｍ２ ＝０  ８分……………………………… 即 ２ｍ２ －３ｋ２ －３＝０， 故原点 Ｏ到直线 ｌ的距离为 ｄ＝ ｜ｍ｜ １＋ｋ槡 ２ ＝ ｜ｍ｜ 槡２ 槡３ ｜ｍ｜ ＝槡６ ２， １０分……………… 若直线 ｌ斜率不存在，设 ｌ：ｘ＝ｎ， 联立 ｘ＝ｎ， ｘ２ ６ ＋ｙ２ ２ ＝１{ ， 解得 Ｐ ｎ， ６－ｎ２ 槡( )３ ，Ｑ ｎ，－ ６－ｎ２ 槡( )３ ，代入 ① 化简得 ｜ｎ｜＝槡６ ２， 即原点 Ｏ到直线的距离为 ｄ＝槡６ ２， １１分…………………………………………… 综上所述，原点 Ｏ到直线 ｌ的距离为定值槡６ ２． １２分………………………………… ２１．（１２分） 解：（１）∵ｆ′（ｘ）＝ｘ２ －ｘ＋ａ ｘ２ ，ｘ＞０ 令 ｇ（ｘ）＝ｘ２ －ｘ＋ａ，其对称轴为 ｘ＝ １ ２， 由题意知 ｘ１，ｘ２是方程 ｇ（ｘ）＝０的两个不相等的实根， 则 △ ＝１－４ａ＞０ ｇ（０）＝ａ＞{ ０ ２分……………………………………………………………… ∴０＜ａ＜ １ ４， ４分…………………………………………………………………… 当 ｘ∈ （０，ｘ１）时，ｆ′（ｘ）＞０，∴ｆ（ｘ）在（０，ｘ１）内为增函数； 当 ｘ∈ （ｘ１，ｘ２）时，ｆ′（ｘ）＜０，∴ｆ（ｘ）在（ｘ１，ｘ２）内为减函数； 当 ｘ∈ （ｘ２，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０，∴ｆ（ｘ）在（ｘ２，＋∞）内为增函数； ６分……… ）页４共（页３第案答考参）类史文（学数级年三高市埠蚌 7 （２）证明：由（１）知 ｘ２∈ （１ ２，１），ａ＝－ｘ２ ２ ＋ｘ２， ｆ（ｘ２）＝ｘ２ －－ｘ２ ２ ＋ｘ２ ｘ２ －ｌｎｘ２ ＝２ｘ２ －１－ｌｎｘ２， ８分……………………………… 令 ｈ（ｘ）＝２ｘ－１－ｌｎｘ（１ ２ ＜ｘ＜１）， 则 ｈ′（ｘ）＝２－１ ｘ ＝２ｘ－１ ｘ ＞０； ∴ｈ（ｘ）在（１ ２，１）上单调递增， １０分………………………………………………… 故 ｈ（ｘ）＞ｈ（１ ２）＝－ｌｎ１ ２ ＝ｌｎ２ 从而 ｆ（ｘ２）＞ｌｎ２ １２分……………………………………………………………… ２２．（１０分） 解：（１）由 ρ＝２ｃｏｓθ＋４ｓｉｎθ，θ∈ ［０，２π）， 可得 ρ２ ＝２ρｃｏｓθ＋４ρｓｉｎθ，θ∈ ［０，２π） ２分……………………………………… ∵ρ２ ＝ｘ２ ＋ｙ２，ρｃｏｓθ＝ｘ，ρｓｉｎθ＝ｙ ∴ 曲线 Ｃ的直角坐标方程为（ｘ－１）２ ＋（ｙ－２）２ ＝５． ５分……………………… （２）∵ 直线 ｌ的参数方程为： ｘ＝ 槡２５ ５ ｔ＋６ ｙ＝槡５ ５ { ｔ （ｔ为参数，ｔ∈ Ｒ）， ∴ 直线 ｌ上的点 Ｐ 槡２５ ５ ｔ＋６，槡５ ５( )ｔ向圆 Ｃ引切线长是 ｜ＰＣ｜２ －槡 ５ ＝ 槡２５ ５ ｔ＋６－( )１ ２ ＋ 槡５ ５ｔ－( )２ ２ －槡 ５ ７分……………………… ＝ ｔ＋ 槡８５( )５ ２ ＋５６ 槡 ５ ≥ 槡２ ７０ ５ ， ∴ 当 ｔ＝－８ ５槡５时，切线长最小值为 槡２ ７０ ５  １０分……………………………… ２３．（１０分） 解：（１）ａ＝１时，所解不等即为：｜２ｘ－１｜＞２｜ｘ＋１｜， ２分…………………………… 两边平方解得 ｘ＜－１ ４， ∴ 原不等式解集为 ｘ｜ｘ＜－{ }１ ４  ５分…………………………………………… （２）｜２ｘ－１｜－｜ａ－１｜＞２｜ｘ＋１｜存在实数解， 即 ｜ａ－１｜＜｜２ｘ－１｜－２｜ｘ＋１｜存在实数解， 令 ｇ（ｘ）＝｜２ｘ－１｜－２｜ｘ＋１｜，即 ｜ａ－１｜＜ｇ（ｘ）ｍａｘ， ７分…………………… ｇ（ｘ）＝｜２ｘ－１｜－２｜ｘ＋１｜≤｜２ｘ－１－（２ｘ＋２）｜＝３， 当 ｘ≤－１时等号成立，∴ ｜ａ－１｜＜３，解得 ａ∈ （－２，４） １０分……………… （以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分） ）页４共（页４第案答考参）类史文（学数级年三高市埠蚌 8