高三年级调研测试·文科数学 第1页 共 5 页
怀 仁 市 2020—2021 学 年 度 上 学 期 期 终
高三教学质量调研测试
文科数学答案
一、选择题: BDCBA BCBDB CD
二、填空题:
13、 1 0x y 14、
3
1-
15、
1,2
1 16、[2, 5]
三、解答题:
17、解:若选(1)由 )1(2 12 nnn SSS 成立,则 3n , ....................................3 分
此时 2-- 1-n21-n SSSS nn 即 3,21 naa nn ........................................6 分
这只能说明数列 na 从第二项开始构成等差数列, ........................................10 分
所以数列 na 不一定是等差数列,所以数列 na 的通项公式无法确定.......................12 分
若选择(2) 12n1n 2 naSS 得 ,2112 nnn aSS 即 212 nn aa ..............3 分
所以 221 naa nn ........................................6 分
这只能说明数列 na 从第二项开始构成等差数列, ........................................10 分
所以数列 na 不一定是等差数列,所以数列 na 的通项公式无法确定.......................12 分
若选择(3) )1(1 nan
S
n
n 可得 11 nnnaS nn ,于是
211 21n nnanS n ,两式相减得:
1211 21 nanan nn ................................3 分
即 212 nn aa 221 naa nn .. ........................................6 分
对 11 nnnaS nn ,令 n=1 得 221 aa 即 2- 12 aa ...........................8 分
故数列 na 是首项为 1,公差为 2 的等差数列...................................10 分
即 12 nan ...................................12 分
18、解(1)估计 11 月份顾客到该餐厅就餐消费不少于 60 元的概率
2
1
80
101020 p . ...........................3 分
(2)估计 11 月份顾客到该餐厅就餐消费金额的平均值为
67.580
5400
80
1013510105207530451015 ............................6 分
(3)填写 2×2 列联表如下:
不少于 90 元 少于 90 元 总计
男生 14 22 36
女生 6 38 44
总计 20 60 80
.........................................8 分
则 ,635.66.73420604436
622-381480 2
2
K ...............................................11 分
故有 99%的把握认为就餐消费的金额与性别有关 ..............................12 分
19. (1)证明 CA=CB, ABCD 所以 D 为 AB 的中点,故 ABA1 为等边三角形,所以
ABDA 1 . ...................................................2 分
又因为 CDAABDCDDACDACDDAABCD 1111 ,,,, 平面平面
又因为 CDAABCABCAB 1, 平面平面平面 ...........................................6 分
(2)、解 ABCDABBBAAABCBBAAABC ,, 1111 平面平面平面平面
BBAACD 11平面 ...........................................8 分
由 CA=CB=AB=2,得 ABC 为等边三角形,则 3CD ;由 ABA1 为等边三角形,得
1
高三年级调研测试·文科数学 第3页 共 5 页 高三年级调研测试·文科数学 第 4 页 共 5 页
324
3 2
1
ABAS , 1333
1
3
1
11
CDSV ABAABAC ........................10 分
连接 B1C,由于 ABB1A1 和 BCC1B1 都是平行四边形,所以 CCBBCBBBAABA SSSS 111111
,
所以 ,11111111 CCBABCBABBACABAC VVVV
于是 33 111111111 1
ABACCCBABCBAABACCBAABC VVVVV .............................12 分
20. (1)B(1,0),半径为 4,设动圆圆心 P(x,y),半径为 r.则由题可知:
rPB
rPA
4
所以|PA|+|PB|=4>|AB|=2
所以 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆。2a=4,2c=2 .所以 a2=4, b2=3
所求椭圆方程为
2 2
14 3
x y ...........................4 分
(2)若存在满足条件的点 ,0Q t .
当直线l 的斜率 k 存在时,设 1y k x ,联立
2 2
14 3
x y ,
消 y 得 2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k .
设 1 1,M x y , 2 2,N x y ,则
2
1 2 2
8
3 4
kx x
k
,
2
1 2 2
4 12
3 4
kx x
k
x,
∵
1 2 2 11 2
1 2 1 2
1 1
QM QN
k x x t k x x ty yk k x t x t x t x t
22
2 21 2 1 2
2 22
21 2 1 2
2 2
8 18 24 22 1 2 3 4 3 4
4 12 8
3 4 3 4
k tk tkx x k t x x kt k kk k kx x t x x t t tk k
2 2 2
22 2 2 2 2 2
8 24 8 1 2 3 4 6 4
4 12 8 3 4 4 1 3 4
k k t t k k tk
k k t t k t k t
,
∴要使对任意实数 k , QM QNk k 为定值,则只有 4t ,此时,
0QM QNk k ....................10 分
当直线l 与 x 轴垂直时,若 4t ,也有 0QM QNk k .故在 x 轴上存在点 4,0Q ,使得
直线 QM 与直线QN 的斜率的和为定值 0 .. ...............................12 分
21.解:(Ⅰ)函数的定义域为 ,0 …………………………1 分
2
e ( 1) 1( ) (1 )
x xf x ax x
2
e ( 1) ( 1)x x ax x
x
2
(e )( 1)x ax x
x
,.............2 分
当 0a 时,对于 (0, )x , e 0x ax 恒成立, ' ( ) 0f x 1x ;
' ( ) 0f x 0 1x .所以 单调增区间为 (1, ) ,单调减区间 (0,1) .…………4 分
(Ⅱ)若 ( )f x 在 (0,1) 内有极值,则 ' ( )f x = 0 在 (0,1)x 内有解.…………5 分
令 '
2
(e )( 1)( ) 0
x ax xf x x
e 0x ax ex
a x
.
设 e( )
x
g x x
(0,1)x , 所以 ' e ( 1)( )
x xg x x
, 当 (0,1)x 时, ' ( ) 0g x 恒成立,
所以 ( )g x 单调递减. …………………6 分
又因为 (1) eg ,又当 0x 时, ( )g x ,即 ( )g x 在 (0,1)x 上的值域为 (e, ) ,
所以 当 ea 时, '
2
(e )( 1)( ) 0
x ax xf x x
有解.………………7 分
设 ( ) e xH x ax ,则 ( ) e 0xH x a (0,1)x ,
所以 ( )H x 在 (0,1)x 单调递减.因为 (0) 1 0H , (1) e 0H a ,
所以 ( ) e xH x ax = 0 在 (0,1)x 有唯一解 0x . ……………………10 分
x 0(0, )x 0x 0( ,1)x
( )H x 0
' ( )f x 0
所以 当 ea 时, ( )f x 在 (0,1) 内有极值且唯一.
2
高三年级调研测试·文科数学 第5页 共 5 页
当 ea 时,当 (0,1)x 时, ' ( ) 0f x 恒成立, ( )f x 单调递增,不成立.
综上, a 的取值范围为 (e, ) . …………………………12 分
22、解:(1)曲线 C: 42 22 yx ,极坐标方程为 sin4
当
30
时, 323sin40 , 23cos OAOP
设 ,Q 为 L 上除点 P 的任意一点,在 OPQRt 中, 23cos
OP ,
经检验,点
3,2 P 在曲线 23cos
上,
所以 L 的极坐标方程为 23cos
............5 分
(2)、设 ,P ,在 OAPRt 中, cos4cos OAOP , cos4
因为 P 在线段 OM 上,且 sin4cos4 OMOPOMAP ,所以
24
, 。
所以 P 的轨迹的极坐标方程为 cos4 ,
24
, .........10 分
23、解:
2,33
22
1,1
2
1,33
212
xx
xx
xx
xxxf
(1)有题可知:
2
3
2
1)( min
fxf
,0 Rx 若 使得不等式 230 kkxf 成立, 23min0 kkxf
232
3 kk ,
即
2
323
3
kk
k
或
2
323
23-
kk
k
或
2
323
2
kk
k
4
1k . ..........................................5 分
(2)由题可知: 0,11
min nmnmxf nm
11
2
3
,22
3
2
3 2
nmmnnm 当且仅当 m=n 时取“=”号,
3
8 nm ,
所以
3
8的最小值nm .........................................10 分
3