四川省眉山资阳遂宁雅安广安广元等2021届高三上学期第一次诊断性考试数学(理)答案

书书书 数学!理工类"试题答案 第 !!!!! 页!共"页" 高!"#$级第一次诊断性考试 数学!理工类"参考答案 评分说明! !"本解答给出了一种或几种解法供参考!如果考生的解法与本解答不同!可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则" #"对计算题!当考生的解答在某一步出现错误时!如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度!可视影响的程度决定后继部分的给分!但不得超过该部分正确解答应得分数的一半#如果 后继部分的解答有较严重的错误!就不再给分" $"解答右端所注分数!表示考生正确做到这一步应得的累加分数" %"只给整数分"选择题和填空题不给中间分" 一"选择题#&'分$ !!解析#选择 (!因为 ")$#"###%%)$#"###%&$)$#"!#*%"!#*!"#'%)$#"!###%%&所 以!$%""%$)$#"#&#%%$#"!###%%)$#"#'##%%! 命题意图#本小题主要考查指数不等式&一元二次不等式的解法&补集与交集运算等基础知识' 考查运算求解能力&知识交汇的应用意识! #!解析#选择 ("因为%+#, !*,)#&!%&&(%"&所以%+#,)#&!!*,"&即%+#,)#&*#&,!根据复数相 等的条件&得 %)#&& #)*#& ) * + & 解得 %)*#& &)*! ) * + & 所以%+&,)*#*,&所对应的点在复平面内位于第三 象限! 命题意图#本小题主要考查复数的乘法运算&两个复数相等的条件&复数的几何意义等基础知 识'考查运算求解能力&考查化归与转化思想! $!解析#选择 -!因为.,/!)#.,/ ! #+! "! &所以.,/!)#01.!! 法一#有.,/#!)%01.#!&代入.,/#!+01.#!)!&解得01.#!)! 2! 法二#有34/!)#&所 以 01.#!) 01.#! .,/#!+01.#! &易 知 01.!,'&分 子(分 母 同 时 除 以 01.#!&得 01.#!) ! 34/#!+!) ! ##+!)! 2! 命题意图#本小题主要考查三角函数的恒等变换&同角间的三角函数关系&诱导公式&三角函数 求值等基础知识'考查运算求解能力&考查化归与转化思想! 1 数学!理工类"试题答案 第 #!!!! 页!共"页" %!解析#选择 5"由已知&因圆##+'#)#2在点!*$&%"处的切线的斜率为* *$ % )$ %&所以切线 方程为'*%)$ %!#+$"&即直线(#$#*%'+#2)'! 命题意图#本小题主要考查圆的切线方程等基础知识'考查运算求解能力&数形结合等数学 思想! 2!解析#选择 6"因为) 为"* 的中点&且 -.."))" -.."$+# -.."+&所以 -.."*)#" -.."$+## -.."+&因为 $& *&+ 三点共线&所以#"+##)!&所以"+#)! #! 法二#!特殊点法"* 为$+ 上异于$&+ 的任意一点时"+# 都可得到唯一结果&可取 * 为$+ 的中点&则有 -.."*)! # -.."$+! # -.."+&而 -.."))! # -.."*)! % -.."$+! % -.."+&所以"+#)! #! 命题意图#本小题主要考查平面向量的基本定理&向量加法的几何意义&向量共线等基础知识' 考查运算求解能力&应用意识&考查化归与转化&数形结合等数学思想! &!解析#选择 5"由环比增长折线图可知&-&6错误'由同比折线图可知 (错误&5 项正确! 命题意图#本小题主要考查统计图表等基本知识'考查数据处理能力和应用意识! 7!解析#选择 6"根据题意&甲有%种派法&其余%人共有#%种派法&于是共有8&种派遣方法! 命题意图#本小题主要考查计数原理(排列及排列数等基础知识'考查逻辑推理能力和应用意 识&考查分类与整合等数学思想! 9!解析#选择 ("函数,!#"是偶函数&排除 -&6&当#/'时&,!#"):#*##*#&,-!#"):#*##* !&,-!!"):*$#'&,-!#"):#*2/'&知存在#'(!!&#"使得,-!#")'&故选 (" 命题意图#本小题主要考查函数图象和性质等基本知识'考查逻辑推理能力及应用意识&考查 数形结合(化归与转化等数学思想! 8!解析#选择 6"由离心率.) %#+%#+& %槡 # 槡) 2&解出% 槡) #'由&) %#槡 槡+&)# #&所以渐近线 方程为');##&焦点坐标为! 槡; !'&'"!所以焦点到渐近线的距离为 槡# #! 命题意图#本小题主要考查双曲线的标准方程(性质&点到直线的距离等基础知识&考查运算求 解能力! !'!解析#选择 -"将函数,!#").,/ $#+!! "% !$/'"的图象向右平移! %个单位长度后得到函数 /!#"的图象对应的函数为/!#").,/ $ #*!! "% +!) *% ).,/ $#*$! % +!! "% &因为函数/!#" 的图象的一条对称轴是直线#)*! %&所以*$! % *$! % +! %)! #+0!&0(&&解得$)*! #* #0&0(&&又$/'&所以当0)*!时&$ 取最小值&为$ #! 2 数学!理工类"试题答案 第 $!!!! 页!共"页" 命题意图#本小题主要考查三角函数的图象变换及其性质&最值问题等基础知识'考查运算求 解能力及应用意识'考查化归与转化思想&数形结合等数学思想! !!!解析#选择 5"由 ,!#+#") !#+,!#槡 "&得 ,!*#+#") !#+,!*#槡 ") !#+,!#槡 ") ,!#+#"&则,!#"的图象关于直线#)#对称&于是,!#+%"),!*#"),!#"&故,!#"的一 个周期为%&由,!#+#") !#+,!#槡 "&令#)*!得,!!"),!*!+#") !#+,!*!槡 ") !#+,!!槡 "/'&!,!!""#*,!!"*!#)'&解得,!!")%或*$!负值舍去"&所以,!#'#!") ,!!")%! 命题意图#本小题主要考查函数性质等基本知识'考查抽象概括(逻辑推理(运算求解能力及 应用意识'考查化归与转化等数学思想! !#!解析#选择 -"由题意&平面 "$+*0平面 "1$&得 "10$+'由 $20平面 "1+&有 "10 $2'从而 "10平面 1$+&所以 $10"1&所以31*"$+ )3+*"1$ )! $+! #1"+1$+$+) ! $1"+1$!令 1")4&1$)5&则 4#+5#)%!所以31*"$+ )! $45'! $+4#+5# # )# $&其中 ,)-当且仅当 4)5 槡) #时取得! 命题意图#本小题主要考查线面垂直(面面垂直(三棱锥的体积(基本不等式等基础知识'考查 空间想象能力(逻辑推理能力和创新意识'考查化归与转化等数学思想! 二"填空题##'分$ !$!解析#填$ #!作出约束条件 #+''#& ##*'&!& '&' ) * + & 表示的可行域是以 ! #&! "' &!#&'"&!!&!"三点为顶点的 三角形及其内部&当目标函数6)! ##+' 过点!!&!"时&取得最大值&且最大值为$ #! 命题意图#本小题主要考查约束条件的不等式组表示的可行域&线性规划求最值等基础知识' 考查运算求解能力与应用意识'考查数形结合&化归与转化等数学思想! !%!解析#填$ 2!方法一!设事件 " 为,这次比赛乙队不输-&则事件 1" 为,这次比赛甲队获胜-&因 为甲队获胜的 概 率 1!1"") # 2&所 以 这 次 比 赛 乙 队 不 输 的 概 率 1!"")!*1!1"")!* # 2)$ 2! 方法二!设事件 " 为,这次比赛乙队不输-&事件 $ 为,这次比赛乙队获胜-&事件+ 为,这次 比赛甲(乙两队打平-&所以 1!+")! !'&1!$")!*# 2*! !')! #&所以这次比赛乙队不输的概 率 1!"")1!$"+1!+")! #+! !')$ 2! 3 数学!理工类"试题答案 第 %!!!! 页!共"页" 命题意图#本小题主要考查互斥事件的概率等基础知识'考查运算求解等数学能力'考查化归 与转化等数学思想! !2!解析#填"#$!根据线面垂直的性质知命题"正确'由线面平行的性质和线面垂直的性质知 命题#正确'由面面垂直的性质和判定知命题%不正确'由面面平行的性质知命题$正确! 命题意图#本小题主要考查直线与平面间平行(垂直的位置关系等基础知识'考查空间想象能 力(逻辑推理能力'考查化归与转化等思想方法! !&!解析#填 79/#>7'&& 所以&能在犯错误的概率不超过'>!'的前提下认为评分为,优良-与性别有关! %分……… !#"由已知得体验度评分为)2'&&'"和)8'&!''*的顾客分别有!'人&#'人&则在随机抽取的& 人中评分为)2'&&'"有#人&评分为)8'&!''*有%人! 2分…………………………………… 则 9 可能的取值有'&!&#! 1!9)'")+% % +% & )! !2&1!9)!")+! #++$ % +% & )9 !2&1!9)#")+# #++# % +% & )& !2& 9分………………… 则 9 的分布列为 9 ' ! # 1 ! !2 9 !2 & !2 !!!!!!!!!!! 8分…………………………………………………………………… 所以&)9)'=! !2+!=9 !2+#=& !2)% $! !#分………………………………………………… 命题意图#本小题主要考查统计案例(卡方分布(离散型随机变量的分布列和数学期望等基础 知识'考查抽象概括(数据分析处理等能力和应用意识! !8!解析#!!"在4+*) 中&由正弦定理得 +) .,/5+*)) +* .,/5+)*& 所以.,/5+)*)+*.,/5+*) +) ) 槡$ $=# $ 槡% $ )! #& $分………………………………………… 因为+*#+)&所以5+)* 为锐角&所以5+)*)$'?! %分…………………………………… 所以5")+)5")**5+)*)!#'?*$'?)8'?& 所以 "+) ")#++)槡 # ) !##+!槡% $"槡 # 槡)9 $! &分………………………………………… !#"在4"$+ 中&由余弦定理得 "+#)"$#+$+#*#"$+$+01.&'?& 即!8#)"$#+$+#*"$+$+&#"$+$+*"$+$+)"$+$+& 8分…………………… 当且仅当 "$)$+ 槡)9 $时等号成立&所以 "$+$+'!8#! !'分…………………………… 所以74"$+ )! #"$+$+.,/&'? 5 数学!理工类"试题答案 第 '!!!! 页!共"页" '! #=!8#=槡$ # 槡)%9 $! !#分…………………………………………………………………… 命题意图#本小题主要考查正弦定理&余弦定理&勾股定理&三角形的面积等基础知识'考查运 算求解能力&推理论证能力与应用意识'考查化归与转化思想! #'!解析#!!"由已知&":0平面 "$+*& 所以&":0"$&":0"*! #分………………………………………………………………… 又 "$)":)"*)#&"$0"*& 所以&$*#)"$#+"*#)9&$:#)"$#+":#)9&*:#)"*#+":#)9& 则$*)$:)*:& 所以4$*: 是正三角形! 2分…………………………………………………………………… !#"因为 "$0"*&":0平面 "$+*&于是&可以 " 为原点&直线 "$& "*&": 分别为# 轴&' 轴&6轴建立空间直角坐标系! 由+*6平面 "$:&易知+*6"$&又#+*)"$&则 $!#&'&'"&+!!&#&'"&*!'&#&'"&:!'&'&#"! 所以 -..$*)!*#&#&'"& -..$:)!*#&'&#"! 7分…………………………… 设平面$*: 的一个法向量为!)!#&'&6"& 则 !+ -..$*)*##+#')'& !+ -..$:)*##+#6)' ) * + ! 取#)!&得 !)!!&!&!"! 8分…………………………………………………………………… 同理可求平面+$: 的一个法向量为")!#&!&#"! !'分……………………………………… 所以&01./!&"0) "!+"" "!"+""") 2 槡$ $ ) 槡2 $ 8 & 即二面角+*$:** 的余弦值为 槡2 $ 8 ! !#分…………………………………………………… 命题意图#本小题主要考查直线与平面间平行(垂直的位置关系(二面角等基础知识'考查空 间想象能力(逻辑推理能力(运算求解能力&考查化归与转化等思想方法! #!!解析#!!"证明#由题可知,!#")#!:#*#"*# #分………………………………………………………… 直线(的极坐标方程可变形为&01.!*&.,/!*!)'& 于是&其直角坐标方程为#*'*!)'> 2分…………………………………………………… !#"由方程组 #*'*!)'& ## #+'#) * + )! 消元&有$##*%#)'! 7 数学!理工类"试题答案 第 "!!!! 页!共"页" 由此可知&点 "&$ 的坐标分别为!'&*!"& % $&! "! $ & 7分……………………………………… 直线 1"&1$ 的斜率分别为0!) *! '*#)! #&0#) ! $*' % $*# )*! #! 所以&0!+0#)! #+ *! "! # )'& 于是&直线 1"&1$ 关于# 轴对称! !'分……………………………………………………… 命题意图#本小题主要考查曲线的参数方程(极坐标方程等基础知识&考查运算求解能力&考 查化归与转化等数学思想! #$!解析#!!"当#'*!时&,!#")*##+#*#*!)*$#+!&%&得#'*!' 当*!##'!时&,!#")*##+#+#+!)*#+$&%&此时无解' 当#/!时&,!#")##*#+#+!)$#*!&%&得#&2 $! 所以&不等式的解集为!*@&*!*8 2 $&+@) "! %分………………………………………… !#"由!!"&当#'*!时&,!#")*$#+!&%'当*!##'!时&,!#")*#+$&#'当#/! 时&,!#")$#*!/#&则#)!时&,!#"的最小值为#&即 :)#! 于是%&&&>满足%+&+>)#& &分……………………………………………………………… ! %+&+ ! &+>+ ! >+%)! #!%+&+>" ! %+&+ ! &+>+ ! >+! "% )! %)!%+&"+!&+>"+!>+%"* ! %+&+ ! &+>+ ! >+! "% )! % $+ &+> %+&+%+& &+>+&+> >+%+>+% &+>+>+% %+&+%+& >+! ") *% &! % $+ # &+> %+&+%+& &+槡 >+# &+> >+%+>+% &+槡 >+# >+% %+&+%+& >+槡! ") *% )8 %& 当且仅当&+> %+&)%+& &+>且&+> >+%)>+% &+>且>+% %+&)%+& >+%即%)&)>时取,)-! !'分……………… 命题意图#本小题主要考查含绝对值的不等式(基本不等式(不等式证明方法等基础知识'考 查运算求解(推理论证等数学能力'考查分类与整合(化归与转化等数学思想! 8