安徽省池州市2021届高三上学期期末考试文科数学参考答案

书书书 ２０２０—２０２１学年第一学期期末考试卷·高三文科数学参考答案 第 １    页（共 ６页） ２０２０—２０２１学年第一学期期末考试卷 高三文科数学参考答案 １．【答案】 Ｃ 【解析】 因为 Ａ＝｛－２，－１，０，１，２｝，Ｂ＝｛－３，－２，－１，３｝，所以 Ａ∩Ｂ＝｛－２，－１｝，故选 Ｃ． ２．【答案】 Ｃ 【解析】 ｚ＝５ｉ＋１ １－ｉ＝（５ｉ＋１）（１＋ｉ） （１－ｉ）（１＋ｉ）＝－４＋６ｉ ２ ＝－２＋３ｉ，所以复数 ｚ＝５ｉ＋１ １－ｉ的实部为 －２． ３．【答案】 Ｄ 【解析】 由题意可知该折线统计图是工业增加值同比增长率，２０２０年 ３月份到 １０月份，工业增 加值同比都在增加，故 Ａ错误；２０２０年 ３月份到 １０月份，工业增加值同比增加速度最大的是 ４ 月，增速为 ９．１％，故 Ｂ错误；２０２０年 １０月工业增加值同比增长 ８．５％，故 Ｃ错误，Ｄ正确． ４．【答案】 Ａ 【解析】 若 ａ与 ｂ共线，则 ３ｘ＝－１２，解得 ｘ＝－４，∴ａ＝（－２，－４），∴ａ·ｂ＝－２×３＋（－４） ×６＝－３０． ５．【答案】 Ｄ 【解析】 Ｑ到抛物线 Ｅ的准线距离为 ｄ，则 ｄ＝４．过点 Ｍ，Ｎ分别作准线的垂线，垂足分别为 Ｍ１， Ｎ１，则｜ＭＮ｜＝｜ＭＭ１｜＋｜ＮＮ１｜＝２ｄ＝８． ６．【答案】 Ｂ 【解析】 因为( )１ ３ ２ ＋ 槡２２( )３ ２ ＝１，所以点 １ ３，槡２２( )３ 在单位圆上，所以 ｃｏｓθ＝１ ３，又 θ为锐角，所 以 θ ２为锐角，结合二倍角公式可得 ｓｉｎθ ２＝ １－ｃｏｓθ 槡 ２ ＝ １－１ ３ 槡２ ＝槡３ ３，故选 Ｂ． ７．【答案】 Ａ 【解析】 依次执行如下：Ｓ＝１２－２×１＝１０，ｉ＝２； Ｓ＝１０－２×２＝６，ｉ＝３；Ｓ＝６－２×３＝０，ｉ＝４； Ｓ＝０－２×４＝－８，ｉ＝５，满足条件 Ｓ＜０，退出循环体，输出 ｉ＝５． ８．【答案】 Ｃ 【解析】 因为 ｂ＝０．２５－０．５＝４０．５＞ａ＝４０．４＞４０＝１，ｃ＝ｌｏｇ０．２５０．４＜ｌｏｇ０．２５０．２５＝１，所以 ｃ＜ａ＜ｂ． ９．【答案】 Ｄ 【解析】 因为 Ｓ＝( )ｆｔ＝１ ２× ｔ 槡２ ×２ ４－ｔ２ 槡 ２ ＝ ｔ ８－ｔ槡 ２ ２ ，又 ｔ 槡２ ＜２ ｔ≠{ ０ ，即 槡－２ ２＜ｔ＜０或 ０＜ｔ 槡＜２２，所以 ( )ｆｔ为偶函数，故选 Ｄ． １０．【答案】 Ａ 【解析】 由 ｜ＭＦ１｜ ｜ＭＦ２｜＝４得｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜＝３｜ＭＦ２｜＝２ａ，∵｜ＭＦ２｜＝２ａ ３≥ｃ－ａ，∴１＜ｅ≤ ５ ３． １１．【答案】 Ｃ 【解析】 由题意可得（ａ１＋ａ４＋ａ９＋ａ１２）·（ｂ２＋ｂ６＋ｂ７＋ｂ１１）＝２（ａ１＋ａ１２）·２（ｂ１＋ｂ１２） 1 ２０２０—２０２１学年第一学期期末考试卷·高三文科数学参考答案 第 ２    页（共 ６页） １ ９·１２（ａ１＋ａ１２） ２ ·１２（ｂ１＋ｂ１２） ２ ＝１ ９·Ｓ１２·Ｔ１２＝１ ９· １ １５６·１５６２＝５２ ３． １２．【答案】 Ｂ 【解析】 设底面△ＡＢＣ外接圆圆心为 Ｏ１，半径为 ｒ，则 ２ｒ＝ ＡＣ ｓｉｎ∠ＡＢＣ＝２，即 ｒ＝１． 设三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ高为 ｈ，球的半径为 Ｒ．由 ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ，得球心 Ｏ在 ＰＯ１ 上，且 ｈ－( )Ｒ ２ ＋ｒ２ ＝Ｒ２，则 Ｒ＝１ ２ ｈ＋１( )ｈ ≥ １ ２·２ ｈ· １ 槡 ｈ＝１，当且仅当 ｈ＝１时等号成立，此时外接球表面积最 小，则 Ｓｍｉｎ＝４π． １３．【答案】 ６ 【解析】 作直线 ｌ０：ｙ＝－５ｘ，平移直线 ｌ０，当其过点（１，１）时，ｚ＝５ｘ＋ｙ取得最大值， 最大值为 ５×１＋１＝６． １４．【答案】 ２ 【解析】 数列 ｂ{ }ｎ 是等比数列，则 ａ２ａ８ａ１１＝ａ７ ｑ５·ａ７ｑ·ａ７ｑ４＝ａ３ ７＝８，所以 ａ７＝２， 而 ａｎ＞０，ａ５＝１ ２，所以公比 ｑ＝２． １５．【答案】 ６５ １２ 【解析】 当 ｆ（ｘ）的定义域为 Ｒ时，图象的对称轴满足：πｘ＋π ６＝ｋπ＋π ２（ｋ∈Ｚ）， 即对称轴方程是 ｘ＝ｋ＋１ ３（ｋ∈Ｚ），因为函数 ｆ（ｘ）在闭区间 ２１ ４，[ ]ｍ 上是对称曲线， 2 ２０２０—２０２１学年第一学期期末考试卷·高三文科数学参考答案 第 ３    页（共 ６页） 所以 ｍ＞２１ ４ ２ ｋ＋( )１ ３ ＝２１ ４＋{ ｍ ，所以 ｋ＞５９ １２，因为 ｋ∈Ｚ，所以 ｋ取最小值 ５时，ｍ最小值为６５ １２． １６．【答案】  －１ 【解析】 ｆ（ｘ）＝（ｘ３＋ｘ＋２）３ ６４ ＋ｘ３＋ｘ＋２ ４ ＋２－４ｘ＝ ｘ３＋ｘ＋２( )４ ３ ＋ｘ３＋ｘ＋２ ４ ＋２－４ｘ，则问题等 价于求方程 ｘ３＋ｘ＋２( )４ ３ ＋ｘ３＋ｘ＋２ ４ ＋２＝４ｘ的所有实数根的和．设 ｔ＝ｘ３＋ｘ＋２ ４ ，则 ｘ３ ＋ｘ＋２＝ ４ｔ，ｔ３＋ｔ＋２＝４ｘ．令 ｇ（ｘ）＝ｘ３＋ｘ＋２，则 ｇ′（ｘ）＝３ｘ２＋１＞０，所以 ｇ（ｘ）＝ｘ３＋ｘ＋２为增函数． 因为 ｇ（ｘ）＝４ｔ，ｇ（ｔ）＝４ｘ，若 ｘ＜ｔ，则 ４ｔ＜４ｘ，即 ｔ＜ｘ，矛盾；若 ｘ＞ｔ，则 ４ｔ＞４ｘ，即 ｔ＞ｘ，矛盾．所 以必有 ｘ＝ｔ，即 ｘ＝ｘ３＋ｘ＋２ ４ ，所以 ｘ３＋ｘ＋２( )４ ３ ＋ｘ３＋ｘ＋２ ４ ＋２＝４ｘ等价于 ｘ＝ｘ３＋ｘ＋２ ４ ，即 ｘ３ － ３ｘ＋２＝０，亦即（ｘ－１）２（ｘ＋２）＝０，解得所有的实数根为 １，－２，故所有零点的和为 －１． １７．【解析】 （１）依题意：ｘ＝１ ５( )１＋２＋３＋４＋５ ＝３，ｙ＝１ ５( )５＋９＋１２＋１６＋２３ ＝１３， （２分）! 所以 ＾ｂ＝ ∑ ５ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ） ∑ ５ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）２ ＝( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )１－３ ５－１３ ＋ ２－３ ９－１３ ＋ ３－３ １２－１３ ＋ ４－３ １６－１３ ＋ ５－３ ２３( )－１３ ( )１－３２ ( )＋ ２－３２ ( )＋ ３－３２ ( )＋ ４－３２ ( )＋ ５－３２ ＝１６＋４＋３＋２０ １０ ＝４３ １０＝４．３， 所以 ＾ａ＝１３－４．３×３＝０．１， （６分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 故所求回归直线方程为 ＾ｙ＝４．３ｘ＋０．１． （７分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）将 ｘ＝６，代入 ＾ｙ＝４．３ｘ＋０．１中，得 ＾ｙ＝４．３×６＋０．１＝２５．９≈２６， 故预测第六周订购智能家居产品的数量为 ２６，不会超过 ２８． （１２分）!!!!!!!!!!! １８．【解析】 （１）由 ｓｉｎＡ ａ ＋ｓｉｎＢ ｂ ＝２ｃｏｓＣ， 结合正弦定理得２ｓｉｎＣ ｃ ＝２ｃｏｓＣ， （２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 因为 ｃ 槡＝２２，代入整理即得 ｔａｎＣ 槡＝２２， （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 所以 ｓｉｎＣ＝ 槡２２ ３ ． （６分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）由 Ｓ＝１ ２ａｂｓｉｎＣ＝１ ２ａｂ× 槡２２ ３ 槡＝ ２，得 ａｂ＝３． （８分）!!!!!!!!!!!!!!!! 由 ｓｉｎＣ＝ 槡２２ ３ ，由题设得：ｃｏｓＣ＝１ ３， 由余弦定理知 ｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２－ｃ２ ２ａｂ ＝ａ２＋ｂ２－８ ６ ＝１ ３，即 ａ２＋ｂ２＝１０， （１０分）!!!!!!!! 即（ａ＋ｂ）２－２ａｂ＝１０，所以 ａ＋ｂ＝４． （１２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3 ２０２０—２０２１学年第一学期期末考试卷·高三文科数学参考答案 第 ４    页（共 ６页） １９．【解析】 （１）在正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，易知 ＶＢ－ＡＭＤ１ ＝ＶＤ１－ＡＢＭ ＝１ ３×１ ２×２×２×２＝４ ３． （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）证明：取 ＢＣ的中点分别为 Ｆ，连接 ＮＦ，ＤＦ． 因为 Ｎ，Ｆ分别为 ＢＣ１，ＢＣ的中点，ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１是正方体， 易得 ＮＦ⊥平面 ＡＢＣＤ，所以 ＮＦ⊥ＡＭ． （６分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 因为 ＦＣ＝ＭＤ，ＡＤ＝ＤＣ，∠ＦＣＤ＝∠ＭＤＡ， 所以△ＦＣＤ≌△ＭＤＡ，所以∠ＣＦＤ＝∠ＤＭＡ， 所以∠ＦＤＣ＋∠ＤＭＡ＝９０°，所以 ＦＤ⊥ＡＭ． 因为 ＮＦ∩ＦＤ＝Ｆ，所以 ＡＭ⊥平面 ＮＦＤ，所以 ＡＭ⊥ＮＤ． （９分）!!!!!!!!!!!!! 连接 ＢＤ，Ｃ１Ｄ，在正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中， 易知 ＢＤ＝Ｃ１Ｄ，所以 ＤＮ⊥ＢＣ１． 又 ＢＣ１∥ＡＤ１，所以 ＡＤ１⊥ＤＮ． （１０分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 又 ＡＤ１∩ＡＭ＝Ａ，所以 ＮＤ⊥平面 ＡＭＤ１， （１２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２０．【解析】 （１）当 ｍ＝０时，ｆ（ｘ）＝（１＋ｃｏｓｘ）ｅｘ， 对函数 ｆ（ｘ）求导可得 ｆ′（ｘ）＝（－ｓｉｎｘ）ｅｘ＋（１＋ｃｏｓｘ）ｅｘ＝（１－ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）ｅｘ， （１分）!!! 所以 ｆ′（０）＝（１－０＋１）ｅ０＝２， （２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 又 ｆ（０）＝（１＋１）ｅ０＝２， （３分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 所以曲线 ｆ（ｘ）在 ｘ＝０处的切线方程为 ｙ－２＝２（ｘ－０），即 ２ｘ－ｙ＋２＝０． （５分）!!!!! （２）由（１）知 ｆ′（ｘ）＝（１－ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）ｅｘ 槡＝ １－ ２ｓｉｎｘ－π( )[ ]４ ｅｘ， （６分）!!!!!!!!! 因为 ０≤ｘ≤ π ２，所以 －槡２ ２≤ｓｉｎ（ｘ－π ４）≤槡２ ２， 所以 －１≤槡２ｓｉｎ（ｘ－π ４）≤１，所以 ０≤ 槡１－ ２ｓｉｎｘ－π( )４ ≤２， 所以 ｆ′（ｘ） 槡＝ １－ ２ｓｉｎｘ－π( )[ ]４ ｅｘ≥０， （８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 故函数 ｆ（ｘ）在区间 ０，π[ ]２ 上单调递增． （９分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 因为函数 ｆ（ｘ）在区间 ０，π[ ]２ 上只有一个零点， 4 ２０２０—２０２１学年第一学期期末考试卷·高三文科数学参考答案 第 ５    页（共 ６页） 结合零点存在定理可得 ｆ（０）＝２－ｍ≤０ ｆπ( )２ ＝ｅπ ２ －ｍ≥{ ０ （１１分）!!!!!!!!!!!!!!!!!! 解得 ２≤ｍ≤ｅπ ２，即 ｍ的取值范围是 ２，ｅπ [ ]２ ． （１２分）!!!!!!!!!!!!!!!!! ２１．【解析】 （１）由题意可得 １２ ａ２ ＋( )３ ２ ２ ｂ２ ＝１ ｃ ａ＝１ ２ ａ２－ｂ２＝ｃ        ２ ，解得 ａ＝２，ｂ 槡＝ ３． 所以椭圆 Ｃ的方程为ｘ２ ４＋ｙ２ ３＝１． （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）证明：由（１）可知 Ｆ（１，０），则直线 ｌ的方程为 ｙ＝ｋ（ｘ－１）． 联立 ｙ＝ｋ（ｘ－１） ｘ２ ４＋ｙ２ ３{ ＝１，得（４ｋ２＋３）ｘ２－８ｋ２ｘ＋４ｋ２－１２＝０． 设 Ｄ（ｘ１，ｙ１），Ｅ（ｘ２，ｙ２），则 ｘ１＋ｘ２＝ ８ｋ２ ４ｋ２＋３，ｘ１ｘ２＝４ｋ２－１２ ４ｋ２＋３， （７分）!!!!!!!!!!!! 所以 ｋ１＋ｋ２＝ ｙ１ ｘ１＋２＋ ｙ２ ｘ２＋２＝ｋ（ｘ１－１） ｘ１＋２ ＋ｋ（ｘ２－１） ｘ２＋２ ＝ｋ１－ ３ ｘ１＋２＋１－ ３ ｘ２( )＋２ ＝ｋ２－ ３（ｘ１＋ｘ２＋４） （ｘ１＋２）（ｘ２＋２[ ]） ＝ｋ２－ ３（ｘ１＋ｘ２＋４） ｘ１ｘ２＋２（ｘ１＋ｘ２）[ ]＋４ ＝ｋ２－ ３ ８ｋ２ ４ｋ２＋３( )＋４ ４ｋ２－１２ ４ｋ２＋３＋２× ８ｋ２ ４ｋ２＋３      ＋４ ＝ｋ２－ ３（８ｋ２＋１６ｋ２＋１２） ４ｋ２－１２＋１６ｋ２＋１６ｋ２[ ]＋１２ ＝ｋ２－２ｋ２＋１ ｋ( )２ ＝－１ ｋ， （１１分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 所以 ｋｋ１＋ｋｋ２＝ｋ －１( )ｋ ＝－１（定值）． （１２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２２．【解析】 （１）由 ｘ＝－１＋１ ２ｔ ｙ＝槡３ ２{ ｔ （ｔ为参数）消去参数 ｔ可得直线 ｌ的普通方程为槡３ｘ－ｙ 槡＋ ３＝０． （２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由 ρ２＝ ６ ３ｓｉｎ２θ＋２ｃｏｓ２θ得 ３ρ２ｓｉｎ２θ＋２ρ２ｃｏｓ２θ＝６，即 ３ｙ２＋２ｘ２＝６， 整理可得曲线 Ｃ的直角坐标方程为ｘ２ ３＋ｙ２ ２＝１． （５分）!!!!!!!!!!!!!!!! （２）将直线 ｌ的参数方程 ｘ＝－１＋１ ２ｔ ｙ＝槡３ ２{ ｔ （ｔ为参数）代入椭圆 Ｃ：ｘ２ ３＋ｙ２ ２＝１中， 5 ２０２０—２０２１学年第一学期期末考试卷·高三文科数学参考答案 第 ６    页（共 ６页） 整理得１１ ４ｔ２－２ｔ－４＝０，显然 Δ＞０，设点 Ａ、Ｂ对应的参数分别为 ｔ１、ｔ２ （７分）!!!!!!! 所以 ｔ１＋ｔ２＝８ １１，ｔ１ｔ２＝－１６ １１， （８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 故 １ ＰＡ － １ ＰＢ ＝ ＰＢ － ＰＡ ＰＡ· ＰＢ ＝ ｔ１＋ｔ２ ｔ１ｔ２ ＝１ ２． （１０分）!!!!!!!!!!!!!! ２３．【答案】 见解析 【解析】 （１）ｆ（ｘ）≤５即为 ３ ｘ＋１ ＋ ３ｘ－２≤５，等价于 ｘ＜－１ －３ｘ－３－３ｘ＋２≤{ ５或 －１≤ｘ≤ ２ ３ ３ｘ＋３－３ｘ＋２≤{ ５ 或 ｘ＞２ ３ ３ｘ＋３＋３ｘ－２≤{ ５ （３分）!!!!!!!!! 解得 －１≤ｘ≤ ２ ３，即不等式的解集为 ｘ －１≤ｘ≤{ }２ ３ ． （５分）!!!!!!!!!!!!!! （２）因为 ｆ（ｘ）＝３ ｘ＋１ ＋ ３ｘ－２≥ ３ｘ＋３－３ｘ＋２ ＝５， （７分）!!!!!!!!!!!! 所以由 ｆ（ｘ）＞２ａ２－９ａ恒成立，可得 ２ａ２－９ａ＜５， （９分）!!!!!!!!!!!!!!!! 即 ２ａ２－９ａ－５＜０， 解得 －１ ２＜ａ＜５，故实数 ａ的取值范围是 －１ ２，( )５． （１０分）!!!!!!!!!!!!!! 6