山西省怀仁市2021届高三上学期期末考试数学（文）答案

高三年级调研测试·文科数学 第1页 共 5 页 怀 仁 市 2020—2021 学 年 度 上 学 期 期 终 高三教学质量调研测试 文科数学答案 一、选择题： BDCBA BCBDB CD 二、填空题： 13、 1 0x y   14、 3 1- 15、      1,2 1 16、[2， 5] 三、解答题： 17、解：若选（1）由 )1(2 12   nnn SSS 成立，则 3n ， ....................................3 分 此时 2-- 1-n21-n   SSSS nn 即  3,21   naa nn ........................................6 分 这只能说明数列 na 从第二项开始构成等差数列， ........................................10 分 所以数列 na 不一定是等差数列，所以数列 na 的通项公式无法确定.......................12 分 若选择（2） 12n1n 2   naSS 得 ,2112   nnn aSS 即 212   nn aa ..............3 分 所以  221  naa nn ........................................6 分 这只能说明数列 na 从第二项开始构成等差数列， ........................................10 分 所以数列 na 不一定是等差数列，所以数列 na 的通项公式无法确定.......................12 分 若选择（3） )1(1   nan S n n 可得  11   nnnaS nn ，于是      211 21n   nnanS n ，两式相减得：      1211 21   nanan nn ................................3 分 即 212   nn aa  221   naa nn .. ........................................6 分 对  11   nnnaS nn ，令 n=1 得 221  aa 即 2- 12 aa ...........................8 分 故数列 na 是首项为 1，公差为 2 的等差数列...................................10 分 即 12  nan ...................................12 分 18、解（1）估计 11 月份顾客到该餐厅就餐消费不少于 60 元的概率 2 1 80 101020 p . ...........................3 分 (2)估计 11 月份顾客到该餐厅就餐消费金额的平均值为 67.580 5400 80 1013510105207530451015  ............................6 分 （3）填写 2×2 列联表如下： 不少于 90 元 少于 90 元 总计 男生 14 22 36 女生 6 38 44 总计 20 60 80 .........................................8 分 则   ,635.66.73420604436 622-381480 2 2  K ...............................................11 分 故有 99%的把握认为就餐消费的金额与性别有关 ..............................12 分 19. （1）证明 CA=CB, ABCD  所以 D 为 AB 的中点，故 ABA1 为等边三角形，所以 ABDA 1 . ...................................................2 分 又因为 CDAABDCDDACDACDDAABCD 1111 ,,,, 平面平面  又因为 CDAABCABCAB 1, 平面平面平面  ...........................................6 分 （2）、解 ABCDABBBAAABCBBAAABC  ,, 1111 平面平面平面平面 BBAACD 11平面 ...........................................8 分 由 CA=CB=AB=2,得 ABC 为等边三角形，则 3CD ;由 ABA1 为等边三角形,得 1 高三年级调研测试·文科数学 第3页 共 5 页 高三年级调研测试·文科数学 第 4 页 共 5 页 324 3 2 1  ABAS , 1333 1 3 1 11   CDSV ABAABAC ........................10 分 连接 B1C,由于 ABB1A1 和 BCC1B1 都是平行四边形，所以 CCBBCBBBAABA SSSS 111111 ,   所以 ,11111111 CCBABCBABBACABAC VVVV   于是 33 111111111 1   ABACCCBABCBAABACCBAABC VVVVV .............................12 分 20. （1）B(1,0),半径为 4，设动圆圆心 P（x,y),半径为 r.则由题可知：      rPB rPA 4 所以|PA|+|PB|=4>|AB|=2 所以 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆。2a=4,2c=2 .所以 a2=4, b2=3 所求椭圆方程为 2 2 14 3 x y  ...........................4 分 （2）若存在满足条件的点  ,0Q t . 当直线l 的斜率 k 存在时，设  1y k x  ，联立 2 2 14 3 x y  ， 消 y 得 2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k     . 设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ，则 2 1 2 2 8 3 4 kx x k    ， 2 1 2 2 4 12 3 4 kx x k   x， ∵          1 2 2 11 2 1 2 1 2 1 1 QM QN k x x t k x x ty yk k x t x t x t x t                  22 2 21 2 1 2 2 22 21 2 1 2 2 2 8 18 24 22 1 2 3 4 3 4 4 12 8 3 4 3 4 k tk tkx x k t x x kt k kk k kx x t x x t t tk k                             2 2 2 22 2 2 2 2 2 8 24 8 1 2 3 4 6 4 4 12 8 3 4 4 1 3 4 k k t t k k tk k k t t k t k t                ， ∴要使对任意实数 k ， QM QNk k 为定值，则只有 4t  ，此时， 0QM QNk k  ....................10 分 当直线l 与 x 轴垂直时，若 4t  ，也有 0QM QNk k  .故在 x 轴上存在点  4,0Q ，使得 直线 QM 与直线QN 的斜率的和为定值 0 .. ...............................12 分 21.解：（Ⅰ）函数的定义域为  ，0 …………………………1 分 2 e ( 1) 1( ) (1 ) x xf x ax x     2 e ( 1) ( 1)x x ax x x    2 (e )( 1)x ax x x   ，.............2 分 当 0a  时，对于 (0, )x   ， e 0x ax  恒成立， ' ( ) 0f x   1x  ； ' ( ) 0f x   0 1x  .所以 单调增区间为 (1, ) ，单调减区间 (0,1) ．…………4 分 （Ⅱ）若 ( )f x 在 (0,1) 内有极值，则 ' ( )f x = 0 在 (0,1)x 内有解．…………5 分 令 ' 2 (e )( 1)( ) 0 x ax xf x x     e 0x ax   ex a x  . 设 e( ) x g x x  (0,1)x , 所以 ' e ( 1)( ) x xg x x  , 当 (0,1)x 时， ' ( ) 0g x  恒成立， 所以 ( )g x 单调递减. …………………6 分 又因为 (1) eg  ，又当 0x  时， ( )g x   ,即 ( )g x 在 (0,1)x 上的值域为 (e, ) , 所以 当 ea  时， ' 2 (e )( 1)( ) 0 x ax xf x x    有解.………………7 分 设 ( ) e xH x ax  ，则 ( ) e 0xH x a    (0,1)x ， 所以 ( )H x 在 (0,1)x 单调递减.因为 (0) 1 0H   ， (1) e 0H a   , 所以 ( ) e xH x ax  = 0 在 (0,1)x 有唯一解 0x . ……………………10 分 x 0(0, )x 0x 0( ,1)x ( )H x  0  ' ( )f x  0  所以 当 ea  时， ( )f x 在 (0,1) 内有极值且唯一. 2 高三年级调研测试·文科数学 第5页 共 5 页 当 ea  时，当 (0,1)x 时， ' ( ) 0f x  恒成立， ( )f x 单调递增，不成立． 综上， a 的取值范围为 (e, ) ． …………………………12 分 22、解：（1）曲线 C：   42 22  yx ，极坐标方程为  sin4 当 30   时， 323sin40   ， 23cos  OAOP 设  ,Q 为 L 上除点 P 的任意一点，在 OPQRt 中， 23cos       OP ， 经检验，点      3,2 P 在曲线 23cos        上， 所以 L 的极坐标方程为 23cos        ............5 分 （2）、设  ,P ,在 OAPRt 中，  cos4cos  OAOP ，  cos4 因为 P 在线段 OM 上，且  sin4cos4  OMOPOMAP ，所以     24  ， 。 所以 P 的轨迹的极坐标方程为  cos4 ，     24  ， .........10 分 23、解：                           2,33 22 1,1 2 1,33 212 xx xx xx xxxf （1）有题可知： 2 3 2 1)( min      fxf ,0 Rx 若 使得不等式   230  kkxf 成立,   23min0  kkxf 232 3  kk , 即         2 323 3 kk k 或      2 323 23- kk k 或         2 323 2 kk k 4 1k . ..........................................5 分 （2）由题可知:    0,11 min  nmnmxf nm 11 2 3  ,22 3 2 3 2       nmmnnm 当且仅当 m=n 时取“=”号， 3 8 nm ， 所以 3 8的最小值nm  .........................................10 分 3