山东省泰安市2021届高三上学期期末考试数学试卷（可编辑PDF版）

高三数学试题 第 页 （共4页） 试卷类型: A 高 三 年 级 考 试 数 学 试 题 注意事项:1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 . 1. 设集合A = { x| x2 - x - 2 > 0 } ,B = { x| 0 < x < 3 } ，则A∩B= A.（0，2） B.（1，2） C.（0，3） D.（2，3） 2. 在复平面内，复数z = i1 + 2i 的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.“ cosα = 3 5”是“sin (2α + π 2 ) = - 7 25”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则点M到y轴的距离是A. 10 B. 9 C. 8 D. 5 5. 设a=(1 3)-0.2，b=log 2 1 3，c=lg3 2.则a，b，c的大小关系是 A. a > c > b B. b > c > a C. c > a > b D. c > b > a 6. 在公差不为0的等差数列{ }an 中，a1，a2，ak1 ，ak2 ，ak3成公比为4的等比数列，则k3 = A. 84 B. 86 C. 88 D. 96 7. 电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音:“道路千万条，安全第一条，行车不规范， 亲人两行泪”，成为网络热句 . 讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019 年，公安部交通 管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法 犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员 饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表 .经过反复试验，一般情况下，某人 2021.1 1 1 高三数学试题 第 页 （共4页） 喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的散点图如图所示，且该图表示的函数模 型 f (x ) = ì í î ï ï 40 sin ( π 3 x ) + 13,0 ≤ x < 2 90e-0.5x + 14,x ≥ 2 . 假设该人喝一瓶啤酒后至少经过 n(n∈N*)小时才 可以驾车，则n的值为（参考数据：ln15≈ 2.71，ln30≈3.40） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8. 已知 F1，F2 分别为双曲线 C：x2 a2 - y2 b2 = 1（a > 0,b > 0 ）的左，右焦点，点 A 在双曲线 C 上， 且 ∠F1 AF2 = 60°, 若 ∠F1 AF2 的角平分线经过线段 OF2（O 为坐标原点）的中点，则双曲 线C的离心率为 A. 14 B. 14 2 C. 7 2 D. 7 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知a，b，c∈R.若a > b > 0，则 A. ac2 ≥ bc2 B. a2 < ab < b2 C. 2ab a + b < ab D. 1 a > 1 b10. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CD上的动点.则下列结论正确的是 A. D1E∥平面A1B1BA B. EB1 ⊥AD 1 C. 直线AE与B1D1所成角的范围为（ π 4 ， π 2） D. 二面角E-A1B1-A的大小为 π 4 11. 已知函数 f (x ) = 2 sin (ωx + φ )(ω ∈ N ∗ , || φ < π 2 )的图象经过 点A（0， 3），且f (x ) 在[0，2π]上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是 A. ω = 2 B. φ = π 6 C. f (x ) 在（- π 3 ,0）上单调递增 D. f (x )在（0，2π）上有3个极小值点 驾驶行为类别 饮酒驾车 醉酒驾车 阈值（ mg/100ml ） [20 ， 80 ） [80 ， +∞ ） 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 2 2 高三数学试题 第 页 （共4页） 12. 德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中，首次定义了取整函数[x]，表示“不超过x 的最大整数”，后来我们又把函数[x]称为“高斯函数”，关于[x]的下列说法中，正确的是 A. 对任意x，y∈R，都有[x+y]≥[x]+[y] B. 函数y=[x+2 x ]的值域为{y∈Z | y ≤ -2或y ≥ 2} C. 函数y=x-[x]在[k,k + 1 ）（k∈Z）上单调递增 D.∑ k = 1 2020 [ lg k ] = 4953 （k∈Z） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 计算 1 - cos2 70° 1 + cos 40° = . 14. 已知向量a = (1,3 ),b = (-2,1),c = (3,2 ).若向量a与kb+c共线，则实数k= . 15. 已知函数 f (x )的定义域为R, 且 f (-1) = 2. 若对任意 x ∈ R, f ′(x ) > 2, 则f (x ) > 2x + 4 的 解集为 . 16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A,B 为圆 C:（x-m）2+（y-2）2=4 上两个动点，且 || AB = 2 3,若直线l:y=-2x上存在点P，使得  OC =   PA +   PB，则实数m的取值范围为 . 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分） 在①6sinB=5sinA，②ab=4，③a2-a-2=0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若 问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在∆ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，9cosB=3a+b， ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分. 18.（12分） 已知公比大于1的等比数列{ }an 的前n项和为Sn，且S3 =14，a3 =8. （1）求数列{ }an 的通项公式； （2）在 an 与 an+1 之间插入 n 个数，使这 n+2 个数组成一个公差为 dn 的等差数列，求数列 { }1 dn 的前n项和Tn . 19.（12分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形， ∠BAD=60°，PB=PD，F 为 PC 上一点，过 AF 作与 BD平行的平面AEFG，分别交PD，PB于点E，G. （1）证明：EG⊥平面PAC； （2）若 F 为 PC 的中点，PA=PC=2 3，直线 PA 与平 面 ABCD 所成角为 60°. 求平面 PAD 与平面 AEFG所成锐二面角的余弦值. 3 3 高三数学试题 第 页 （共4页） 20.（12分） 为了更直观地让学生认识棱锥的几何特征，某教师计划制作一个正四棱锥教学模型 . 现有一个无盖的长方体硬纸盒，其底面是边长为 20cm的正方形，高为 10cm，将其侧棱 剪开，得到展开图，如图 1 所示，P1，P2，P3，P4 分别是所在边的中点，剪去阴影部分，再 沿虚线折起，使得 P1，P2，P3，P4 四个点重合于点 P，正好形成一个正四棱锥 P-ABCD，如 图2所示，设AB=x（单位：cm）. （1）若x=10，求正四棱锥P-ABCD的表面积； （2）当x取何值时，正四棱锥P-ABCD的体积最大. 21.（12分） 已知椭圆C:x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0 )的左顶点为A（-2，0），点（-1， 3 2）在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆 C 的右焦点 F 作斜率为 k（k≠0）的直线 l，交椭圆 C 于 M，N 两点，直线 AM，AN 分别与直线x=b2 c 交于点P，Q，则   FP·  FQ是否为定值？请说明理由. 22.（12分） 已知函数f (x ) = xe2x - kx - ln x. （1）证明：当k=2时，f (x) 无零点； （2）若 f (x)≥ 1恒成立 ，求实数k的取值范围. 4 4 高三数学试题参考答案 第 页 （共7页） 高 三 年 级 考 试 数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择题: 题 号 答 案 1 D 2 D 3 A 4 B 5 A 6 B 7 B 8 C 二、多项选择题: 题 号 答 案 9 AC 10 ABD 11 AC 12 ACD 三、填空题: 13. 1 2 14. 1 15.（-1，+∞） 16. [-1- 5，-1+ 5] 四、解答题: 17. (10分) 解：∵9cosB=3a+b，c=3 ∴9a2 + c2 - b2 2ac = 3a + b ………………………………………………………… 3分 整理得 3a2+3b2+2ab=27……………………………………………………… 5分 方案一：选条件① ∵6sinB=5sinA∴6b=5a …………………………………………………………………………… 7分 由{ 6b = 5a3a2 + 3b2 + 2ab = 27 解得ì í î ï ï a = 2 b = 5 3 或ì í î ï ï a = -2 b = - 5 3（舍去）. ∴a=2，b=5 3 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时b=5 3.…………………………… 10分 方案二：选条件② 由{ab = 4 3a2 + 3b2 + 2ab = 27 得3a4-19a2+48=0 …………………………………… 8分 ∵∆ = 192 - 3 × 4 × 48 < 0 ∴方程无解. 因此，选条件②时问题中的三角形不存在. …………………………………… 10分 方案三：选条件③ 由a2-a-2=0 解得a=2或a=-1（舍去）∴a=2……………………………………………………………………………… 7分 由{a = 2 3a2 + 3b2 + 2ab = 27 得3b2+4b-15=0 2021.1 1 5 高三数学试题参考答案 第 页 （共7页） 解得 b=5 3 或b=-3（舍去） ∴b=5 3 因此，选条件③时问题中的三角形存在，此时b=5 3 …………………………… 10分 18. (12分) 解：设{ }an 的公比为q，q > 1 （1）由 ì í î ïï ïï a1 (1 - q3 ) 1 - q = 14 a1 q2 = 8 整理得3q2-4q-4=0 …………………………………………………………… 3分 解得 q=2或q=- 2 3（舍去） ∴ q = a1 = 2 ∴ an = 2 n，n∈N*. …………………………………………………………… 6分 （2）dn =an + 1 - an n + 1 = 2n n + 1 ∴ 1 dn = n + 1 2 n ………………………………………………………………… 8分 ∴ Tn = 2 2 + 3 22 + 4 23 + … n2 n - 1 + n + 1 2n ∴ 1 2 Tn = 2 22 + 3 23 + 4 24 … + n2n + n + 1 2n + 1 ∴ 1 2 Tn = 1 + 1 22 + 1 23 + 1 24 + … + 1 2n - n + 1 2n + 1 …………………………… 10分 = 1 + 1 22 (1 - 1 2n - 1 ) 1 - 1 2 - n + 1 2n + 1 = 1 + 1 2 (1 - 1 2n - 1 ) - n + 1 2n + 1 = 3 2 - n + 3 2n + 1 ∴ Tn = 3 - n + 3 2n …………………… 12分 19. (12分) （1）证明：连接BD，交AC于点O，连接PO∵BD∥平面 AEFG，平面 PBD∩平面 AEFG= EG，BD⊂平面PBD∴EG∥BD∵底面ABCD是菱形∴AC⊥BD，且O为AC，BD中点 ……… 3分 2 6 高三数学试题参考答案 第 页 （共7页） 又PB=PD ∴PO⊥BD 又AC∩PO=O，AC ,PO ⊂ 平面PAC ∴BD⊥平面PAC ∴EG⊥平面PAC. ……………………………………………………………… 6分 （2）∵PA=PC ∴PO⊥AC 由（1）知PO⊥BD，AC∩BD=O,AC,BD⊂平面ABCD ∴PO⊥平面ABCD ∴∠PAO = 60° ∵PA=2 3 ∴OP=3，OA=OC= 3, 又∠BAD = 60° ∴∠OAD = 30° ∴OB=OD=1. 以 O 为原点，OA，OD，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直 角坐标系，则 ………………………………………………………………… 8分 A（ 3，0，0），B（0，-1，0），C（- 3，0，0）， D(0,1,0 ) ，P（0，0，3） ∴F（- 3 2 ，0， 3 2），  AP =（- 3，0，3），  AD = (- 3 ,1,0 ),   AF =（-3 3 2 ，0， 3 2），  BD =（0，2，0） 设平面PAD的一个法向量为m = (x1 ,y1 ,z1 ) ，则 ìíî   AD·m = 0   AP·m = 0 ∴ì í î ï ï - 3 x1 + y1 = 0 - 3 x1 + 3z1 = 0 令x1 = 1,解得 ì í î ïï ïï y1 = 3 z1 = 3 3 ∴ m = (1, 3 , 3 3 ) …………………………………………………………… 10分 设平面AEFG的一个法向量为n=（x2，y2，z2），则 ìíî   BD·n = 0   AF·n = 0 3 7 高三数学试题参考答案 第 页 （共7页） ∴ì í î ï ï 2y2 = 0 - 3 2 3 x2 + 3 2 z2 = 0 令x2 = 1, 解得ì í î y2 = 0 z2 = 3 ∴n = (1,0, 3 ) ∴m·n = 2， || m = 39 3 ， || n =2 ∴cos〈m,n〉= m·n || m || n = 39 13 . ∴平面PAD与平面AEFG所成锐二面角的余弦值为 39 13 . ………………… 12分 20.（12分） 解：在正四棱锥P-ABCD中，连接AC,BD,交于点O,设BC中点为E，连接PE，EO，PO. （1）∵AB=10 ∴OE=5，PE=15…………………………………………………………………… 3分 ∴正四棱锥P-ABCD的表面积为 S表 = SABCD + 4S∆PBC = 10 × 10 + 4 × 1 2 × 10 × 15 = 400 ∴正四棱锥P-ABCD的表面积为400cm2. ……………………………………… 6分 （2）∵AB=x ∴OE = x2 ,PE=20 - x2（0< x < 20） ∴PO= (20 - x2 )2 - ( x2 )2 =2 5 20 - x （0< x < 20） ∴正四棱锥P-ABCD的体积为 V (x ) = 1 3 x2 2 5 20 - x = 2 5 3 x2 20 - x = 2 5 3 x4 (20 - x ) （0< x < 20） ……………………………………… 8分 令t(x ) = x4 (20 - x ) （0< x < 20），则t'(x ) = 5x3 (16 - x ) …………………… 10分 当0< x < 16时，t'(x )> 0,t(x ) 单调递增 当16< x < 20时，t'(x )< 0,t(x ) 单调递减 4 8 高三数学试题参考答案 第 页 （共7页） ∴t(x ) max = t(16 ) ∴ V (x ) max = V (16 ) ∴ 当x = 16时,正四棱锥P - ABCD的体积最大 ……………………………… 12分 21.（12分） 解:（1）∵a=2,点（-1， 3 2）在椭圆C上 ∴ 1 4+ 9 4b2 =1 ∴b 2=3 ∴ 椭圆C的方程为: x2 4 +y2 3 =1 …………………………………………………… 4分 （2）设M（x1 ,y1）,N（x2 ,y2），直线l的方程为y=k（x-1）(k≠0） 由 ì í î ï ï y = k(x - 1) x2 4 + y2 3 = 1 整理得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0 ∴x1 +x2 = 8k2 4k2 + 3，x1 x2 =4k2 - 12 4k2 + 3 ………………………………………………… 6分 设P（3，yp）,Q（3，yQ），则 yp3 + 2= y1 x1 + 2 ∴yp = 5y1 x1 + 2 = 5k(x1 - 1) x1 + 2 同理可得yQ = 5k(x2 - 1) x2 + 2 ………………………………………………………… 8分 ∴   FP =（2， 5k(x1 - 1) x1 + 2 ），   FQ=（2， 5k(x2 - 1) x2 + 2 ） ∴  FP ∙  FQ=4+ 25k2 (x1 - 1)(x2 - 1) (x1 + 2 )(x2 + 2 ) …………………………………………… 10分 =4+25k2 x1 x2 - (x1 + x2 ) + 1 x1 x2 + 2(x1 + x2 ) + 4 =4+25k2 4k2 - 12 4k2 + 3 - 8k2 4k2 + 3 + 1 4k2 - 12 4k2 + 3 + 16k2 4k2 + 3 + 4 =-9 4 ∴  FP ∙  FQ为定值-9 4 …………………………………………………………… 12分 22.（12分） 解：(1)函数 f (x )的定义域为（0，+∞） 当k = 2时，f (x )=xe2x - 2x - lnx 5 9 高三数学试题参考答案 第 页 （共7页） f ′(x ) = e2x + 2xe2x - 2 - 1 x = (2x + 1) (xe2x - 1) x ………………………………… 2分 令g(x )=xe2x -1（x≥0）,则g'(x ) = e2x (2x + 1) > 0 ∴g(x )在[ 0，+∞）上单调递增 又g( 1 2 ) = e2-1>0, g(0 )=-10 ∴当k=2时，函数f (x )无零点 …………………………………………………… 6分 （2）f (x )≥1 恒成立,即xe2x - kx - ln x ≥ 1恒成立 ∴k≤e2x -lnx + 1 x 恒成立 令h(x )=e2x -lnx + 1 x （x > 0），则h′(x )=2x2 e2x + lnx x2 令φ(x )=2x2 e2x + lnx（x > 0），则φ'(x ) = 4xe2x + 4x2 e2x +1 x >0 ∴函数φ(x )在(0, + ∞ ) 上单调递增 ………………………………………… 8分 又φ( 1 2 )= e2 - ln2>0，φ( 1 e )= 2 e2 e 2 e - 1 = 2e 2 e - 2 - 1 < 2e 2 2 - 2 - 1 < 2 e - 1 < 0 ∴存在x1 ∈ ( 1 e , 1 2 )，使得φ(x1 ) = 0 当x ∈ (0,x1 ) 时，h′(x ) 0,h(x)单调递增∴h(x ) min = h(x1 ) ∵φ(x1 ) = 2x1 2 e2x1 + ln x1 =0 ∴2x1 2 e2x1 = -lnx1 >0 ∴ln(2x1 2 e2x1 )=ln(-lnx1 ) ∴ln2+2lnx1 +2x1 =ln(-lnx1 ) ∴ln2+lnx1 +2x1 =ln(-lnx1 )-lnx1 ∴ln(2x1 )+2x1 =ln(-lnx1 )+（-lnx1） …………………………………………… 10分 令m(x ) = x + lnx（x > 0），则m′(x ) = 1 + 1 x > 0 ∴函数m(x ) 在（0，+∞）上单调递增 6 10 高三数学试题参考答案 第 页 （共7页） ∵ m(2x1 ) = m(-ln x1 ) ∴2x1 =-lnx1 ∴h(x1 )= e2x1 - lnx1 + 1 x1 = e- lnx1 - -2x1 + 1 x1 = 1 x1 +2- 1 x1 =2 ∴k≤ 2 ∴ 实数k的取值范围为（-∞，2 ] …………………………………………… 12分 7 11