四川省眉山资阳遂宁雅安广安广元等2021届高三上学期第一次诊断性考试数学(文)答案

书书书 数学!文史类"试题答案 第 !!!!! 页!共"页" 高!"#$级第一次诊断性考试 数学!文史类"参考答案 评分说明! !"本解答给出了一种或几种解法供参考!如果考生的解法与本解答不同!可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则" #"对计算题!当考生的解答在某一步出现错误时!如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度!可视影响的程度决定后继部分的给分!但不得超过该部分正确解答应得分数的一半#如果 后继部分的解答有较严重的错误!就不再给分" $"解答右端所注分数!表示考生正确做到这一步应得的累加分数" %"只给整数分"选择题和填空题不给中间分" 一"选择题#&'分$ !!解析#选择 (!因为 ")$#"## #%%)$#"###%&所以 "$$)$#"###%$$#"!%#%%%) $#"#&#%%%! 命题意图#本小题主要考查指数不等式&集合的交集运算等基础知识'考查运算求解能力! #!解析#选择 (!因为%*#+)#&!!,+"!%&&'%"&即%*#+)#&,#&+!根据复数相等的条件&得 %)#&& #),#& ( ) * & 解得 %),#& &),! ( ) * & 所以%*&+),#,+&所对应的点在复平面内位于第三象限! 命题意图#本小题主要考查复数的乘法运算&两个复数相等的条件&复数的几何意义等基础知 识'考查运算求解能力&考查化归与转化思想! $!解析#选择 -"由已知&抛物线的标准方程是##)#'&所以()!! 命题意图#本小题主要考查抛物线的标准方程和性质等基础知识'考查运算求解能力! %!解析#选 择 .!法 一#因 为 /+0!)#12/!&所 以 /+0#!)%12/#!&代 入 /+0#!*12/#!)!&解 得 12/#!)! 3! 法二#因为/+0!)#12/!&所以450!)#&所以12/#!) 12/#! /+0#!*12/#! &易知12/!+'&分子(分母同时 除以12/#!&得12/#!) ! 450#!*!) ! ##*!)! 3! 命题意图#本小题主要考查三角函数的恒等变换&同角间的三角函数关系&诱导公式&三角函数 求值等基础知识'考查运算求解能力&考查化归与转化思想! 1 数学!文史类"试题答案 第 #!!!! 页!共"页" 3!解析#选择 -"由已知&因圆##*'#)#3在点!,$&%"处的切线的斜率为, ,$ % )$ %&所以切线 方程为',%)$ %!#*$"&即直线)#$#,%'*#3)'! 命题意图#本小题主要考查圆的切线方程等基础知识'考查运算求解能力&数形结合等数学 思想! &!解析#选择 6!由环比增长折线图可知&.&-错误'由同比折线图可知 (错误&6 项正确! 命题意图#本小题主要考查统计图表等基本知识'考查数据处理能力和应用意识! 7!解析#选择 6"作出约束条件 #*'&#& ##,'#!& '#' ( ) * & 表示的可行域是以 ! #&! "' &!#&'"&!!&!"三点为顶点 的三角形及其内部&当目标函数*)! ##*' 过点!!&!"时&取得最大值&且最大值为$ #! 命题意图#本小题主要考查约束条件的不等式组表示的可行域&线性规划求最值等基础知识' 考查运算求解能力和应用意识'考查数形结合思想&化归与转化等数学思想! 8!解析#选择 (!函数+!#"是偶函数&排除 .&-&当#,'时&+!#")9#,##,#&+,!#")9#,##, !&+,!!")9,$%'&+,!#")9#,3,'&知存在#''!!&#"使得+,!#")'&故选 (" 命题意图#本小题主要考查函数图象和性质等基本知识'考查逻辑推理能力及应用意识&考查 数形结合(化归与转化等数学思想! :!解析#选择 ."设 +!#")9# ,#,!&则 +,!#")9# ,!&当 #%' 时&+,!#"%''当 #,' 时& +,!#",'!所以+!#"在!,;&'"上单调递减&在!'&*;"上单调递增&所以+!#"##*#>#$*$>#%*.*!5,!"+#5*5+#5*!&!!# 由",#得,85)!>#*##*#$*.*#5,5+#5*!& !'分…………………………………… 即,85)#!!,#5" !,# ,5+#5*!)#5*!,#,5+#5*!& 所以85)!5,!"+#5*!*#! !#分……………………………………………………………… 命题意图#本小题主要考查递等比数列的通项公式与前5 项和公式&错位相减求和等基础知 识'考查运算求解能力与应用意识'考查化归与转化等数学思想! !8!解析#!!"列联表下# 良 优 合计 男 #' #' %' 女 #' %' &' 合计 %' &' !'' !!!!!!!!!! $分……………………………………………………………………… 由题得&9#)!''!#'>%',#'>#'"# %'>&'>&'>%' )#3 :0#?78,#?7'&& 4 数学!文史类"试题答案 第 &!!!! 页!共"页" 所以&能在犯错误的概率不超过'?!'的前提下认为评分为,优良-与性别有关! &分……… !#"随机抽取的&人中评分为)3'&&'"有#人&记分 "!&"#&评分为):'&!''*有%人&记为 $!& $#&$$&$%! 7分…………………………………………………………………………………… 从中随机抽取#人&所有基本事件有#!"!&"#"&!"!&$!"&!"!&$#"&!"!&$$"&!"!&$%"&!"#&$!"& !"#&$#"&!"#&$$"&!"#&$%"&!$!&$#"&!$!&$$"&!$!&$%"&!$#&$$"&!$#&$%"&!$$&$%"&共 !3个! :分………………………………………………………………………………………… 其中评分为)3'&&'"至少有!人的基本事件有#!"!&$!"&!"!&$#"&!"!&$$"&!"!&$%"&!"#&$!"& !"#&$#"&!"#&$$"&!"#&$%"&!"!&"#"&共:个! !!分………………………………………… 所以&在评分为)3'&&'"的顾客中至少有!人获得礼品的概率 1): !3)$ 3! !#分…………… 命题意图#本小题主要考查统计案例(卡方分布(离散型随机变量的分布列和数学期望等基础 知识'考查抽象概括(数据分析处理等能力和应用意识! !:!解析#!!"在1/0: 中&由正弦定理得 /: /+02/0:) /0 /+02/:0& 所以/+02/:0)/0/+02/0: /: ) 槡$ $># $ 槡% $ )! #& $分………………………………………… 因为/0%/:&所以2/:0 为锐角&所以2/:0)$'@! %分…………………………………… 所以2":/)2":0,2/:0)!#'@,$'@):'@& 所以 "/) ":#*/:槡 # ) !##*!槡% $"槡 # 槡)8 $! &分………………………………………… !#"在1"$/ 中&由余弦定理得 "/#)"$#*$/#,#"$+$/12/&'@& 即!:#)"$#*$/#,"$+$/##"$+$/,"$+$/)"$+$/& :分…………………… 当且仅当 "$)$/ 槡)8 $时等号成立&所以 "$+$/&!:#! !'分…………………………… 所以81"$/ )! #"$+$//+0&'@ &! #>!:#>槡$ # 槡)%8 $! !#分…………………………………………………………………… 命题意图#本小题主要考查正弦定理&余弦定理&勾股定理&三角形的面积等基础知识'考查运 算求解能力&推理论证能力与应用意识'考查化归与转化思想! #'!解析#!!"由已知&";.平面 "$/0& 根据线面垂直的定义&有 ";."$&";."0! #分…………………………………………… 又 "$)";)"0&"$."0& 所以&$0#)"$#*"0#&$;#)"$#*";#&0;#)"0#*";#& 则$0)$;)0;& 5 数学!文史类"试题答案 第 '!!!! 页!共"页" 所以1$0; 是正三角形! &分…………………………………………………………………… !#"由!!"的可知&"$."0&"$.";& 根据直线与平面垂直的判定定理&有 "$.平面 "0;& 由线面垂直的定义&有 "$.0;! 因为/03"$&所以&/0.0;&即1;/0 为直角三角形! :分……………………………… 又1;"/ 是直角三角形& 所以&;/ 的中点< 到顶点 ; &"&/&0 的距离都等于! #;/)$ #& 所以&三棱锥 ;,"/0 的四个顶点 ; &"&/&0 所在球是以< 为球心&$ #为半径的球& 所以&球的表面积为%!+! "$ # # ):!! !#分…………………………………………………… 命题意图#本小题主要考查直线与平面间平行(垂直的位置关系&三棱锥外接球&球的表面积 等基础知识'考查空间想象能力(逻辑推理能力&考查化归与转化等思想方法! #!!解析#!!"由题可知+!#")#!9#,#",#=0#*#=0#,#!#,'"& 则+,!#")9#,#*#9#,# #)!#*!"9#,#! "# & #分…………………………………………… 设切点为!#'&+!#'""&则由+,!#'")'得9#' )# #' & 则#')=0# #' &即=0#')=0#,#'&得证! 3分…………………………………………………… !#"因为+!#")#!9#,%",#=0#*#=0#,##'&其中#,'& 则%&9#,#=0#,#=0#*# # 对于#,'恒成立& &分…………………………………………… 令=!#")9#,#=0#,#=0#*# # &则=,!#")9#,#,!#=0#,#=0#*#" ## )9#,,#=0#*#=0# ## & 即=,!#")##9#*#=0#,#=0# ## & 7分……………………………………………………………… 令>!#")##9#*#=0#,#=0#&则>,!#")!##*##"9#*# #,'&其中#,'& 则>!#")##9#*#=0#,#=0#为!'&*;"的增函数& 8分……………………………………… 又因为>!!")9,#=0#,'&>! "! # )槡9 %,%=0#%'& 所以存在#'' ! #&! "! &使得>!#'")#' #9#' *#=0#',#=0#)'&即#' #9#' )#=0# #' & :分…… 而#' #9#' )#=0# #' 4#'9#' )# #' =0# #' )=0# #' 9=0# #' & 6 数学!文史类"试题答案 第 (!!!! 页!共"页" 又由于?!#")#9# 为!'&*;"的增函数& 故#')=0# #' &即9#' )# #' & !'分…………………………………………………………………… 又'%#%#'&=,!#"%'&=!#"为减函数'#,#'&=,!#",'&=!#"为增函数& !!分…………… 所以=!#"