江西省吉安市“省重点中学五校协作体”
2021届高三第一次联考数学理科试卷(答案)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. D 2. D 3. A 4. A 5. A 6. C 7.B 8. B 9. C 10. B 11. D 12. D
12.D.因为函数是定义在上的奇函数,所以函数的图像关于点(2,3)中心对称,且,当时,,则,当且仅当时取等号,故,函数在上单调递增,因为函数的图像关于点(2,3)中心对称,所以函数在上单调递增,不等式可化为或,,即,解得x>2,,即,解得,故不等式的解集为
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13. -1 14. 15. 16.
16.∵有两个零点1,2,∴,.由题意得,
∴,∵
∴.又,∴数列是首项为3,公比为2的等比数列,∴,∴.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(本小题满分12分)
解:(1)函数
,………………3分
,所以,,当时,即当 时,函数取最大值;…………6分
(2)由题意,化简得,,,,解得.………………8分
在中,根据余弦定理,得.
由时,取最小值为2.…………12分
4
18.(本小题满分12分)
解:(1)证明:,
又,, 为等边三角形,
又为中点,
又,
,
………..4分
(2)以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,
则,
设,,则………..5分
设平面即平面的法向量为,,
由,,可取
设平面的法向量为,,
由,,可取………..7分
,解得………..9分
,,设与平面所成角为,则
………..12分
19.(本小题满分12分)
解:(1)根据题意,分别记“甲扣分为0分、1分、2分、3分”为事件,它们彼此互斥,且,分别记“乙扣分为0分、1分、2分、3分”为事件,它们彼此互斥,且,由题知,事件与事件相互独立,记甲比乙所扣积分多为事件,则,
所以
………………6分
(2)根据题的可能取值为:0,1,2,3,4,5,6,则,
,,
,,,
;………………………………9分
所以的分布列为:
0
1
2
3
4
5
6
0.12
0.32
0.27
0.16
0.1
0.02
0.01
的数学期望.…12分
4
20. (本小题满分12分)
解:(1)椭圆C:的离心率.所以
又椭圆经过点,代入椭圆方程可得,……2分
联立方程组可得,解得.…………4分
所以椭圆C的方程为 …………5分
(2)设直线的方程为
联立方程组消去得
即,
…………7分
因为,所以
…………9分
即
得…………10分
化简得,直线的方程为
所以,直线…………12分
另解:当的斜率为0时,满足.
当的斜率不为0时,不妨设直线的方程为,
联立方程组消去得
所以,
…………7分
因为,所以
所以…………9分
又,
所以可得
即…………10分
得. 所以,,直线的方程为
综上可知,直线…………12分
4
21.(本小题满分12分)
解:(1)的定义域为,而,………………2分
令
①当;
②当单调递增;
③当
综上述:
当上单调递增,在上单调递减。………………5分
(2),则的定义域为,
,若有两个极值点,且
则方程的判别式,且,
得,且.…………7分
所以
………………8分
设,则在上恒成立,故在单调递减,从而,
所以的取值范围是.………………12分
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22. [选修4 ― 4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
解:(1)直线的普通方程为
曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为………………………5分
(2)设点的坐标为
故的最小值为.………………………10分
23.[选修4—5:不等式选讲] (本小题满分10分)
解:(1)………..2分
时,;时,;时,
综上得,∴………..5分
(2)由(1)知
∵
,(也可由柯西不等式直接得出) ………..7分
∴
∴
∴………..8分
当且仅当,,取值最小
∴的最小值为3. ………..10分
4