江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考数学（理）答案

江西省吉安市“省重点中学五校协作体”‎ ‎2021届高三第一次联考数学理科试卷（答案）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. D 2. D 3. A 4. A 5. A 6. C 7．B 8. B 9. C 10. B 11. D 12. D ‎12.D．因为函数是定义在上的奇函数，所以函数的图像关于点（2,3）中心对称，且，当时，，则，当且仅当时取等号，故，函数在上单调递增，因为函数的图像关于点（2,3）中心对称，所以函数在上单调递增，不等式可化为或，，即，解得x>2，，即，解得，故不等式的解集为 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13. -1 14. 15. 16． ‎ ‎16.∵有两个零点1，2，∴，.由题意得，‎ ‎∴，∵‎ ‎∴.又，∴数列是首项为3，公比为2的等比数列，∴，∴.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（1）函数 ‎，………………3分 ‎，所以，，当时，即当 时，函数取最大值；…………6分 ‎（2）由题意，化简得，，，，解得.………………8分 在中，根据余弦定理，得.‎ 由时，取最小值为2.…………12分 4‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）证明：，‎ 又，， 为等边三角形，‎ 又为中点，‎ 又,‎ ‎，‎ ‎………..4分 ‎（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 设,，则………..5分 设平面即平面的法向量为，,‎ 由，，可取 设平面的法向量为，,‎ 由，,可取………..7分 ‎，解得………..9分 ‎，，设与平面所成角为，则 ‎………..12分 ‎19．(本小题满分12分) ‎ 解：（1）根据题意，分别记“甲扣分为0分、1分、2分、3分”为事件，它们彼此互斥，且，分别记“乙扣分为0分、1分、2分、3分”为事件，它们彼此互斥，且，由题知，事件与事件相互独立，记甲比乙所扣积分多为事件，则，‎ 所以 ‎………………6分 ‎（2）根据题的可能取值为：0，1，2，3，4，5，6，则，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ ‎；………………………………9分 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎0.12‎ ‎0.32‎ ‎0.27‎ ‎0.16‎ ‎0.1‎ ‎0.02‎ ‎0.01‎ 的数学期望．…12分 4‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 解：（1）椭圆C：的离心率.所以 又椭圆经过点，代入椭圆方程可得，……2分 联立方程组可得，解得.…………4分 所以椭圆C的方程为 …………5分 ‎（2）设直线的方程为 联立方程组消去得 即，‎ ‎…………7分 因为，所以 ‎…………9分 即 得…………10分 化简得，直线的方程为 所以，直线…………12分 另解：当的斜率为0时，满足.‎ 当的斜率不为0时，不妨设直线的方程为,‎ 联立方程组消去得 所以，‎ ‎…………7分 因为，所以 所以…………9分 又，‎ 所以可得 即…………10分 得. 所以，，直线的方程为 综上可知，直线…………12分 4‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：（1）的定义域为，而，………………2分 令 ‎①当； ‎ ‎②当单调递增；‎ ‎③当 ‎ ‎ 综上述：‎ 当上单调递增，在上单调递减。………………5分 ‎（2），则的定义域为，‎ ‎，若有两个极值点，且 则方程的判别式，且，‎ 得，且.…………7分 所以 ‎………………8分 设，则在上恒成立，故在单调递减，从而，‎ 所以的取值范围是.………………12分 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22. [选修4 ― 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 解：（1）直线的普通方程为 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为………………………5分 ‎（2）设点的坐标为 故的最小值为.………………………10分 ‎23．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）‎ 解：（1）………..2分 时，；时，；时， ‎ 综上得，∴………..5分 ‎(2)由（1）知 ‎∵‎ ‎，(也可由柯西不等式直接得出) ………..7分 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴………..8分 当且仅当，，取值最小 ‎∴的最小值为3. ………..10分 4‎